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高二数学教案下


第三十八课时? 一、课 题 §10.1 分析计数原理和分步计数原理(1) 二、教学目标 1、知识传授目标:正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标:能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标:发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 1.新课导入 随着社会发展,先进技术,使得各种问题解决方法多样化,高标准严要求,使得商品生产工序复杂化,解决一件事常常有多 种方法完成,或几个过程才能完成。 排列组合这一章都是讨论简单的计数问题,而排列、组合的基础就是基本原理,用好基本原理是排列组合的关键. 2.新课 我们先看下面两个问题. (l)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有 4 班,汽车有 2 班,轮船有 3 班,问一天中乘 坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 板书:图 因为一天中乘火车有 4 种走法,乘汽车有 2 种走法,乘轮船有 3 种走法,每一种走法都可以从甲地到达乙地,因此,一天中 乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4 十 2 十 3=9 种不同的走法. 一般地,有如下原理: 加法原理: 做一件事, 完成它可以有 n 类办法, 在第一类办法中有 m1 种不同的方法, 在第二类办法中有 m2 种不同的方法, ??, 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1 十 m2 十?十 mn 种不同的方法. (2) 我们再看下面的问题: 由 A 村去 B 村的道路有 3 条,由 B 村去 C 村的道路有 2 条.从 A 村经 B 村去 C 村,共有多少种不同的走法? 板书:图 这里, A 村到 B 村有 3 种不同的走法, 从 按这 3 种走法中的每一种走法到达 B 村后, 再从 B 村到 C 村又有 2 种不同的走法. 因 此,从 A 村经 B 村去 C 村共有 3X2=6 种不同的走法. 一般地,有如下原理: 乘法原理:做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1 m2?mn 种不同的方法. 例 1 书架上层放有 6 本不同的数学书,下层放有 5 本不同的语文书. 1)从中任取一本,有多少种不同的取法? 2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法? 解: (1)从书架上任取一本书,有两类办法:第一类办法是从上层取数学书,可以从 6 本书中任取一本,有 6 种方法;第二类办 法是从下层取语文书,可以从 5 本书中任取一本,有 5 种方法.根据加法原理,得到不同的取法的种数是 6 十 5=11. 答:从书架 L 任取一本书,有 11 种不同的取法. (2)从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成:第一步取一本数学书,有 6 种方法;第二步取一本语文 书,有 5 种方法.根据乘法原理,得到不同的取法的种数是 N=6X5=30. 答:从书架上取数学书与语文书各一本,有 30 种不同的方法. *97* 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

练习:

一同学有 4 枚明朝不同古币和 6 枚清朝不同古币 2)从中任取明清古币各一枚,有多少种不同取法?

1)从中任取一枚,有多少种不同取法?

例 2(1)由数字 l,2,3,4,5 可以组成多少个数字允许重复三位数? (2)由数字 l,2,3,4,5 可以组成多少个数字不允许重复三位数? (3)由数字 0,l,2,3,4,5 可以组成多少个数字不允许重复三位数? 解:要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:第一步确定百位上的数字,从 5 个数字中任选一个数字,共有 5 种选法;第 二步确定十位上的数字,由于数字允许重复, 这仍有 5 种选法, 第三步确定个位上的数字, 同理, 它也有 5 种选法. 根据乘法原理, 得到可以组成的三位数的个数是 N=5X5X5=125. 答:可以组成 125 个三位数. 练习: 1、从甲地到乙地有 2 条陆路可走,从乙地到丙地有 3 条陆路可走,又从甲地不经过乙地到丙地有 2 条水路可走. (1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法? (2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着 2O 张分别标有数 1、2、?、19、20 的红卡片,从中任抽一张,把上面的数作为被 加数;在另一个黄口袋中装着 10 张分别标有数 1、2、?、9、1O 的黄卡片,从中任抽一张,把上面的数作为加数.这名儿童一共 可以列出多少个加法式子? 3.题 2 的变形 4.由 0-9 这 10 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数 小结:要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?分类时用加法,分步时用乘法 其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习 七、练习设计 1. (口答)一件工作可以用两种方法完成.有 5 人会用第一种方法完成,另有 4 人会用第二种方法完成.选出一个人来完成这件 工作,共有多少种选法? 2.在读书活动中,一个学生要从 2 本科技书、 2 本政治书、 3 本文艺书里任选一本,共有多少种不同的选法? 3.乘积(a1+a2+a3) (b1+b2+b3+b4) (c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项? 4.从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路可通,从丁地到丙地有 2 条路可通.从甲地 到丙地共有多少种不同的走法? 5.一个口袋内装有 5 个小球,另一个口袋内装有 4 个小球,所有这些小球的颜色互不相同. (1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法? (2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法? 八、板书设计 §10.1 分析计数原理和分步计数原理(1) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第三十九课时? 一、课 题 §10.1 分析计数原理和分步计数原理(2) 二、教学目标 1、知识传授目标:正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标:能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题

*98*

3、思想教育目标:发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 1. 由学生阅读引言,明确任务,激发兴趣. 由学生感兴趣的乒乓球比赛提出的问题引出学习本章的必要性,明确研究计数方法是本章内容的独特性,从应用的广泛看学 好本章知识的重要性. 2. 学习理解分类计数原理 给出问题,配图分析,讲清坐火车与坐汽车两类办法均可,每类中任一种办法都可以独立的把从甲地到乙地这件事办好. 变式 1:若甲地到乙地一天中还有 4 班轮船可乘,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同走法? 变式 2:若完成一件事,有 n 类办法.在第 1 类办法中有 m1 种不同办法,在第 2 类办法中有 m2 种不同方法,?? ,在第 n 类办法中有 mn 种不同方法,每一类中的每一种方法均可完成这件事,那么完成这件事共有多少种不同方法? 解答以上问题,水到渠成,顺着变式 2 的解,不难由学生归纳得出分类计数原理(又称办法原理). 3. 学习理解分步计数原理 出示问题,配上插图,引导分析,组织讨论,强调分步. 可用多媒体配上不同颜色闪现六种不同走法. 由学生模仿分类计数原理归纳得出分步计数原理(又叫乘法原理). 4. 5. 6. 讲解例 1 讲解增例 例:满足 A 引导学生分析解答,注意区分办法的分类与分步. 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

? B = ?1,2? 的集合 A、B 共有多少组?
?1,2? 的子集:?, ?1? , ?1? , ?1,2? ,但不是随便两个子集搭配都行,本题尤如含 A、B 两元数的不定方 ?1,2? 得 1 组解;

启发引导学生作出下列两种分析. 分析一:A、B 均是

程,其全部解分为四类: 1. 当 A=? 时,只有 B= 2. 当 A= 3. 当 A= 4. 当 A=

?1? 时,B= ?2?或 ?1,2? ,得 2 组解;

?2?时,B= ?1? 或 ?1,2? ,得 2 组解
?1,2?时,B=? 或 ?1? 或 ?2?或 ?1,2? ,得 4 组解.

根据加法原理,共有 1+2+2+4=9 组解. 分析二: A、 为两个 设 B “口袋” ,需将两种元素(1 或 2)装入,任一元素至少装入一个袋中,分两步可办好此事:第 1 步装 “1” , 可装入 A 不可装入 B,也可装入 B 不装 A,还可以既装入 A 又装入 B,有 3 种装法;第 2 步装“2”,同样有 3 种装法.根据乘法原 理共得了 3 ? 3=9 种装法,即原题共有 9 组解. 6.课堂练习 *99*

教科书第 86 页练习第 1、2 题,习题第 1 题. 7.知识小结 回顾两个原理内容,强调区别在于办事办法分类与分步. 七、练习设计 1. 教科书习题 10.1 第 2 题. 2. 各编一道用两个原理解答的问题并解答. 八、板书设计 §10.1 分析计数原理和分步计数原理(2) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第四十课时? 一、课 题 §10.1 分析计数原理和分步计数原理(3) 二、教学目标 1. 进一步理解两个基本原理。 2. 会运用两个基本原理分析解答简单的应用题。 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 1. 两个基本原理是本章重要的基本理论,通过运用,进一步理解两个基本原理,进一步掌握分类思考与分步思考的方法。 2. 运用两个基本原理时,应强调以下重点。 分类计数原理中的“做一件事,完成它可以有 n 类办法” ,是对完成这件事的所有方法的一个分类。分类时,首先要根据问题 的特点确定一个分类的标准,然后在确定的分类标准下进行分类,其次分类时要注意满足一个基本要求:完成这件事的任何 一种方法必属于某一类,并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法。只有满足这些条件,才能用分类计数原理。 分步计数原理中的“做一件事,完成它需要分成 n 个步骤” ,是指完成这件事的任何一种方法,都要分成 n 个步骤。分布 时,首先要根据问题的特点确定一个分布的标准,其次分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这 n 个步骤后 这件事才算完成。只有满足这些条件,才能用分步计数原理。 这些思想观点,应在教学中向学生详细阐明。 1. 理论复习 说说你对两个基本原理的理解。注:这样的问题,答对的标准比较宽松。只要学生解答对大概的主要的意思,就应表扬;不 仅原理叙述准确,并且加上自己的正确的理解,更应当受到称赞。目的只有一个,重在理解。这符合素质教育的要求。 *100* 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

