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2017届广西陆川县中学高三8月月考数学(理)试题


理科数学
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. ? ? ? ? ? ? 1.已知 | a |? 1 , | b |? 2 , ? a, b ?? 60? ,则 | 2a ? b |? ( )
A.2 B.4 C. 2 2 D.8 )

2.若集合 A ? {x | 2x ? 1},集合 B ? {x | lg

x ? 0} ,则“ x ? A ”是“ x ? B ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 )

3.已知偶函数 f ( x ) 在 (??, ?2] 上是增函数,则下列关系式中成立的是( A. f (? ) ? f ( ?3) ? f (4) C. f (4) ? f ( ?3) ? f ( ? )

7 2

B. f (?3) ? f (? ) ? f (4) D. f (4) ? f ( ? ) ? f ( ?3)

7 2

7 2

7 2

4.若 O 是 ?ABC 所在平面内一点,且满足 | OB ? OC |?| OB ? OC ? 2OA | ,则 ?ABC 一定 是( ) B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

A.等边三角形

2 5.已知命题 p : ?x0 ? R, mx0 ?1 ? 0 ,命题 q : ?x ? R, x2 ? mx ? 1 ? 0 ,若 p ? q 为假命题,

则实数 m 的取值范围是( A. ?2 ? m ? 2

) C. m ? ?2 D. m ? 2

B. m ? ?2 或 m ? 2

6.把函数 y ? sin( x ? 向右平移

?
6

) 图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将图象

? 个单位,那么所得图象的一个对称中心为( ) 3 ? ? ? A. ( , 0) B. ( , 0) C. ( , 0) D. (0, 0) 3 4 12 ? ? 7.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ) 在区间 [ , ? ] 上单调递减,则实数 ? 的取值范围 4 2
是( A. [ , ] )

1 3 2 4

B. (0, ]

1 2

C. [ , ]

1 5 2 4

D. (0, 2]

8.设 {an } 是正数组成的等比数列,公比 q ? 2 ,且 a1a2 a3 ?a30 ? 230 ,则 a3a6 a9 ?a30 ? ( )

A. 2

10

B. 2

15

C. 2

16

D. 2

20

9.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,它的图象关于直线 x ? 1 对称,且

f ( x) ? x(0 ? x ? 1) ,则当 x ? (5, 7] 时, y ? f ( x) 的解析式是(
A. f ( x) ? 2 ? x B. f ( x ) ? x ? 4 C. f ( x ) ? 6 ? x



D. f ( x) ? x ? 8 )

10.点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为(

A.

2 2

B. 2

C. 2 2

D.2

11.设 f (n) ? logn?1 (n ? 2)(n ? N? ) ,现把满足乘积 f (1) f (2) ? f (n) 为整数的 n 叫做“贺 数” ,则在区间 (1, 2015) 内所有“贺数”的个数是( A.9 B.10 C. 2
9



D. 2

10

12.设函数 y ? f ( x), x ? R 的导函数为 f ' ( x) ,且 f ( x) ? f (? x) , f ' ( x) ? f ( x) ,则下列 不等式成立的是( ) B. e?1 f (1) ? f (0) ? e2 f (2) D. e f (2) ? f (0) ? e f (1)
2 ?1

A. f (0) ? e?1 f (1) ? e2 f (2) C. e f (2) ? e f (1) ? f (0)
2 ?1

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分)
13.方程 2cos( x ?

?
4

) ? 2 在区间 (0, ? ) 内的解为

.

14.在等比数列 {an } 中, a5 a11 ? 3 , a3 ? a13 ? 4 ,则
x

a15 ? a5

.

15.若函数 f ( x) ?| 2 ? 2 | ?b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是 16.设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? 为 .

.

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围 1 ? x2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.)
17. (本小题满分 10 分) 已知向量 a ? (4,3) , b ? (?1, 2) .

?

?

(1)求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)若向量 a ? ? b 与 2a ? b 平行,求 ? 的值. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? 2sin
2

?

?

?

?

? ?

?x
2

(? ? 0) 的最小正周期为 3? .

(1)求函数 f ( x ) 的表达式并求 f ( x ) 在区间 [?

? 3?

, ] 上的最小值; 4 2

(2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,且 a ? b ? c , 3a ? 2c sin A ,求 角 C 的大小. 19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 2(tan A ? tan B ) ? (1)证明: a ? b ? 2c ; (2)求 cos C 的最小值. 20. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 5 , S9 ? 99 . (1)求 an 及 Sn ; (2)若数列 {

tan A tan B ? . cos B cos A

1 4 } 的前 n 项和 Tn ,试求 Tn 并证明不等式 ? Tn ? 1 成立. 2 a ?1
2 n

参考答案 ABDBD 13. DCDCB AB

1 1 ? x ?1 或3 15. 0 ? b ? 2 16. 3 3 ? ? ? ? ? ? 17.(1)∵ a ? (4,3) , b ? (?1, 2) ,∴ a ? b ? 4 ? (?1) ? 3? 2 ? 2 , | a |? 5 , | b |? 5 ,
14.

? 2

? ? ? ? a ?b 2 2 5 ∴ cos ? a, b ?? ? ? ? . ? 25 | a || b | 5 5
(2)∵ a ? (4,3) , b ? (?1, 2) ,∴ a ? ?b ? (4 ? ?,3 ? 2? ) , 2a ? b ? (7,8) ,

?

?

?

?

? ?

4 ? ? 3 ? 2? 1 ? ,解得 ? ? ? . 7 8 2 1 ? cos ? x ? ? 2sin(? x ? ) ? 1 18.(1) f ( x) ? 3 sin ? x ? 2 2 6
∵ a ? ? b 与 2a ? b 平行,∴

?

?

? ?

(2)因为 3a ? 2c sin A ,由正弦定理得:

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

又 sin A ? 0 ,∴ sin C ? 19.(1)由题意知, 2(

2? 3 ,又因为 a ? b ? c ,所以 C ? 3 2

sin A sin B sin A sin B ? )? ? , cos A cos B cos A cos B cos A cos B

化简得: 2(sin A cos B ? sin B cos A) ? sin A ? sin B 即 2sin( A ? B) ? sin A ? sin B ,因为 A ? B ? C ? ? ,所以

sin( A ? B) ? sin(? ? C ) ? sin C ,
从而 sin A ? sin B ? 2sin C ,由正弦定理得 a ? b ? 2c .

a?b ,所以 2 a?b 2 a 2 ? b2 ? ( ) a 2 ? b2 ? c 2 3 b a 1 1 2 cos C ? ? ? ( ? )? ? , 2ab 2ab 8 a b 4 2 1 当且仅当 a ? b 时,等号成立,故 cos C 的最小值为 . 2
(2)由(1)知, c ? 20.(1)设等差数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d , ∵ a2 ? 5 , S9 ? 99 , ∴ 99 ?

9 ? (a1 ? a9 ) ? 9a5 ,得 a5 ? 11 ,∴ 3d ? a5 ? a2 ? 6 ,∴ d ? 2 , a1 ? 3 ,∴ 2

an ? 2n ? 1.
(2) bn ?

4 4 1 1 1 ? ? ? ? a ? 1 4n(n ? 1) n(n ? 1) n n ? 1
2 n

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 又因为 Tn ?1 ? Tn ?

1 2

1 1 2 3

1 n

1 1 ) ? 1? ?1 n ?1 n ?1

1 1 1 ? 0 ,所以 Tn ? Tn ?1 ? ? ? T1 ? ,所以 ? Tn ? 1 . 2 2 (n ? 1)(n ? 2)


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