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高三数学综合训练(一)


高三数学综合训练(一)
班级 姓名 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) : 1、设集合 M ={x| x ? x ? 6 ? 0 },N ={x|1≤x≤3},则 M∩N = ( A.[1,2) B.[1,2] C. (2,3] D.[2,3]
2

) )



2、i 是虚数单位,若集合 S= ??1 ,0, 1? ,则 A.



1? i ?S 1? i
3 2

B. (1 ? i)2 ? S

C. i ? i ? i ? S 3、已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1

2 ?S i ? an ? n ,利用如图所示的程序框图计
D.

算该数列的第 10 项,则判断框中应填的语句是 ( ) (A) n ? 10 (B) n ? 10 (C) n ? 9 (D) n ? 9 4、已知 ? , ? 是两个不同的平面, m, n 是两条不同的直线,则下列命题 不正确 的是 ( ) ... (A)若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? (C)若 m // ? , ? ? ? ? n ,则 m // n

(B)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? (D)若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ?

5、已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M、N 两点, MN 中点的横坐标为 ? (A)

2 ,则此双曲线的方程是 3
2 2





x y x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ? 1 (B) 2 5 4 3 5 2 3 4 6、已知等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 , 若 a 4 ? a 6 ? 24 , a 2 ? a 8 ? 10 , 则该数列的前 n 项和 Sn 的最
大值为 ( ) A. 50 B. 45 C. 40 D. 35 2 7、 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) , 当过 x 轴上一点 M (a,0) 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点时,

?AOB 为锐角,则 a 的取值范围 A a ? 2p B a ? 2p

C、 0 ? a ? 2 p

( D、以上选项都不对
x



? x ? y ? 11 ? 0 ? 8、设不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?

表示的平面区域为 D,若指数函数 y= a 的图像上存在区域 ) ( )

D 上的点,则 a 的取值范围是 ( A、(1,3] B、[2,3] C、 (1,2] D 、[ 3, ?? ] 9 已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??)

10、 、已知圆 O 的半径为 1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两个切点,那么 PA ? PB 的 最小值为 ( ) A、 ?4 ? 2 B、 ?3 ? 2 C、 ?4 ? 2 2 D、 ?3 ? 2 2 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11、 设向量 a 与向量 b 的夹角为 ? , 且a ?( 3 ,3 ) ,2

??? ? ??? ?

?

?

?

? ? b ?a(? 1 , 1 ) ?

, 则 cos ? ?

12、一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中的 俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是

13、在平面上,设 ha , hb , hc 是三角形 ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P 到相应三边的距

pa pb pc ? ? ? 1 类比到空间中的四面体 V ? ABC ha hb hc 内任一点 p, 其中 ha , hb , hc , hd 为四面体四个面上的高, pa , pb , pc , pd 为 p 点到四个面的距离,
离分别为 pa , pb , pc ,我们可以得到结论 : 我们可以得到类似结论为
2

.
2

14、已知直线 l 经过坐标原点,且与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 相切,切点在第四象限,则直线 l 的 方程为 . 15、已知 x ? y ? 2 ,不等式

1 a ? ? 18 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不 a 2 b2 含边界),若点 (1, 2) 在“上”区域内,则双曲线离心率 e 的取值范围
16、双曲线

x2 ?1 ( x ? 0, x ? R) 有下列命题: | x| ①函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称; ②在区间 (??,0) 上,函数 y ? f ( x) 是减函数; ③函数 f ( x) 的最小值为 lg 2 ; ④在区间 (1, ? ) 上,函数 f ( x) 是增函数.
17、关于函数 f ( x) ? lg 其中正确命题序号为_______________. 三、解答题: 18、(14 分)设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 。 3 3 (Ⅰ)求角 A 的值; ??? ? ??? ? (Ⅱ)若 AB?AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 B ? C ) 。

?

?

2 19. (14 分)已知等差数列 {an } , 公差大于 0 , 且 a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根, 数列 {bn }

前 n 项和 Tn ? 1 ?

1 bn . 2 (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式;
(Ⅱ)记 cn ? anbn ,求证: cn?1 ? cn .

20、(14 分)已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 , ?BCA ? 90 ,
?

AC ? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点
D ,又知 BA1 ? AC1 。
(I)求证: AC1 ? 平面 A 1BC ; (II)求二面角 A ? A 1 B ? C 余弦值的大小。

x2 y2 ? ? 1 两焦点分别为 F1、F2、P 是椭圆在第一象限弧上一点,并满足 21、(15 分)已知椭圆 2 4 PF 1 ? PF 2 ? 1 ,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点
(1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; (3)求△ PAB 面积的最大值。

22、(15 分)已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax ? 1 . (Ⅰ)若 a ? ?1 ,试讨论函数 f ( x) 的单调性;
2

(Ⅱ)设 a ? ?1 .如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的取值范 围.

参考答案: 一、选择题: 1、A 2、C 3、D 二、填空题: 11、

4、C

5、D

6、B

7、D 8、A

9、C 10、D 14、 y ? ?

3 10 10

12、 2 3 16、 1, 5

a 13、 ?

15、 25 三、解答题:

?

?

p ha

pb pc pd ? ? ?1 hb hc hd

3 x 3

17、(1) (3) (4)

3 ? 18.解: (1)由题意得 sin 2 A ? ,由 ? A 为锐角,故 A ? 7分 4 3 ??? ? ??? ? (2)由 AB?AC ? 12 得 bc ? 24 ,又由余弦定理可得 b2 ? c 2 ? bc ? 28 且 B ? C

故 b ? 4, a ? 6 19. (Ⅰ)由题意得 ?