2. 应用举例 (1) 增例:平面上的直线 l 上的三点 P 、 P 、 P 及 l 外一点 A,过这四点中的两点连直线,可连得多少条不同的直线? 1 2 3 学生议论,形成共识:以直线过不过 A 点为分类标准,过 A 的 3 条,不过 A 的 1 条,由分类计数原理得可连不同的直线 3+1=4 条。 变式 1:在 1~20 共 20 个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 变式 2:在 1~20 共 20 个整数中取两个数相加,使其和大于 20 的不同取法共有多少种? 注:取 a+b 与取 b+a 是同一种取法。 变式 1 思路:分类标准为两家数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得 10×9=90 种取法,第二类,奇奇相加,也 有 10×9=90 种取法。根据分类计数原理共有 90+90=180 种不同取法。 变式 2 思路:分类标准一,固定小加数。小加数为 1 时,大加数只有 20 这 1 种取法;小加数为 2 时,大加数有 19 或 20 两种 取法;小加数为 3 时,大加数为 18,19 或 20 有 3 种取法??小加数为 10 时,大加数为 11,12,? ,20 共 10 种取法;小 加数为 11 时, 大加数有 9 种取法?小加数取 19 时, 大加数为 1 种取法。 由分类计数原理, 得不同取法共有 1+2+?+9+10+9+? +2+1=100 种。 分类标准二,固定和的值。有和为 21,22,?,39,这几类,依次有取法 10,9,9,8,8,?,2,2,1,1 种。由分类计数 原理得不同取法共有 10+9+9+?+2+2+1+1=100 种。 (2) 指导学生阅读例 2、例 3,培养学生阅读理解能力。 组织学生议论这两例的共同点与不同点。 共同点:都要分布计数。 不同点:例 2 分四步,每步确定一个键盘上的数码,并且数码可重复使用;例 3 分两步,每步安排一个工人值班,第 1 步排 定的工人,第 2 步不再排此人。 变式 1:集合 A={a,b,c},B={1,2},问 A 到 B 的不同映射 f 共有多少个?B 到 A 的不同映射 g 共有多少个? 变式 2:用数字 1,2,3 可写出多少个小于 1000 的正整数? 变式 1 思路:分 3 步,分别以 a,b,c 为原象,确定它们的象,f 共有 2×2×2=8 个,同样 g 有 3 =9 个。 变式 2 思路: 有分类, 又有分步。 分类是一位数, 二位数, 三位数共三类, 再分步确定各位上的数字, 共可写正整数 3+ 3 + 3 =39 个。 3. 归纳小结 分类计数原理与分步计数原理,回答的都是有关一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类计数原理针对的是“分类” 问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是 “分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只完成做这件事的一个步骤,只有各个步骤中的方 法都完成才算做完这件事。 注:本节安排了较多的应用问题,可用多媒体辅助教学,从出示问题,分析讨论,所给出解答。要注意从时间上保证分析和 解决问题的实施,保证重点、难点的突破。 4. 课堂练习 教科书第 86 页练习第 3、4、5 题,习题 10.1 第 3、6 题。 七、练习设计 教科书习题 10.1 第 4、5 题。 八、板书设计 §10.1 分析计数原理和分步计数原理(3) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 第四十一课时? 一、课 题 *101* 举例 例2 练习小结
2 3 2

§10.2 排列(1) 二、教学目标 1. 2. 3. 理解排列、排列数的概念。 了解排列数公式的推导,培养学生“化归”的数学思想方法。 能用排列数公式计算排列数。

三、教学重、难点 1.重点:排列、排列数的概念 2.难点:排列数公式的推导. 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 1. 复旧引新 (1) 分类计数原理和分步计数原理及其区别。“分类”“分步”完成一件事) ( 、 (2) 用分步计数原理计算下面两个问题的结果。 (用多媒体投影教科书上的问题 1、问题 2、 ) 问题 1 分析:分 2 步完成,第 1 步,确定参加上午活动的同学,有 3 种方法;第 2 步,确定参加下午活动的同学,有 2 种方法, 根据分步计数原理,共有 3 ? 2 2. 讲授新课

? 6 种方法。 (多媒体演示 6 种结果)

问题 2 分析:仿问题 1 分析过程并演示结果。从而导出新课。 (1) 排列和排列数概念。 从以上两个实例的结果中,引出排列和排列数的概念。应向学生指出:①排列定义中包括:a.取出元素,b.按一定顺序排 列。因此,两个排列相同,必须它们的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同。②排列与排列数是两个既有联系又有区别 的两个概念。 (结合问题 1、2 的结果)③排列数用 (2) 排列数公式的推导。 提问:从 n 个不同元素中取出 2 个元素的排列数 求

An

m

表示。

An

2

是多少?

An

3

呢?

An

2

化归为从 n 个元素中任取 2 个填入排好顺序的 2 个空位(图 10-1) 。分两步:第 1 步,填第 1 个位置的元素,有 n
2

种方法;第 2 步,填第 2 个位置元素,有(n-1)种 方法.由分步计算原理有 n(n-1)种方法,从而 An
2 3 求 An (仿求 An 的方法,图 ? 2 10 )得An

? n(n ? 1) .

3

? n(n ? 1)(n ? 2)
第1位 第2位 第3位

第1位

第2位

n 图 10-1
2 3

n-1

n

n-1 图 10-2

n-2

求出 An , An 后,用同样方法,求 An (图 10-3).分为 m 步:第 1 步,填第 1 个位置的元素有 n 种方法;第 2 步,填第 2 个位置的 元素有 n(n-1)种方法???第 m 步,填第 m 个位置的元素有(n-m+1)种方法.由分步计算原理共有 n(n-1)(n-2)?(n-m+1)种方法. 得出公式
m An ? n(n ? 1a)(n ? 2)?(n ? m ? 1) .

m

*102*

第 1位

第2位

第3位 ??

第m位

n

n-1 图 10-3

n-2

n-m+1

注:①公式中 n, m ? N

*

且m ? n; ②公式特点:左边地表 1 个因数是 n,后面的每个因数都比前面一个因数少 1,最后一个
2 7 A5 ? 5 ? 4 ? 20; A8 ? 8 ? 7 ? 6 ? 336. ③“分步”思想在解决排列问题中的应用。

因数为 n-m+1,共有 m 个因数相乘.如 (3)公式的简单应用. 讲解例 1

通过例 1 的讲解,使学生熟悉公式,掌握公式的特点.
m

变式题: ①如果 An

? 17 ?16? ?? 5 ? 4, 则 n=______,m=______.(答案 17、14)
15

②若 n ? N , 则(55 ? n)(556? n)(57 ? n) ?(68 ? n)(69 ? n) 用排列数符号表示为______.(答案 A69 ? n ) ③若
3 3 A2n ? 10An , 则 n=_____.(答案 8)

An7 ? An5 ④若 An5 =89,则 n=______.(答案 15)
3.反馈练习 (1) 写出从 4 个元素 a,b,c,d 中任取 2 个元素的所有排列.(答案 ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cd,cb,da,db,dc) (2) 计算
8 A12 . (答案 5) 7 A12

(3) 计算

A84 ? 2A82 .(答案 1568)
m An , 则 n=_____,m=______.(答案 18、11)

(4) 若 18?17 ?16 ? ?? 9 ? 8 ? 4.归纳总结

(1) 排列的概念要抓住其含的两层意思:①取出元素,②按一定顺序排列. (2) 排列数公式要抓住其特点,能用它求排列数. (3) 注意“分步”思想在本节中的应用. 七、练习设计 教科书习题 10.2 第 1、3(2)、4(1) 、4(4)题。 补充题 用排列数符号 八、板书设计 §10.2 排列(1) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 *103* 举例 例2 练习小结
m An 表示式子 (l ? 7)(l ? 8)?(l ? 17) 应为________.(答案 Al117 ) ?

第四十二课时? 一、课 题

§10.2 排列(2) 二、教学目标 1. 能运用分类计数原理和排列数公式解决较简单的排列应用题。 初步学会解带有简单限制条件的排列应用题。提高学生分析和解决实际问题的能力 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 1. 复旧引新 上节课我们学了利用排列数公式解决简单的应用题。解题的关键是把实际问题“化归”为排列问题,请同学 们练习下题。 (多媒体投影题目) ① 有红、黄、蓝三面旗。从上到下竖直挂在旗杆上表示信号,每次要求挂 3 面旗,问能表示多少种不同信号?(A 3 种) ② 将上述题中的每次 3 面改为每次 2 面,结果如何?(A 3 种) 2. 讲解例 4 让学生举出例 4 中可能出现的一些信号种类(如举出 1 面旗的信号、2 面旗的信号、3 面旗的信号各若干种) ,在次基础上引导学 生把举出的这些信号进行分类;挂一面旗的信号 A 3 +A 3 +A 3 =15 种。 (依据的是分类计数的原理) 3. 变式训练:由 1、2、3、4 这四个数字可以组成多少个没有重复数字的正整数? 简解:可以把所要排的正整数分为三类:一位数有 A 4 个,二位数有 A 4 个,三位数有 A 4 个,四位数有 A 4 个,故共可组成没有重 复数字的正整数的个数为:A 4 +A 4 +A 4 +A 4 =64 个 4. 讲解例 5 (1) (2) 出发去考虑。 解法一: (从位置出发) ,先画出数字框图(图 10-6) ①受限位置百位上的数字有几种排法?(A 9 种)②十位、个位上的 , 数字又有几种排法?(A 9 +A 9 还是 A 9 *A 9 ?)
1 2 1 2 1
1 2 3 4 1 2 3 4

解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

3

2

A 3 种,挂两面旗的信号 A 3 种,挂三面旗的信号 A 3 种。故共有信号

1

2

3

1

2

3

提出菜单问题:用 1 到 9 这 9 个数字能组成多少个无重复数字的三位数?(A 9 个) 多媒体投影展示例 5。

3

启发:例 5 较之(1)中提出的问题多了一个限制元素“0” ,有了一个受限位置(0 不能排百位上) ,因此我们应从限制条件

百位

十位

个位

? *104*

A 19

2 A9

图 10-6

解法二: (从元素出发分析) ,根据受限元素 0 出现的位置把符合条件的三位数分成 3 类(图 10-7) ,用分类计数的原理,共 有不同的三位数 A 9 +A 9 +A 9 =648 个。 解法三: (逆向思考法) ,从 0 到 9 这十个数字中任取 3 个数字的排列数为 A 10 ,其中 0 在百位上的排列数为 求的三位数的个数是 A 10 -A 9 =648 个。 5. 变式训练(可用多媒体投影题目) 变式 1:从 6 个人中选 4 人坐在一排的 4 个不同的座位上(每座位一人) ,若甲指定坐在两端的任意座位上,求不同坐法的 种数。 简解:甲的坐法有 A 2 种,其余三个位置的坐法有 A 5 种,由分步计数的原理得不同的坐法有 A 2 A 5 =120 种。 变式 2:由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 50000 的偶数共有多少个? 解法一: (正向思考法)见图 10-8,个位上的数字排列数有 A 2 种(从 2,4 中选) ;万位上的数字排列数有 A 3 种(5 不能选) , 十位、百位、千位上的排列数有 A 3 种,故符合题意的偶数有 A 2 A 3 A 3 =36 个。 七、练习设计 教科书习题 10.2 第 1、3(2)、4(1) 、4(4)题。 八、板书设计 §10.2 排列(2) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结
3
1 1 1

3

2

2

3

A 9 ,故所

2

3

2

3

1

3

1

1

3

第四十三课时? 一、课 题

§10.2 排列(3) 二、教学目标 巩固复习本节知识。 进一步掌握带有限制条件的排列应用题的解法,在数学中进一步让学生熟悉正向思考与逆向思考两种解题思路。 3 能综合应用排列数公式及分类计数原理与分步计数原理解排列应用题,提高学生解较复杂一些的排列应用题的能力。 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. *105* 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

六、教学过程 内容分析 本节课既是对前面排列知识内容的一个总结,也是排列应用题教学别的复习与延伸。因此,教学的重点与难点仍然是在学生 巩固本节所学知识的基础上,准确地进行“分类”或“分步” ,合理使用两个基础原理,找出解题思路。 本节课在复习巩固中安排了 3 道基本技能训练题,其中第 1 题是为巩固排列数公式
m An =

n! (n ? m)!

