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简单公式规律推导(打印版)


⒈ 过 两 点 ( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) 的 直 线 为 y ? kx ? b , 带 入 得 y1 ? kx1 ? b , y2 ? kx2 ? b 解 得

k?

y 2 ? y1 y ? y1 y x ? y1 x1 ? x1 y 2 ? x1 y1 x 2 y1 ? x1 y 2 , k 称为斜率, b

为 ? t a?n , b ? y1 ? kx1 ? y1 ? 2 x1 ? 1 2 ? x 2 ? x1 x 2 ? x1 x 2 ? x1 x 2 ? x1

y 轴上的截距. 应用最小二乘法,线性拟合直线, k ?

xy ? x y x2 ? x
2

, b ? y ? k x .平均速度 v ?

?x x末 ? x初 x2 ? x1 ,v ? ? ?t t末 ? t初 t2 ? t1

为 x ? t 的斜率.当 ?t 越小,v 越接近瞬时速度 v瞬 , 瞬时速度等于位移对时间的变化率,因为速度变化越小, 对应割线(及 其斜率)越接近切线,当两点越接近时,直至无限逼近即极限 ?t ? 0 时, v ? v瞬 . 同理加速度等于速度对时间的变化率, a?

?v v末 ? v初 v 2 ? v1 , ? ? ?t t 末 ? t 初 t 2 ? t1

a

为 v ? t 的 斜 率 . ?t ? 0

时, a ? a瞬 a ? 条 直 线 ), t ?

?v v ? v0 ? , v 是 t 的函数,也可记作 vt ,变形后得, v ? v 0 ? at ,( v 是 t 的一次函数,表现为一 ?t t ?0

v ? v0 2 ( 求 时 间 ). 例 如 , v ? 6 ? 2t , 表 示 v0 ? 6m / s , a ? ?2m / s ; v ? 4 ? t , 表 示 v0 ? 4m / s , a

a ? 1m / s 2 ;
⒉ x ? s梯 ?

v0 ? v 2

t , 这是 x、v、t 三者之间的关系 , v 和 t 均是变量 , 化为 t 的函数 , 由 v ? v0 ? at 替换 , 得

x?
x?

2v 0 ? at 1 t ? v 0 t ? at 2 ( x 是 2 2

t 的 二 次 函 数 , 表 现 为 一 条 抛 物 线 ); 由 v0 ? v ? at 替 换 , 得

2v ? at 1 t ? vt ? at 2 (此式应用于刹车问题). 2 2
例如, x ? 20t ? t ,表示 v0 ? 20m / s , a ? ?2m / s .
2 2

x ? 4t ? t 2 ,表示 v0 ? 4m / s , a ? 2m / s 2 .
⒊当 v0 ? 0 时, x ? s ? ?

1 1 vt ,由 v ? at ,得 x ? at 2 ,与上式结果相同. 2 2

⒋质点做匀速直线运动,则 x ? s矩 ? v0 t ,( x 是 t 的一次函数,表现为一条直线) 例如, x ? 10 t ,表示 v0 ? 10m / s ; x ? 6 ? 3t ,表示初位置 x0 ? 6m , v0 ? ?3m / s .

v0 ? v 1 v0 t ? at 2 t v ?v v ? v ? at v0 ? v 1 1 x x 2 ? 0 ? v0 ? at ? 0 0 ? 5v ? ? ,v ? ? ,其中 v 0 ? at 记作 v t , ? 2 t 2 2 2 2 2 t t t t 2
s梯

则v ? vt ?
2

v0 ? v 2

.

例如:Ⅰ物体做匀加速直线运动,在第一个 t 内位移为 x1 ,第二个 t 内位移为 x2 ,则物体在第一个 t 末的速度及加 速度分别为多少?(纸带中用平均速度代替瞬时速度) Ⅱ物体做匀加速直线运动,已知在相邻的各 1s 内通过的位移分别为 1.2m 和 3.2m,求物体的加速度和相邻的各 1s 的始末
的瞬时速度。

Ⅲ第一个 4s 内位移为 16m,第二个 4s 内位移为 32m,则初速度和加速度分别是多大?
第 4s 内位移为 2m,第 6s 内位移为 4m,则初速度和加速度分别是多大?