14 分

? a2 ? 3, ? a2 ? 9, 或? ……………2 分 ? a5 ? 9; ? a5 ? 3. ? a2 ? 9, 又因为等差数列 ?an ? 的公差大于零,所以 ? 不合题意,舍去. ? a5 ? 3 9?3 ? 2. 由 a5 ? a2 ? 3d ,得 d ? 3 . ………………………………………4 分 ?an ? a ( n? 2 ) d ?2 n ? 1 2 ? 1 2 1 由 Tn ? 1 ? bn ,得 T1 ? b1 ? 1 ? b1 ? b1 ? . ……………………5 分 2 3 2 1 当 n ? 2时, bn ? Tn ? Tn ?1 ? (bn ?1 ? bn ) ? 3bn ? bn ?1 , ……………7 分 2 b 2 1 ……………………………………………8 分 ? b1 ? ? 0, ? n ? . 3 bn?1 3 2 ? bn ? n . ……………………………………………………………9 分 3 2(2n ? 1) (Ⅱ)? cn ? anbn ? , ………………………………………10 分 3n 2(2n ? 1) 2(2n ? 1) ?8( n ? 1) ? cn ?1 ? cn ? ? ? ? 0. …………12 分 3n ?1 3n 3n ?1 ……………………………………14 分 ? cn?1 ? cn . 20、 【解】 (I)如图,取 AB 的中点 E ,则 DE // BC ,因为 BC ? AC , 所以 DE ? AC ,又 A1D ? 平面 ABC , 以 DE, DC, DA 1 为 x, y , z 轴建立空间坐标系,
所以 ? 则 A ? 0, ?1,0? , C ? 0,1,0? , B ? 2,1,0? ,

? a2 ? a5 ? 12, ? a2 ? a5 ? 27,

A1 ? 0,0, t ? , C1 ? 0, 2, t ? , ???? ? ???? AC1 ? ? 0,3, t ? , BA1 ? ? ?2, ?1, t ? , ???? ??? ? ??? ? ? CB , CB ? ? 2,0,0 ? ,由 AC 1 1 ? CB ? 0 ,知 AC
???? ?? ??? ? (II)再设平面 A 1 ? 0, ?1, 3 , CB ? ? 2,0,0 ? , 1BC 的法向量为 m ? ? x, y, z ? , CA ?? ???? ?? ? ?m ? CA1 ? ? y ? 3z ? 0 所以 ? ,设 z ? 1 ,则 m ? 0, 3,1 , ?? ??? ? ? ? m ? CB ? 2 x ? 0 ?? ? ?? ? m?n 7 故 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? ,根据法向量的方向, 7 m?n
又 BA1 ? AC1 ,从而 AC1 ? 平面 A 1BC ;

?

7分

?

?

?

7 14 分 7 21、解: (1)由题可得 F1 (0, 2 ), F2 (0 ? 2 ),设P 0 ( x0 , y0 )(x0 ? 0, y0 ? 0)
可知二面角 A ? A 1 B ? C 的余弦值大小为 则 PF1 ? ( ? x 0 , 2 ? y 0 ), PF2 ? ( ? x 0 ,? 2 ? y 0 ) …………2 分

2 2 ? PF1 ? PF2 ? x0 ? (2 ? y 0 ) ? 1, 2 2 x0 y0 ? 点P( x0 , y 0 )在曲线上, 则 ? ? 1, 2 4 2 2 4 ? y0 4 ? y0 2 2 ? x0 ? , 从而 ? (2 ? y 0 ) ? 1, 2 2 得y 0 ? 2 , 则点P的坐标为(1, 2 ).????5分

(2)由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在, 设 PB 的斜率为 k (k ? 0) ,…………6 分 则 BP 的直线方程为: y ? 2 ? k ( x ? 1).

? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 由? x 2 y 2 得(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k ) 2 ? 4 ? 0, ?1 ? ? 4 ?2 2k ( k ? 2 ) 2k ( k ? 2 ) k 2 ? 2 2k ? 2 , x ? ? 1 ? , B 2? k2 2? k2 2? k2 k 2 ? 2 2k ? 2 4 2k 同理可得x A ? , 则x A ? x B ? .????9分 2 2?k 2? k2 y ? yB 所以 : AB的斜率k AB ? A ? 2为定值.????10分 x A ? xB 设B( x B , y B ),则1 ? x B ?
(3)设 AB 的直线方程: y ?

2x ? m

? y ? 2x ? m ? 由? x 2 y 2 , 得4 x 2 ? 2 2m x ? m 2 ? 4 ? 0 ?1 ? ? 4 ?2

由? ? (2 2m) 2 ? 16(m2 ? 4) ? 0, 得 ? 2 2 ? m ? 2 2 |m| P 到 AB 的距离为 d ? , …………12 分 3 1 1 1 |m| 1 2 则S?PAB ? | AB | ?d ? (4 ? m 2 ) ? 3 ? ? m (?m 2 ? 8) 2 2 2 3 8 2 2 1 m ?m ?8 2 ? ( ) ? 2. 8 2 当且仅当m ? ?2 ? (?2 2, 2 2)取等号 ? 三角形PAB面积的最大值为 2.????15分

a ?1 ?4 x ? 1 (2 x ?1) 2 ? 4 x 2 ? 2 (2 x ?1) 2 ? 2ax ? 4 ? 0 . ? ? ?2. 从而 a ? x 2 x2 ? 1 2 x2 ?1 2 x 2 ?1 故 a 的取值范围为 (??,?2] .


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