而设计的,同时也是

为学生做习题 10.7 第 10 题打基础的,目的是帮助学生巩固如何用排列数公式证明恒等式;第 2 题是一道排列在圆锥曲线方 面的应用题,既开拓了排列知识的应用范围,更主要的是复习如何用分类计数原理进行“分类” ;第 3 题是一个带有限制条 件的排列问题,重点是复习解排列应用题常用到的“正向思考”与“逆向思考”两种解题思路。 补充例题 1 是排列问题中较常见的题 型之—排队问题。例 1 后面安排的由易到难的各种变式,目的是试图从各个方面给这 类题型常见的各种 情况。从培养学生用排列知识灵活解题的能力。教师在列 1 及其变式题的教 学中,应引导学生充分利用框图进行分析,做到先练后议、先议后讲,充分 调动起学生思维的积极性。 基本知识复习 排列数公式
m m An =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)或 An =

n! ,公式的前者主要用于排列数的计算,而后者主要用于排列数 (n ? m)!



式的求解与证明。 利用排列数公式与两个基本原理解排列应用题,是本节教学的重点与难点,解题的基本原则是:①选原理—分类计数原理与 分步计数原理;②选思路—正向思考法与逆向思考法;③画框图—帮助理解,提高解题的直观性。 基本技能训练 课堂练习(多媒体投影题目) 求证:
n 2 n Am = Am * Am?2 . ?2

证明:∵

2 n Am * Am?2 = ?2

m! (m ? 2)! m! n * = = Am ∴原式成立. (m ? 2)! [(m ? 2) ? (n ? 2)]! (m ? n)! x2 y2 ? ? 1 可表示多少个焦点在 x 轴上相异椭圆? m n
解:分为四类:①m=2 时,n=1;

若 m ? {2,5,8,9},n ? {1,3,4,7},则方程

②m=5 时,n=1、3、4;③m=8 时 n=1、3、4、7; ④m=9 时,n=1、3、4、7.故可表示不同椭圆的个数为 1+3+4+4=12 个。 (3) 1 到 6 这 6 个数字中任取 5 个数组成没有重复数字的无位数, 从 且个位和百位必须是奇数, 这样的五位数共有多少个? 解法一:正向思考,如图 10-10,个位与百位上的数字共有
3 A32 A4 =144 个五位数。 3 A32 种排列方法,而十位、千位、万位上的排列有 A4 种。故共有











3 A4

A32
千 百 十 个

图 10-10 万

*106*

A54
甲 万 千 百

1 A3





3 A4

1 A3

1 A3



图 10-11

七、练习设计 教科书习题 10.2 第 1、3(2)、4(1) 、4(4)题。 八、板书设计 §10.2 排列(3) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第四十四课时? 一、课 §10.3 题 组合(1)

二、教学目标 1. 理解组合的意义。 2. 掌握组合数公式。 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 1.复习 定义 排列 略 公式 略 特点 略 相同排列 略 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

2.

提出问题

从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 请同学们想一想,这一问题与前面所讲的“从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加某天的一项活动,其中 1 名同学参加上午的活 动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法。 “有什麽不同? 启发:前面的问题是甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,还要按上午与下午的不同顺序安排,属于排列问题。 *107*

本节问题是从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名旧可以,不需要分上午、下午的不同来排,是与顺序无关的,这就是我们这节课所 讲的组合问题。 3. 组合的概念 一般的,从 n 个不同元素中取出 m(m ?

n) 个元素,并组成一组,叫做从 n 个不同元素取出 m 个元素的一个组合。

判断下列语句是排列问题还是组合问题: (1) 从 A 、B、C、D 四个风景点选出 2 个进行游览。 (2) 从甲、乙、丙、丁四个学生选出 2 人担任班长和书记。 引导学生归纳组合的特点以及相同组合的含义,总结排列与组合的区别和联系。 4. 组合数的概念 从 3 名同学中选出 2 名参加一项活动,求有多少不同种的选法,就是要求出从 3 个不同的元素中取出 2 个元素的所有组合的 个数。 提问:如何组合呢? 模拟实验:找 3 个同学编号甲、乙、丙,让学生自己选取,在愉快的氛围中得到答案:甲乙、甲丙、乙丙。 进一步提出问题: 若在 4 个不同的元素 a、b、c、d 中取出 2 个,共有哪些组合呢? 引导学生画下图(图 10—13)(以某一元素为主) :

由此可写出所有的组合:ab,ac,ad,bc,bd,cd 将上述问题推广到一般: 从 n 个不同元素中取出 m(m ? 5. 组合数公式的推导: 从前面可知,从 3 个不同元素中取出 2 个元素的组合数是 C 3 =3,从 4 个不同元素中取出 2 个元素的组合数是 C 4 =6. 提问:从 4 个不同元素 a、b、c、d 中取出 3 个元素的组合数 C 4 是多少呢? 启发: 由于排列是先组合再排列, 而从 4 个不同元素中取出三个的排列数 A 4 就可以求得, 故我门可以考察一下 C 4 和 A 4 的关系, 投影如下 组合 abc abd acd bcd abc, abd, acd, bcd, 排列 bcd, bad, cad, cbd, cab, dab, dac, dbc, acb, bca, cba abd, bda, dba adc, cda, dca, bdc, cdb, dcb
3 3 3 3 3

n) 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,记作 C m . n

2

2

从上面可以看出,每一个组合都对应着 6 个不同的排列,因此,求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A 4 ,可以分如下 两步:1 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合,共有 C 4 个,2 对每一个组合的 3 个不同元素作全排列,各有 A 3 ,有分步记
3 A4 A33

3

3

数原理得

3 A4

3 =C 4

3 3 ·A 3 ,因此,C 4

=

.

总结推广:一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 A n ,可以分为如下两步:1 先求从这 n 个不同元素中取出 m 个元 *108*

m

素的组合数 C n ,2 求每一个组合中 m 个元素的全排列数 A n ,根据分布记数原理,得到:A n =C n ·A m .
m An m Am

m

m

m

m

m

m 因此,C n

=

=

n(n ? 1)( n ? 2) ? ? ? ? ? ? ? (n ? m ? 1) m!
Cn =
m

(n、m∈N +,且 m≤n)指导学生归纳出组合数公式的另外一种形式

?

n! m!(n ? m)!

6.巩固训练 ① 师生共同完成排列与组合的对照表(见本节开始复习的表) 。 ② 计算 C 7 ,C 10 (35,120). ③ 科教书第 99 页练习 1、2(由学生完成) 。 7 归纳总结 组合与排列的相同之处都是从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素,不同之处在于组合没有“顺序” 七、练习设计 教科书习题 10。3 第 3、5 题 八、板书设计 §10.2 组合(1) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结
4 7

第四十五课时? 一、课 §10.3 题 组合(2)

二、教学目标 1、深刻理解组合与排列的区别与联系,提高学生抽象思维及分析问题的能力。 2、掌握组合数公式,并能利用它们解决一些简单的应用问题 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 1. 复习回顾 (1) 排列的概念、组合的概念。 (2) 排列与组合的区别与联系。 *109* 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

(3) 排列数公式、组合数公式。 2. 例题精讲 例 1.教科书 10.3 例题 2:求证 C n =
m

m ? 1 m?1 C . n?m n

目的:让学生掌握组合数公式(证明略) 变式:求证 C n =
m

n m

C n ?1 .
m m ?1

m ?1

学生证明后,指出上式可改写为:m·C n =n·C n ?1 . 注:上式在化简有组合数的和式时有一定的作用,如: 1C n +2C n +3C n ··· ···+9C n =nC n?1 +nC n?1 +nC n?1 +··· ···+nC n?1 例 2:计算①C 6 和 C 6 ;②C 7 —C 6 与 C 6 ;③C 11 +C 11 . 解:①C 6 =
2 4 3 2 3
4 5

1

2

3

9

0

1

2

8

6?5 4 6?5? 4?3 =15,C 6 = =15; 2 ?1 4 ? 3 ? 2 ?1 6?5 3 2 7?6?5 3 6?5? 4 ②C 7 —C 6 — =35—15=20,C 6 = =20 3 ? 2 ?1 2 ?1 3 ? 2 ?1 11 ? 10 ? 9 ? 8 11 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 4 5 ③C 11 +C 11 = + =792 4 ? 3 ? 2 ?1 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1
2

目的:为下节课学习组合数定额两个性质打好基础。 例 3:①从数字 1、2、5、7 中任选 2 个,计算它们的和,试问可以得到多少个不同的和? ②从数字 1、2、5、7 中任选 2 个,计算它们的差,试问可以得到多少个不同的差? 解:①因为加法满足交换律,所以第一问从数字 1、2、5、7 中任选 2 个数作和,与所选数字的顺序无关,属于组合问题,因此, 结果为 C 4 =6 ②从数字 1、2、5、7 中任取 2 个作差,有减数与被减数之分,因此所取两个数与顺序有关,属于排列问题。因此结果为 A 4 =4 ×3=12。 目的:帮助学生正确区分排列与组合。 例 4:教科书例 3。 分析: ①以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数, 就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的组合数, C 10 = 即
2
2 2

10 ? 9 =45。 2 ?1

②由于有向线段的两个端点中一个是起点,一个是终点,以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数,就是从 10 个不 同元素中取出 2 个元素的排列数,即 A 10 =10×9=90。 目的:培养学生如何把实际生活中的问题初步提炼为“数学模型” ,从而解决问题。 例 5:有不同的中文书 7 本,不同的英文书 5 本,从中选出 2 本书。 (1)若其中一本为中文书,一本为英文书,问共有多少种不 同的选法?(2)若不限条件,问有多少种不同的选法? 分析(1) :完成这件事必须分两步进行,第一步从 7 本不同的中文书选出 1 本,第二步从 5 本不同的英文书中取 1 本,因此要用 分步计数原理。C 7 .C 5 =35 分析(2):所选的 2 本书可以 2 本中文书,也可以是两本英文书,还可 1 本是中文书,1 本是英文书,因此完成这件事有三类办法,要采用分 步计数原理,且选取的 2 本书与顺序无关,它属于组合问题. 解法(1):C 7 +C 5 +C 7 ·C 5 =21+10+35=66
2 2 1 1 1 1 2