Ⅳ物体做匀加速直线运动,初速度为 2m/s,加速度 a=0.5 m / s ,求:⑴第 3s 末物体的速度;⑵物体第 3s 内的位移;
⑶第 4s 内的平均速度。总结:必须明确是哪一段时间内的位移与平均速度,如 4s 内是指 0—4s,那么 v0

2

? v0 , v ? v 4 ,

对应中间时刻

t 0?4 ? s ? 2 s ,位移 x 4 s内 ? v 4 s内t ? v 2 t ;第 4s 内是指 3—4s,那么 v0 ? v3 , v ? v4 ,对应中间时刻 2 2

x ? x2 ? b t 3? 4 ? s ? 3.5s ,位移 x第4s内 ? v第4s内t ? v3.5t .类似对称轴 x ? 1 ? ,纸带中用平均速度代替瞬时速度的合 2 2 2 2a
理性. ⒍ x ? s梯 ?

v0 ? v v ? v0 v ? v0 x 2 t? ,变形后得 v 2 ? v0 记中间位置时速度 ? 2ax .全程的位移为 x ,中点位移为 , 2 2 2 a
2 2

为 v x , 重 复 利 用 上 述 公 式 , 得 v x ? v0 ? 2a
2
2

x x 2 2 , v ? v x ? 2a , 联 立 解 得 v x ? 2 2 2 2

2 v 2 ? v0 vx . 由 于 2 2

vx
2

2

2 2 2 v0 ? v v 2 ? v0 v 2 ? v0 v0 ? 2vv0 ? v 2 2 ? vx ? ,得 v t ? ,也可通过 v ? t 图像得到证明。 ? ? vt ? 2 2 2 4 2 2 2

例如某质点做匀加速直线运动从 A 到 B, v A ? 1m / s , vB ? 7m / s ,那么经过 AB 中点时和一半时间时速度分别为 多大? ⒎设连续相等的 T 时间内,1T、2T、3T… …(n-1)T、nT、 (n+1T 内的位移分别为 x1、x2、x3 … … xn?1、xn、xn?1 ; 第一个 T、第二个 T、第三个 T… …第(n-1)个 T,第 n 个 T、第(n+1)个 T 内,位移分别为 x1 、x2 、x3 … …
' ' ‘

xn?1 、xn 、xn?1 。
由此得出结论: ?x ? xn?1 ? xn ? xn?1 ? xn?2 ? … …? x3 ? x2 ? x2 ? x1 ? aT 2
2 2 2 2 2 ⒏特别地, 当 v0 =0 时,x1 : x2 : x3 … … xn?1 : xn : xn?1 ? 1 : 2 : 3 … … (n ? 1) : n : (n ? 1) ;x1 : x2 : x3 … …
2

'

'

'

'

'

'



'

'

'

'

'



' ' ' xn : xn?1 : xn?1 ? 1 : 3 : 5 … … (2n ? 3) : (2n ? 1) : (2n ? 1) ;

⒐1T、2T、3T… …(n-1)T、nT、 (n+1T 内速度之比为: 由速度公式 v ? at ,得 v1 ? aT , v2 ? a2T , vn ? naT , vn ?1 ? (n ? 1)T , 所以 v1 : v2 : v3 … … vn?1 : vn : vn?1 = 1 : 2 : 3 … …

(n ? 1) : n : (n ? 1) ;

⒑通过前 1x : 2 x : 3 x … … (n ? 1) x : nx : (n ? 1) x 的所用时间之比为: … … t1 : t2 : t3 … … tn?1 : tn : tn?1 = 1 : 2 : 3? ⒒通过连续相等位移 x 的所用时间之比为:

n ?1 : n : n ? 1 ;

t1 : t 2 : t 3

'

'

'





t n?1 : t n : t n?1 ? 1 : ( 2 ? 1) : ( 3? ? 2)

'

'

'













( n ? 1 ? n ? 2 ) : ( n ? n ? 1) : ( n ? 1 ? n ? 1) ;
12 加速度的三种解法:⑴选择相距较远的两个点,则 a ?
' ' ' ‘ '

?v v 2 ? v1 ; ? ?t t 2 ? t1
' '

⑵若, ?x ? xn?1 ? xn ? xn?1 ? xn?2 ? ……? x3 ? x2 ? x2 ? x1 ? aT 2 ,则 a ? ⑶应用最小二乘法,线性拟合直线, .则 a ?

?x ; T2

vt t2 ?t
2

⑷利用第 m 个 T 与第 n 个 T 位移差 xm ? xn ? (m ? n)aT 2 ,得

x x ? x1 ? aT 2 , x3 ? x4 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2aT 2 ? a(2T ) 2 ,

x4 ? x5 ? x6 ? ( x1 ? x2 ? x3 ) ? 3 ? 3aT 2 ? a(3T ) 2 , xn?1 ? xn?2 ? xn?3 ? xn?n ? (? x1 ? x2 ? x3 ? xn?2 ? xn?1 ? xn ) ? n ? naT 2 ? a(nT) 2
x ? x n ? 2 ? x n ?3 ? x n ? n ? (? x1 ? x 2 ? x3 ? x n ?2 ? x n ?1 ? x n ) a ? n ?1 ? n ? naT 2
, 得

? (x
k ?1

n

n?k

? xk )
.

(nT ) 2


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