*110*

解法(2):问题相当于 12 本不同的书中任意选取 2 本书,即为 12 个不同元素中取出 2 各不同元素的组合数,C 12 = 答:一共 66 种不同的选法. 目的:训练学生合理应用分类(步)计数原理的能力,以及将实际问题转化为”数学模型”的能力. 3.课堂练习 (1) (2) (3) (4) 计算 C 3 ,3C 3 -2C 2 (答案:56,148)
8 8
5

2

12 ? 11 =66 2 ?1

求证:C m =
n

m ? 1 m?1 C n ? 1 n?1
10

圆上有 10 个点,过每 2 个点画一条弦,一共可画多少条弦?(C 2 =

90 =45) 2
8

空间有 8 个点,其中任何 4 个点不共面,过每 3 个点作一个平面,一共可以作多少个平面?(C 3 =56)

4.课堂小节 (1) (2) 由排列数和组合数的关系 C m A m =A m 进一步理解排列与组合的联系和区别;排列与顺序有关,而组合与顺序无关。
n m n

解决实际问题首先看是否与顺序有关,从而确定是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类(步)计数原理。

七、练习设计 教科书习题 10.3 第 2、3(2) 、6(2)题。 八、板书设计 §10.2 组合(2) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

*111*

第四十六课时? 一、课 §10.3 题 组合(3)

二、教学目标 1. 掌握组合数的两个性质,并能运用它解决一些简单的应用问题。 2. 初步掌握“一一对应”与“归纳”的思想。 3. 进一步训练用组合数公式及分类(步)计数原理解决实际问题。 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 1 复习提问 (1) 组合数的计算公式的两种表示怎样?各有何用途? (2) 用组合数公式计算 C 3 =?,C 7 =?它们有何联系?(相等)
10 10

解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

引入:这种相等并偶然,它正是本节课我们学习的组合数的性质之一。 板书:组合数性质 2.讲授新课 (1) 组合数性质一 ① 提出问题:为什么 C 3 =C 7 或 C 7 =C1010-7 呢?C64=C66-4 吗?将其推广到 Cnm=Cnn-m 呢?
10 10 10

② 解决问题:引导学生分三个层次解决。 a. 用“取法”与“剩法”和组合概念解释:从 10 个元素中取出 7 个元素后,还剩下 3 个元素。就是说,从 10 个元素中每次取出 7 个元素的一个组合,与剩下的(10-7)个元素的组合是一一对应的,因此 C107=C1010-7,为加深学生认识,可再举几个学生熟悉 的例子。 b. 推广到一般:一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个元素后剩下(n-m)个元素。因此从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个 组合,与剩下的(n-m)个元素的每一个组合一一对应,故 Cnm=Cnn-m c. 用组合数公式证明, (可引导学生选择公式后,由学生完成证明过程)证明见教科书 ③ 几点说明 a 这是组合数的性质一,当 m>

n 2

时,用 Cnm=Cnn-m,可将组合数计算大大简化,如 C20012000=C20012001-2000=C20011=2001

b 为了使公式在 m=n 时也成立,规定 Cn0=1.(应向学生解释此规定的合理性) c 公式特征:两边下标同,上标之和等于一侧下标。 (2) 组合数性质二 ① 提出问题:教科书例 4 分析:本题是一个典型的抽球问题,教学过程中应向学生讲清。口袋内 7 个白球虽然大小相同,但它们仍是不同的元素,为了便 于理解可以看成它们编上了号码;白 1、白 2……白 7,从而让学生理解(1)即是从 8 个不同元素中每次取出 3 个的组合,取法为 C83 种,对于(2)可启发学生:取出的 3 个球中含有 1 个黑球,则只考虑在 7 个白球中取 2 个,因而有 C72 种取法,对于(3)可让学生分析得出. 启发:三个问题结果有何关系呢?C83=C73+C72,你能对此作出合理解释吗? ② 解决问题: (引导学生分三个层次解决) a 用组合数定义解释:C83=C72+C73 即从口袋中的 8 个球中所取出的 3 个球,可以分成两类:一类含一个黑球一类不含黑球,因此 *112*

根据计数原理,等式成立。为加深学生的感性认识,可补充一个简单例子。 b 推广到一般:一般地,从 a1,a2,……,an+1 这 n+1 个不同的元素中取出 m 个的组合数是 Cn+1m 这些组合可分成两类,一类含 a1,一 类不含 a1 含有 a1 的组合是从 a2,a3,……an+1 这 n 个元素中取出(m-1)元素与 a1 组成的,共有 Cnm-1 个不含 a1 的组合是从 a2,a3,……,an+1 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的,共有 Cnm 个,由分类计数原理得:Cn+1m=Cnm+Cnm-1. C.用组合数公式证明.(引导学生分析后,让学生自己证明) ③几点说明. a. 这是组合数的第二个重要性质,在下节“二项式定理”时,将会看到它的重要应用。 b. 此性质在计算、证明的过程中,同样能简化运算。 c. 公式特征。 (见内容分析 4) d. 此公式的引入过程,用到了“分类”的思想, “分类”是处理排列组合的重要方法。 3.巩固练习 ⑴计算 C 7 +C 7 +C 8 +C 9 .(结果 210) ⑵求证:C m ? 2 =C m +2C m +C m . ⑶计算 C 5 +C 5 +C 5 +C 5 +C 5 +C 5 ,并猜想一般结论。 (结果 25) 4.小结: (让学生小结,老师归纳) (1) 组合数性质有:C n =C n
m n?m 0 1 2 3 4 5 n n n?1 n?2 3 4 5 6

,C n?1 = C n +C n

m

m

m ?1

(2) 应用组合数性质时,要点是当 m>

n 2

时,可由 C n =C n

m

n?m

简化运算;性质二可正用,即裂项,也可逆用,即并项。

(3) 三个思想: “取法”与“剩法”一一对应思想,特殊到一般的归纳思想, “含与不含其元素”的分类思想。 七、练习设计 教科书习题 10.3 第 2(1) 题。 、5 课外研究题: 1. 解方程:C x ? 2 +C x ? 2 =
1 2 3 x ?2 x ?3

1 3 A 10 x?3
n

(答案:x=4)

2. 求证:C n +2C n +3C n +??nC n = 提示:倒序相加 八、板书设计

n 2

(C n + C n +??C n ) 。

0

1

n

§10.2 组合(3) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第四十七课时? *113*

一、课 §10.3

题 组合(4)

二、教学目标 1. 进一步巩固组合数的两个性质,并能用性质解题. 2. 复习巩固组合的概念、公式,解决一些较复杂的组合应用题. 3. 掌握两个原理及排列与组合概念的区别,提高合理选用知识的能力. 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 1. 复习提问 ① 组合数的两个性质是什么?各有何作用? ② 排列与组合概念的区别?(“有序与无序”) 引入:今天这节课将进一步巩固组合数性质,并结合组合概念解决组合一些应用题. 板书:组合(4) 2.新授 例 1:已知:C 2 x =C x ? 7 ,求 x?
25 25

解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

分析:这是一个组合数方程,可直接用组合数公式计算,但较繁,仔细观察,其形式与组合数性质一相似,可直接用组合的概念 结合性质求解,学生容易直接得出 2x=x+7 得 x=7 而漏解,可先让学生尝试后,再由教师纠错。 解:由 C 2 x =C x ? 7 得,2x=x+7 或 25-2x=x+7,∴x=6 或 x=7
25 25

注:①组合方程要注意组合数的意义,即 C m 中 m≤n,m、n∈N .


n

③ 方程 C

f ( x) n

=C g ( x ) 等价于:f(x)=g(x)或 f(x)+g(x)=n
n

变式 1:已知 C 14 =C 4 ,求 C t (结果 190)
t t 20

变式 2:已知 C x

x?2

=C 5

x ?1

+C x ?1 ,求 C x ?5 +C x ? 4 的值?
6 2x 2x

分析:直接用组合数公式求 x 较繁,题目中的已知和要求的式子,都与性质二相似,因此要灵活运用性质解题。 解:由 C x
x?2

=C 5

x ?1

+C x ?1 =C 6

6

x?2

,∴x=6,∴原式=78

例 2(教科书例 5) 分析:本题是一个典型的产品抽样问题,这类问题在产品检验等实验问题中经常碰到,与例 4 一样,也要强调抽取的 100 件产品 是互不相同的。第(1)小问是无约束条件的组合问题,启发学生“不同的抽法”即是从 100 个元素中取 3 个元素的组合数 C 3 =161700.
100

第(2)、(3)小问是有约束条件的组合数问题,应该优先考虑约束问题,也可逆向间接求解,对于(2)要强调“恰好”即是“有且 只有”的意思,启发学生运用上节课介绍的“含与不含某元素”的方法,结合分步计算原理,让学生自己解决,即 C 1 ·C 2 =9506.
2

98

对于(3)要向学生讲清“至少有一件次品”即包括两种情况: “恰有一件次品” ,因此在解题思路上可启发学生从两方面考虑:一 *114*

是直接法(正向思考)即分类的思想,让学生参照第(2)小问, “恰有一件次品”的抽法有 C 1 ·C 2 , “恰有两件次品”的抽法
2

98

有 C 2 ·C 1 种,由分类计数原理,学生易得出“至少有一件次品”的抽法的种数是:C 1 ·C 2
2

98

2

98

+ C 2 ·C 1 =9506+98=9604,
2

98

二是间接法(逆向思考)即去杂思想,先不考虑约束条件,即第(1)小问,有 C1003 种,再减去不符合条件的种数,不符合条件 的情况是“从 100 件产品中任取 3 件都是正品” ,共有 C 3 种,故 C 100 —C 98 =161700—152096=9604(种) 。
98

3

3

注:①对于有约束条件的排列或组合问题,常有两种思考方法:一是优先条件,直接求解,二是不管条件,找到反面,间接求解。 ②“至多”“至少”的问题,通常用分类法或间接排除法求解。 、 变式 1:将第(3)问中的“至少”改为“至多” ,情况又怎样呢? 略解:解法一: (分类法)C 2 ·C 98 +C 98 =9506+152096=161602(种) 。 解法二: (间接排除法)C 100 —C 2 ·C 98 =161700—98=161602(种) 。 变式 2:导演从学校选出 10 名预备群众演员,其中有二人是教师,其余是学生,现在要选出 5 人上场出演: (1) 2 名教师都被选的情况有多少种?(2)没有选到教师的情况有多少种?(3)只有 1 名教师被选中的情况有多少种?(4) 至少有 1 名教师被选中的情况有多少种? 略解:学生仿照例 5,自己解决。 ①C 2 ·C 8
2 1

2

3

3

2

1

3

②C 8

5

③C 2 ·C 8

1

4

④C 2 ·C 8 + C 2 ·C 8 或 C 10 —C 8

2

3

1

4

5

5

例 3.6 本不同的书全部送给 5 人,每人至少一本,有几种不同的送书方法? 分析:这是一个常见的排列组合混合题,对于这种题型,解题的思想是:先组后排。教学过程中要引导学生思考“每人至少一本” 的含义是“必然有 1 人得 2 本” 。因此,要分两步完成。 (结果:C 6 ·A 5 =1800 种) 注:①本题应用了捆绑法的思想,它对解决相邻问题很有效。 ②排列组合问题应遵循先组后排的原则,最后用分步计数原理求解。 变式 1:6 本不同的书全部送给 5 人,有多少种不同的送书方法?(结果:56=15625 种) 变式 2:5 本不同的书全部送给 6 人,每人最多一本,有几种不同的送书方法?(结果:A 5 =720 种)
6

2

5

变式 3:5 本相同的书全部送给 6 人,每人最多一本,有几种不同的送书方法?(结果:C 5 =6)
6

3.课堂练习 (1)解决“前言”里提出的第 1 个问题, (2)习题 10.3 第 7 题。 4.课堂小结 (1) (2) (3) 方程 C n
f ( x)

=C n

g ( x)

等价于 f(x)=g(x)或 f(x)+g(x)=n

解决组合问题的方法与“排列问题”相似,常用方法有:条件优先法,间接排除法,捆绑法,插空法等。 排列组合混合问题:先组后排。

七、练习设计 教科书习题 10.3 第 9、10 题。 课外研究题:教科书习题 10.3 第 13 题。 八、板书设计 §10.2 组合(4) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 *115* 举例 例2 练习小结

第四十七课时? 一、课 §10.3 题 组合(5)

二、教学目标 1 对排列组合的知识有一个系统的了解,从而进一步掌握。 2 掌握排列组合的一些常见模型及解题方法。 3 能运用排列组合概念及两个原理解决排列组合的综合题 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 一, 复习提问:本单元的主要知识点有哪些? 引入:今天这节课我们将运用这些知识点解决应用问题。 二.新课讲授 例 1 :有 3 名男生,4 名女生,在下列不同的要求下,求不同的排列方法总数。①全体排成一行,其中甲只能在中间或者在两 头位置。②全体排成一行,其中甲不再最左边,乙不再最右边。③全体排成一行,男女各站在一起。④全体排成一行,男女各不 相邻。⑤全体排成一行,其中甲,乙,丙三个按自左至右的顺序保持不变。 分析: ①分两步进行: 其中甲为特殊元素, 应优先排, A 3 , 有 其余六人无约束条件, 进行全排列, A 6 , 有 共有: 3 *A 6 6 =2160 A (种) 。②甲,乙为特殊元素,左边右边为特殊位置,常有三种思路,特殊元素法:抓住甲排最左边与不排最左边分类,共有: A 6 +A 5 *A 5
6 1 1 1 6 1

解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

A5
1 5

5

=3720(种) ;特殊位置法:先排最左边,除去甲外,有 A 5 种,余下 6 各位置全排有 A 6 种,但应剔除乙在
1 6 1 5 7

1

6

最右边的排法 A 5 *A 5 种,共有;A 6 *A 6 -A 5 *A 5 =3720(种) :间接法:七人全排,共 A 7 种,剔除甲排最左边或乙排最左边, 担甲在最做,乙在最右,剔除了两次,故共有 A 7 -2A 6 +A 5 =3720(种) 。③这是一相邻问题,可用视一法:A 3 *A 4 *A 2 =288 (种) 。④这是某元素要求相邻问题,常用差空法,因男女生必须相间排列,先排好男生(为什么呢?) ,然后将女生排如空出的 四个位置之中,共有 A 3 * A 4 =144(种) 。⑤这是一个定序排列问题,有两种思路,一是抓特殊元素甲,乙,丙:A 7 =N A 3 ,
3
4

7

6

5

3

4

2

7

3

而N=

A77 A33

= 840(种) 。二是抓特殊位置:C 7 *A 4 =840(种)

3

4

变式 1:排成前后两派,前排 3 人,后排 4 人。 略解:本题即为 7 人全排列:C 7 *A 3 *A 4 =A 7 =5040(种) *116*
3 3
4

7

变式 2:全体排成一行,其中甲乙必须在两头。答案;A 2 *A 5 =240 (种) 变式 3:全体排成一行,其中男生必须排在一起。答案;A 3 *A 5 =720 变式 4:全体排成一行,男生不能排在一起。答案:A 4 *A 5 =1440(种) 评注:本题是排列组合应用题模型之一-------排队问题。解有限制条件的排列问题时,首先考察特殊位置上元素的选法,在考 虑其他位置或其他元素,及特殊位置法或特殊元素法,当然也可以用间接发或排除法,如问题①②即变式 2。问题③④即变式 34 是元素相邻与否的问题,处理方法是: 元素相邻,看成一体;元素不相邻,见空插进去。但要注意相邻元素间得排位怎么办空位 是怎么出现的?问题 6 实际上是一个机会均等的问题,就是说在 A 7 中,甲乙丙 的不同顺序有 A 3 种,而符和条件的排法只占 A 3 中的一份。事实上,排队问题与排节目单,课程表等问题的模式相同,应紧紧围绕限制条件设计解法,同时,因排列组合答案 一般数目较大,不易直接验证,就以应着重检查新设计的解题方案是否合理,完备,有无重复或遗漏。特别的分类时标准要统一。 例 2:用 0 1 2 3 4 5 ,这六个数字。①可组成多少个无重复数字的五位自然数?②可组成多少个无重复数字的五位奇数?③可 组成多少个无重复数字的能被 5 整除的五位数?④可组成多少个无重复数字的大于 31250 的五位数? 分析:①解法一:直接法:C 5 *A 5 =600 个,解法二:间接法: A 6 -A 5 =600 个。②一个数是否为奇数取决于个位数字,所以 个位为特殊位置,又 0 不能排在首位,所以 0 为特殊数字,应优先考虑,有 C 3 * C 4 * A 4 =288 个。③可分两类:末位是 0 时有 A 5 个,末位是 5 时,首位又不能是 0,有(A 5 -A 4 ) 个,共有 A 5 +(A 5 -A 4 ) =216 个。④用分类法解: C 2 * A 5 +C 3 *A 4 +C 2 *A 3 +1 =325 个 变式 1: 可组成多少五位偶数?答案:A 5 +C 2 *A 4 * A 4 =120+193
4
1 1 3 4

2

5

3

5

(种)

3

7

3

3

1

4

5

4

1

1

3

4

4

3

4

4

3

1

4

1

3

1

2

=312 个

变时 2:将组成的无重复数字的五位书按由小道大的顺序排列,则 31250 时此数列中的第几项? 略解:既要找出比 31250 小的五位数,有 C 2 *A 5 +A 4 +A 3 +A 2 *A 2 第 275 项。 评注:本题是排列组合应用题模式二------排数问题。排数问题有明显限制条件:特殊位置法为主,而由于有元素 0,往往 先对问题进行分类:0 在内或 0 不再内。问题②③及变式①主要研究具有某些特征(如:奇偶数,被 5 整除等)的自然数的个数, 处理此类题,应先明确数的构成原理,确定元素的取法,必要时用分类讨论。 例 3: 4 个不同的球。四个不同的盒子,把球全部放入盒内,①共有几种方法?②恰有一个盒不放球,共有几种方法? 分析:①分步计数原理:4*4*4*4*4=4 =256(种) 。②为保证“恰有一个盒子不放球”,先从四个合资重任意拿出一个,问题 归纳为: 个球,3 个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种方法?(C 4 *A 3 )故共有 C 4 *C 4 *A 3 =144(种) “4 变式 1:恰有一盒内有 2 球,共有几种放法? 略解: “恰有一个盒子放 2 球”, “与恰有一个盒子不放球是等价的”,故共有 144 种 变式 2:至多有一个盒子不放球,共有几种放法? 三、小结 处理排列组合的常用方法有:①相邻元素归并法(或称视一法) ; ②相离元素插空法; ③定位元素优先安排法; ④有序分配依次分组法; *117*
2
4

1

4

3

2

1

1

=240+24+6+4=274(个) 。及 31250 时此数列中的

3

1

2

3

?A

4 4

1 3 ? C4 ?2 ? A3 ? 168 4

?

⑤多元素不相容情况分类法; ⑥交叉问题集合法; ⑦混合问题先组后排序法; ⑧“至少”“至多”问题间接排除法。 、 七、练习设计 教科书习题 10.3 第 12 题。复习题十 A 组第 5、10 题。 课外研究题: 例 1 中问全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人。 八、板书设计 §10.2 组合(5) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第四十七课时? 一、课 题 §10.4 二项式定理(1) 二、教学目标 1. 掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式。 2. 会利用二项展开式及通项公式解有关问题。 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 (一) 引入新课 教师指导,初中我们学习了完全平方公式,前一节我们又学习了组合数公式,容易得到
1 ?a ? b?2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 = C20 a 2 ? C2 ab ? C22b 2

解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

1 ?a ? b?3 ? a3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? 3b3 ? C30c3 ? C3 a 2b ? C32 ab2 ? C33b3

(二)

探索规律,得出结论

1. 提出问题。 2.

?a ? b?4 ? ?a ? b??a ? b??a ? b??a ? b? 的展开式中的各项是什么?
思考:在

?a ? b?4 ? ?a ? b??a ? b??a ? b??a ? b? 的展开式中 ab3 是怎样来的?有多少个 ab3 ?
*118*

教师引导: ab 即 abbb ,是从上面四个括号中各选一个而来,三个 b 自四个括号中给出,四个括号中选三个 b ,有 C 4 种 可能。由于选出三个 b 的括号的同时自然剩下一个括号选出 a 。因此, a 与 b 是同时得到的。所以在计算 ab 的数目时,只需 考虑 b 的数目就可以了,而不必考虑 a 的数目。所以 ab 的个数是 C 4 ,即 ab 的系数是 C 4 。 学生实践:由学生按刚才的道理分别写出 a , a 3. 归纳结论。 4. (1)由以上探索我们得到 (2)提问:谁能写出
1 ?a ? b?4 ? C40 a 4 ? C4 a 3b ? C42 a 2b 2 ? C43ab3 ? C44b 4 。
4 3 3 3 3 3

3

3

3

3

3

b

,a

2

b 2 , b 4 的系数。

、 (a ? b) 5 (a ? b) 6

的展开式?

(3)归纳:一般对于任意正整数 n ,我们有
n 1 (a ? b)= Cn 0 a n ? Cn1a n?...? b

n ? C r n ? a n ? r b r ? ? ? C n n b。n ? N * 指出:①这个式子所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫做(a ? b) n 的二项展开式,各项系数 C r n (r=0,1,2,??,n)叫做

?

?

二项式系数。 ②式中 r n a n ? r b r 叫做二项展开式的通项,记作 C

Tr ?1 ? C r n a n?.r b r (4)找归律,系数: r n 的下标 n,上标的序数 r+1 C
3.特例 在二项展开式中令 a=1,b=x,让学生写出

少 1,指数: n ?r 的指数与b r a

的上标相同, r n 的指数与b r 饿指数之和 n。 C

(1 ? x) n ? 1 ? Cn x ? Cn x 2 ? ?? C n n x n
1 2

结合具体的例子启发学生体会这种“取特例”研究数学的方法。 (三)定理应用 1. 讲教科书 10.4 节例 1、例 2、例 3。 2. 小结:例 1、例 2 的作用在于熟悉二项展开式。例 2 讲解时应说明当二项式较复杂时,可先将式子化简然后再展开,例 3 是用 展开式的通项公式求给定项,这时避免出错的关键是弄清共有多少项,所求的是第 n 项,相应 r 是多少。 3. 课堂训练:学生板演教科书 10.4 节练习第 1、2、3、4 题。 答案:① ② ④

p 2 ? 7 p 6 q ? 21p 5 q 2 ? 35p 4 q 3 ? 21p 2 q 5 ? 7 pq6 ? q 7
③ T3 ? 2160 4b 2 a n?2r (?1) r r Tr ?1 ? r C n ? x 3 2

T3 ? 4860 4 a 2 b

七、练习设计 教科书习题 10.4 第 1①、2①②、4①②题。 。 八、板书设计 §10.4 二项式定理(1) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

*119*

第四十八课时? 一、课 题 §10.4 二项式定理(2) 二、教学目标 1. 正确运用二项式定理,解决与之相关的恒等式证明问题,进一步熟悉二项展开式通项公式,灵活地应用于复杂多项式中,求 某些项系数的问题。 2. 会利用二项式定理解决某些近似计算以及整除性问题。 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 内容分析 1. 本小节是在学习了二项式定理之后的习题课,任务是对二项式定理进行运用,为后面进一步学习二项式定理的性质奠定了基 础。因此,这节课对学生具有承前启后的作用。在这节课的教学中,要紧紧抓住二项式定理这个知识点,运用类比思想,引 导学生认识问题,解决问题。 2. 本小节的重点是正确运用二项式定理及其展开式通项公式。二项式定理是一个恒等式,即 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

(a ? b)n = Cn an ? Cn an?1b ? ? ? C r n ? a n?r br ? ?? C n nbn n ? N *
0 1

?

?

对任意 a、b 该等式均成立。通过 a、b 取不同的特殊值,可得到一些给某些问题带来方便的特殊等式,如 可令 a=1,b=x 则: (1 ? x)
n

? 1? Cn x ? Cn x2 ? ?? Cn xn
1 2 n

又可令 a 不变,-b 代替 b 则:

(a ? b) n ? Cn a n ? C 1n a n ?1 (?b) ? ? ? Cn (?b) n
0 n

? Cn an ? Cn an?1b ? ?? (?1)n Cn bn
0 1 n

这两个等式在解决某些问题时经常直接运用。 本节课安排了两个二项式定理进行巩固与深化,能够提高学生应用数学的能力,培养学生学习数学的兴趣。在例题讲解时,要 紧紧抓住运用二项式定理这一共性,重点放在二项式定理这个知识点的应用上。为进一步学习二项式系数埋下伏笔。 3. 本节课的难点是符号比较抽象,式子比较复杂。在实际数学板书时,将很长的式子展开后,要注意同类项的合并,要使学生 容易看出其中的规律。 学习过程 (一) 复习提要 例 4:①计算: ( x ? 1)
5

? 5( x ?1)4 ? 10( x ?1)3 ? 10( x ?1)2 5( x ?1)
1

②计算: 1 ? 2Cn

? 4Cn ? ?? 2n Cn
2

n

本例题是二项式定理的逆用。 若正用二项式定理, 亦可求解, 但过程较繁。 【 ① [(x ? 1) ? 1] *120*

5

? 1 ? x5 ? 1



3n


0

例 5:证明恒等式: C10

? C10 ? ?? C10 ? 210
1 10

让学生思考恒等式证明的一般方法。引导学生联想此例题与二向展开式的异同,运用取特例方法解决问题。 由学生探讨可知,若令 a=1,b=1,则

(a ? b)10 ? (1 ?1)10 ? C10 ? C10 ? C10 ? ?? C10
0 1 2

10

? 210

这种证题方法值得注意。 练习:化简 例6: (1)求

Cn xn ? Cn xn?1 ? Cn xn?2 ? ?? (?1)n Cn
0 1 2

n

(1 ? 2 x)7
1 ( x ? )9 x

的展开式的第 4 项的系数。

(2)求

的展开式中

x 3 的系数。
3

这是教科书中的例 4。应通过这个例子说明二项式系数与相应的某一项的系数是两个不同的概念。 例 7:求

(1 ? x) 2 (1 ? x)5 展开式中 x
r

的系数。

思路:利用通项公式

Tr ?1 ? Cn an?r br ,则
Tr ?1 ? C2 ? xr
r

(1 ? x) 2

的通项为

r∈{0,1,2}

(1 ? x)5 的通项为 Tk ?1 ? C5k (?x)k ? (?1)k C5k xk
令 k+r=3,则

k∈{0,1,2,3,4,5}

?k ? 1 ?k ? 2 ?k ? 3 或? 或? ? ?k ? r ?r ? 1 ?r ? 0

从而

x 3 的系数为 C51C21C52C53 ? 5
2

【反馈练习:求 (1 ? x ? x 例 8:求

)(1 ? x)10 的展开式中 x

5

的系数。 】

0.9986

的近似值,使误差小于 0.001。

?n ? 6

在初中进行近似计算时常常借助计算器等工具, 教师引导学生借助二项展开式来完成。 指出利用 展开式计算,即:

0.9986 ? (1 ? 0.002)6

0.9986 ? (1? 0.002)6 ? C6 C6 ? (?0.002)1 ? C6 (?0.002)2 ? ?? C6 (?0.002)6
0 1 2 6

由于展开式中第三项为 计。 则

C6 ? 0.0022 ? 15? 0.0022 ? 0.00006小于 0.001,从而以后的各项的绝对值更小,故可以忽略不
2 0 1

0.9986 ? (1? 0.002)6 ? C6 ? C6 ? (?0.002)1 ? 0.998
0.996
精确到 0.01 的近似值。 】

【反馈练习:求

*121*

例 9:证明

32n?2 ? 8n ? 9 (n ? N ? )

能被 64 整除。

考 虑 到 用 二 项 式 定 理 证 明 , 就 需 要 多 项 式 展 开 后 的 各 项 尽 量 多 的 含 有 82 的 式 子 。 因 此 , 可 将

32 n ? 2

化成

(32 )n?1 ? (8 ? 1)n?1
例 10:已知 解

再进行展开、化简即可证得。 【反馈练习:求 813 除以 9 的余数。 】 的展开式中最后三项系数之和为 22,中间项为 20000,求 x 的值。

( xlg x ? 1)n
r

Tr ?1 ? Cn ( x lg x ) r ? 1n ? r ? Cn x r lg x
r

? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn
0 1 2 n

n ?1

? Cn

n?2

? 22

那么n 2 ? n ? 42 ? 0 中间项为T4 ? C6 x 3lg x ? 20000
3

6 ? 5 ? 4 3lg x x ? 2 ?104 3? 2 3 lg x x ? 103
? x ? 10或
(二)课堂小结 通过例题讲解,加深学生对二项式定理及其展开式这一知识点的理解,是二项式定理的巩固与深化。 七、练习设计 教科书习题 10.4 第 5①②题、第 6②题、第 7①②题。 八、板书设计 §10.4 二项式定理(2) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

1 10

第四十九课时? 一、课 题 §10.4 二项式定理(3) 二、教学目标 1. 掌握二次项系数的性质,进一步认识组合数,组合数的性质。 能运用函数观点分析处理二项系数的性质,提高学生分析问题,发现问题,解决问题的能力,激发学生的创新意识。 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 *122* 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 1. 提出问题

(a ? b)

n

展开式中的二项式系数,当 n 依次取 1,2,3,??时,如下表所示:

?a ? b?1 ????????1 ?a ? b?2 ??????? 1 ?a ? b?3 ???????1 ?a ? b?4 ??????1 ?a ? b?5 ?????1 ?a ? b?6 ????1
?? ?? 6 5 4 3

1

2 1

3 1

6 4

1

10

10

5 1

15

20

15

6

1

??

(1) 上述的表叫做二项式系数的表,让学生观察上表中二项式系数的规律,并加以归纳。 (2) 这个表也称为杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角) ,让学生阅读教科书上这一段话,借以向学生弘扬我国古代优秀 文化成就,对学生进行爱国主义教育。 (3) 继续让学生观察杨辉三角,归纳每行二项式系数的特点(即二项式系数的性质) ,猜测出二项式系数的性质。 2. 组织讨论 根据杨辉三角,猜测出二项式系数的性质,学生充分讨论,发言,然后教师点拔,提炼,归纳,整理并引导学生如何从理论上加 以证明。 3. 理论推导 运用函数观点,把 量,定义域为
1 ?a ? b?n 的展开式中各项的二项式系数 Cn0 , Cn

, C n ??

2

n C n ,看作函数

r f (r ) ? Cn ,r

为自变

?0,1,2,?n? ,进而研究函数 f (r ) 的图象

───弧点的规律,即通过函数

f (r ) 的性质来推导二项式系

数的性质(1)(2) , 。 二项式系数的性质(1) :对称性。可让学生观察杨辉三角及
m n f (r ) 的图象,并结合组合数的性质 C n = Cn ?m 证明。 r f (r ) = Cn 是先增后减,且当 n 是偶数时,最 k k ?1

二项式系数的性质(2) :增减性与最大值,可仿照性质(1)可让学生观察得出

大值是中间一项,当 n 是奇数时,最大值是中间两项,然后用单调性定义比较 C n 与 Cn 二项式系数的性质(3) :各二项式系数的和。即
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2n

的大小来推导。

其推导方法是:在二项式定理中令 a=b=1,即可证得。这种方法称为“取特例法” ,是数学解题的重要方法之一。 4. 巩固练习 可结合教科书及二项式系数的三个性质,编一些较简单,直接运用性质获解的题目来巩固本节课所学内容。 *123*

(1) 已知 C2001 (2)

1998

3 ? a, 则 C2001 ? _____.(a)
4

?2x ? 3 y ?8

中的各二项式系数的最大值是--------,是二项展开式中的第----项。 C8 ( )

,5 )

(3)

( ?a ? b?10 的各二项式系数之和为------。 201

5. 变式训练 在讲解教科书例 5 的同时,说明运用“特取例法”可由二项式定理得出一系列代数恒等式,变式训练: (1) 证明: C2001 (2) 已 知 : (B)-1 6. 归纳总结: (1) 二项式系数的性质有三条:a.对称性;b.增减性与最大值;c.各二项式系数的和。 (2) 可依据“杨辉三角”的规律来求二项式系数,进而求二项展开式。 (3) 可依据二项式系数的性质及推导方法解决与二项式有关的恒等式的证明,求系数之和,最大值为较简单的数学问题。 七、练习设计 教科书习题 10.4 第 8,9,10 题 研究题:求二项式 八、板书设计 §10.4 二项式定理(3) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结
0 2 2001 ? 21 ? 22 C2001 ? ? ? 22001 C2001 ? ?1 2001

?1 ? 2x?7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? a7 x 7 ,
(C)0 (D)2

那么

a1 ? a2 ? ? ? a7

的值等于(

)

(A)-2

?x ? 2?7 展开式中系数最大的项,试归纳出形如 ?ax ? b?n 展开式中系数最大项的方法或步骤。

第五十课时? 一、课 题 §10.4 二项式定理(4) 二、教学目标 掌握二项式系数性质,会用这些性质解决一些实际问题,提高学生分析问题、解决问题的能力和创造能力,为今后进一步学习 概率论中的二项分布打下良好基础。 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 *124* 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

多媒体课件. 六、教学过程 (一) 复习二项式系数三条性质,再次指出,它们可由杨辉三角形看出。多媒体出示:

(a ? b)1 ??????????????1 (a ? b) 2 ?????????????1 (a ? b) 3 ????????????1 (a ? b) 4 ???????????1 (a ? b) ???? ??????1
5

1 2 3 3 6 10 15 20 4 10 15 1 1 1 5 1 6 1

4 5 6

(a ? b) ?????????1
6

┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
n 我们看到表中除 1 以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和, 利用这一性质, 可以根据 (a+b) 的各二项式系数写出 (a+b) n+1

的各二项式系数。这也可以算作二项式系数的第四条性质──递推性。

(二) 性质的运用: 1. 例 1: (1)有 1 元、2 元、5 元、50 元、100 元的人民币各一张,取其中一张或几张,能组成多少种不同的币值? (2)七个电阻串联在一起连成一串。中间只要有一个坏了,这串电阻就失效,因电阻损坏而失效的可能性种数是多少? 解: (1)因为一张都不取有 C 6 种方法,所以共组成不同币值:
1 2 3 4 5 6 C6 ? C6 ? C6 ? C6 ? C6 ? C6 ? 26 ? 1 ? 63( 种) 1 2 3 4 5 6 7 ? C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? 127 0

2)仿上例可知 C7

(种)

本例属组合应用题。两小题思路相类似。前一题师生共同完成,后一题可放手让学生自行完成。 2、例 2:计算 (1) C10 (2) C11
1

1

3 5 7 9 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10
2 3 4 5 ? C11 ? C11 ? C11 ? C11

(512)

(1023)

分析:本;例(1)小题是求(a+b)10 偶数项系数和。它等于各二项式系数之和的一半。 (2)小题是求(a+b)11 的第 2、3、4、5、 6、项系数之和。利用对称性,求到前六项系数之和,问题即可解。 3、例 3:若(x+3y)n 展开式的系数之和等于(7a+b)10 展开式的二项式系数之和,求 n 的值。 解:在(x+3y)n 中,令 x=1,y=1 代 2 入,得其展开式的系数的和为:4n,而在(7a+b)14 展开式中,二项式系数之和为 210, 则: 4 2
n= 10

∴n=5

教师在教学中再次比较系数和与二项式的系数和两个概念,指出求系数和的方法。 4、例 4:求 ( x ?
1 2n 展开式的中间项。 x

)

解:中间项是第 n ? 1 项,由通项公式得
n n Tn?1 ? C2n (? 1 ) n x 2n?n ? (?1) n C2n 求的展开式 x

) ( )( ) ( ) x 5、例 5: 求(x ? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? ?? ? x ? 1 展开式中
2 3 13

4

的系数。

解:因为

( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 3 ??( x ? 1)13 ?
的系数即为(x-1)14 展开式中 x5 的系数。

( x ? 1) ? ( x ? 1)13 ? 1 ? 1 ( x ? 1)14 ? ( x ? 1) 所以,展开式中 ? ? ( x ? 1) x

??

? ?

x4

*125*

本例处理的是非标准的二项式问题。答案: ? C14
5

? ?2002

七、练习设计 (1) 填空题: 若3
n 1 2 n ? Cn 3n?1 ? Cn ? 3n?2 ? ? ? (?1) n?1 Cn ?1 ? 3 ? (?1) n ? 512, 则 n=
6

9

.

设 (2 x ? 1)

? a6 x 6 ? a5 x 5 ? ? ? an x ? a0 .则 a0 ? a1 ? ? ? a6 ? 36
m?1 m m m ? Cn ?1 ? 2Cn ? Cn??21

(2) 证明: Cn

(3) 已知(1+X)n 的展开式中,第 5、6、7 项的系数成等差数列,求最大系数的项。 八、板书设计 §10.4 二项式定理(4) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第五十一课时 第五十二课时 一、课 题 单元测验课 二、教学目标 通过测验,检查学生对知识的掌握情况 三、教学重难点 重点:考查学生对知识的掌握 难点:学生应对考试的能力 四、教学方法 测验 五、教学手段 测验 六、教学过程 测验“彭州市单元检测题(二) 七、练习设计 复习,预习 八、教学后记

第五十三课时 第五十四课时 一、课 题 试卷评讲课 二、教学目标 *126*

通过试卷的评讲,让学生查漏补缺,巩固知识 三、教学重难点 重点:分析试卷 难点:讲解解题的方法 四、教学方法 启发式 五、教学手段 现代课堂教学手段 六、教学过程 评讲试卷,详见试卷 七、练习设计 改错,分析原因;预习 八、教学后记

第五十五课时? 一、课 题

§10.5 随机事件的概率(1) 二、教学目标 1.了解必然事件,不可能事件,随机事件的概念。 2.理解随机事件的发生在大量重复试验下,呈现的规律性。 3.理解概率的意义及其性质。 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 (一) 引入新课 观察下列事件发生与否,各有什么特点: (用多媒体展示) (1) “导体通电时,发热” (2) “抛一石块,下落” (3) “在常温下,焊锡融化” (4) “某人射击一次,中靶” (5) “掷一枚硬币,出现正面” (6) “在标准大气压下且温度低于0摄氏度时,冰融化” 。 引导学生分析: (1) (2)是必然要发生的, (3) (6)是不可能发生的,而(4) (5)时可能发生也可能不发生的。 *127* 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

今天我们要学习像(4) (5)这样的事件及它发生的可能性——随机事件及其概率。 (二) 讲授概念 什么是随机事件呢? 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 在一定条件必然要发生的事件叫必然事件。 在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。 如(1) (2)是必然事件, (3) (6)是不可能事件, (4) (5)时随机事件。 讲解例题1: (间 10.5 节例1) 分析:本例题主要让学生分清三种事件,学生不难掌握。 反馈练习: 1. 教科书练习题,第1题。 2. 请你列举一些你了解的必然事件、不可能事件、随机事件。 注意事项:三种事件都是在“一定条件下”发生的,当条件改变时,事件的性质也可能发生变化。 (三) 实验及事件的概率 随机事件的“可能发生也可能不发生”是不是没有任何规律地随意地发生呢?现在清同学们做两个试验,然后回答。 实验(一) :把一枚硬币抛多次,观察其出现的结果。并纪录个结果出现的频数,然后计算各频率。 (四人为一组,一人抛, 一人观察,一人纪录,一人检查,下同) 教师巡视,并提示要把数据纪录的准确、有条理,便于分析实验结果,然后展示实验结果。如表(一) 表(一) 投掷次数 投掷次数 正面向上 反面向上 频数 频率

实验(二) :把一个筛子投掷多次,差产出现的结果,并纪录个结果出现的频数,然后计算各频率。 此实验结果较多,应提醒学生用表格列出结果,并用科学的态度对待试验。如表(二) 表(二) 投掷次数 投掷次数 1 2 3 4 5 6 根据两个试验分别回答下列问题: (1) (2) (3) (4) 在实验中出现了几种实验结果?还有其他实验结果吗? 一次实验中的一个试验结果固定吗?有规律吗? 这些实验结果出现的频率有何关系? 如果允许你做大量的重复试验,你认为结果又如何呢? 频数 频率

以小组为单位进行分析讨论,然后各小组代表发言。归纳如下:

(1) (2)

实验(一)中只出现两种结果,没有其他结果,每一次实验的结果不固定,但只是“正面”“反面”两种中的一 、 实验(二)中只出现六种结果,没有其他结果,每一次实验的结果不固定,但只是六种重的某一种,它们出现的

种,且它们出现的频率均接近于 0.5,但不相等。 频率不等。当大重复试验时,六种结果的频率都接近1/6。 现在请同学们阅读教科书中的三个试验结果表。引出概念: 事件A的概率:一般的,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率m/n总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数 *128*

叫做事件A的概率。记作 P(A)。 分析总结事件A的概率: (1) (2) (3) 频率m/n总在 P(A)附近摆动,当n越大时摆动幅度越小。 0≤P(A)≤1,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,随机事件的概率大于0而小于1。 大量重复进行同一试验时,随机事件及其概率呈现出规律性。

巩固练习: 教科书第 114 页练习第1、2、3题。 (四) 课堂小结 1. 必然事件、不可能事件、随机事件时在一定条件下发生的,当条件变化时,事件的性质也发生变化。 2. 必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况。因此,任何事件发生的给率都满足 0≤P(A)≤1。 3. 随机事件在相同条件下进行大量试验时,成规律性,且频率m/n总是接近于常数 P(A),称 P(A)为事件A的给率。 七、练习设计 1、某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未中靶,试计算此人中靶的 频率,假设此人射击一次,试问中靶的概率约多大?(答案:中靶频率为 0.9,概率为 0.9) 2、 课外思考:由实验(一) 、实验(二) ,分析各种结果出现的概率。然后考虑,能否不进行大量重复试验,仅从理论上分析吃 它们的概率? 八、板书设计 §10.5 随机事件的概率(1) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第五十六课时? 一、课 题

§10.5 随机事件的概率(2) 二、教学目标 1. 2. 3. 理解基本事件,等可能性事件的概念. 理解等可能性事件的概率的定义,并能求简单的等可能性事件的概率. 能从集合的角度考察等可能性事件的概率. 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 (一)提出问题,引入新课 不做大量的重复试验,就下列事件直接分析它的概率大小. (1) 掷一枚均匀硬币,出现”正面向上”的概率是多少? (2) 掷一枚 子,出现”正面是 3”的概率是多少?出现”正面是 3 的倍数”的概率是多少?出现”正面是奇数”的概率是多少? *129* 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

三、教学重、难点

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

(3) 本班有 60 名学生,其中女生 24 人,现任选 1 人,则被选中的是男生的概率是多少? 被选中的是女生的概率是多少? 分析:由于抛硬币,抛股子,选学生代表都是学生熟悉的事件,放手让学生根据上节课的实验及日常经验去分析,学生基本上能完成, 然后教师进行总结.并对以下事件进行解释:”正面是 3 的倍数”包括正面是 3 和 6 两种情况,概率为 别为 1,3,5 三种情况,概率为 (二) 讲授概念 从前面的分析看,求事件的概率大小可以不做大量重复试验,仅从理论上进行分析,那么有无规律可找呢?先来学习几个相关概念. (1) 基本事件: 一次试验连同其中可能出现的每一个结果成为一个基本事件.如抛一枚硬币,出现两种结果叫做两个基本事件.抛 股子出现 6 种结果叫 6 个基本事件. (2) 事件 A: 试验中的一个事件,它由一个或几个基本事件构成.如” 抛一个股子,出现正面是 3 的倍数”记为事件 A,则事件 A 包含 正面是 3 和正面是 6 两个事件. (3) 等可能事件: 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个基本事件的概率都是 这种事件叫等可能事件. (4) 等可能事件的概率: 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果都是等可能的.如果事件 A 包含 m 个结果,那么事 件 A 的概率 P(A)= (三)巩固练习 1. 教科书 119 页练习第一题. 2. 把一个一个股子抛一次,设正面出现的点数为 x. (1) 列出 x 可能取值情况.(即全体基本事件) (2) 下列事件由那些基本事件构成? (A) x 的取值为 2 的倍数 (C) x 的取值不超过 2 略解: (1) 略 ( B) x 的取值大于 3 (D) x 的取值是质数

2 6

,”正面是奇数”包括正面分

3 6

,”选到女生”包括 24 位女士,概率位

24 60

.

1 n

,

m n

(3) 判断上述事件是否为等可能事件,并求其概率. (2)略

(3) P(A)= (四)

1 2

,

P(B)=

1 , 3

P(C)=

1 2

,

P(D)=

1 2 1 n
,即是等可能的.

概念剖析

(1) 一个基本一次试验结果,且每个基本事件的概率都是 (2) 公式 P(A)=

m n

既是求解公式,也是等可能性事件概率的定义.但它与随机事件的频率有本质的区别.

(3) 可以用集合的观点来考察事件 A 的概率.(如图一) P(A)=

card ( A) card ( I )
讲解例 1 分析:本题是一道简单的巩固概念的计算题,由三个小题组成,层层递进.本题要注意强调解题步骤与方法,特别要强调先 要判断所要求事件是否为等可能事件. 巩固练习

(五)

(六)

1. 甲,已,丙,丁四中选 3 人当代表,写出所有基本事件,并求甲被选上的概率.(答:

3 4

)

2. 一箱内有十张标有 0 到 9 的卡片,从中任取一张,则取到卡片上的数字不小于 6 的概率是多少?(答: (七) 小节 *130*

2 5

)

1. 正确理解基本事件,事件 A,等可能事件的意义及事件 A 的概率求法 P(A)=

m n

.

2. 求一个事件的概率首先要判断此试验是否等可能,其次要正确区别基本事件与事件 A. 3. 计算基本事件个数 n 及事件 A 包含的基本事件个数 m 时,一定要强调每个基本事件必须是等可能的. 七、练习设计 1. 教科书习题 10.5 第 1 题 2. 思考题:两枚股子同时抛出,基本事件有那些? 八、板书设计 §10.5 随机事件的概率(2) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第五十七课时? 一、课 题

§10.5 随机事件的概率(3) 二、教学目标 1. 巩固等可能性事件及其概率的概念。 掌握利用列举法等直观方法求较为复杂的等可能性事件的概率 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 (一) 复习引入 1. 什么是基本事件?如何求等可能性事件 A 的概率? 2. 先后抛掷三枚均匀的一分、二分、五分硬币。 (1) 一共可能出现多少种不同结果?一一列举出来。 出现“2 枚正面 1 枚反面”的结果有几种?概率多大? 中“2 枚正面 1 枚反面”共有 3 个,其概率为 3/8。 (二) 讲例题 3: 分析:本题是一个股子先后投掷 2 次,求向上数字之和的概率问题。 分析:可由学生自己去尝试,然后进行总结:一共出现 8 中基 本事件,且都是等可能的: (正正正) (正正反) (正反正) (正反反) (反正正) (反正反) (反反正) (反反反) 。其 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

*131*

(1) 抛掷一次股子可出现几种结果?先后抛掷两次出现几种结果呢? (2) 先后抛掷 2 次股子,正面向上的数字之和有多少种不同结果?

求出正面向上数字之和为 5 的概率。将 36 种结果一一列举如下:

1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

3 3 3 3 3 3

1 2 3 4 5 6

4 4 4 4 4 4

1 2 3 4 5 6

5 5 5 5 5 5

1 2 3 4 5 6

6 6 6 6 6 6

变式练习 1 (1) 出现正面向上的数字之和分别为 2、3、4、5、6、7、8、9、10 的概率? (2) 出现正面向上的数字之和为几的概率最大?最大概率是多少? (3) 出现正面向上的数字之和为 5 的倍数的概率为多少? (4) 出现正面向上的数字之和为 3 的倍数的概率为多少? 解: (1) 正面向上 数字之和 概率 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
6 1 ? 6 正面向上的数字之和为 7 的概率最大,最大概率是 36
3? 4 7 ? 36 36 (3)正面向上的数字之和为 5 的倍数的概率为

(2)

2 ? 5 ? 4 ? 1 12 1 ? ? . 36 36 3 (4)正面向上的数字之和为 3 的倍数的概率为
变式练习 2:有 50 张卡片(从 1 号至 50 号) ,从中任取一张,问所取卡片的号数是偶数的情况是多少?所取卡片的号数是 偶数的概率有多少? (答:25 种,概率为 50%) (三) 小结 本节课通过分析抛掷两次股子的试验结果,巩固了等可能性事件的概率的意义及求解方法。

用列举法把等可能性事件的基本事件一一列举出来,然后再求出其中 3 . 列举时必须按某一顺序作到不重复,不遗漏. 七、练习设计 1. 教科书习题 10.5 第 2、3 题。 2. 思考题:两个股子同时抛出,问: *132*

m n、m,再用公式 P(A)= n

(1) 出现正面向上数字之积有多少种不同情况? (2) 出现正面向上数字之积为 5 的概率为多少? 出现正面向上数字之积为 12 的概率为多少? 八、板书设计 §10.5 随机事件的概率(3) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结 答: (1)36 (2)1/18 (3)1/9

第五十八课时? 一、课 题 §10.6 互斥事件有一个发生的概率(1) 二、教学目标 1. 以集合为工具,使学生了解互斥事件、彼此互斥、对立事件的意义及其相互联系. 2. 掌握互斥事件的概率加法公式,会用公式求一些事件的概率. 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 (一) 复习引入 1 掷一枚均匀的硬币 事件 A:正面向上;事件 B:反面向上. 问:事件 A 、B 能否同时发生? 2.在一个盒子内放有 10 个大小相同的小球,其中有 7 个红球,2 个绿球,1 个黄球.从中摸出一个球. 事件 A:从中摸出一个球,得到红球;事件 B:从中摸出一个球,得到绿球;事件 C:从中摸出一个球,得到黄球. 问:事件 A 、B 能同时发生吗? 归纳:上述两个例子中,事件 A、B 都不能同时发生,像这种不可能同时发生的两个事件 称为互斥事件.(板书课题) (二) 讲授新课 互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件. 集合符号表示:A、B 互斥,A∩B=? 判断:引入 2 中事件 A 与 C,事件 B 与 C 是否互斥? 得出:事件 A、B、C 两两互斥,又称事件 A、B、C 彼此互斥. 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

推广:如果事件 A1、A2、A3。。 。。An 中任何两个都是互斥事件,那么就说事件 A1、A2….An 彼此互斥. 符号表示:Ai∩Aj=?(其中 i≠j,i,j=1、2、...、n). *133*

练习:(投影仪展示)判别下列每对事件是不是互斥事件. (1)将一枚硬币抛两次,记事件 A:两次出现正面;事件 B:只有一次出现正面. (2)某人射击一次,记事件 A:中靶;事件 B:射中环数小于 5. (答案: (1)A、B 互斥; (2)A、B 不互斥(3)A、B 互斥) 在引入 2 中考虑事件:从盒子中摸出一个球,得到红球或绿球. 思考: (1)此事件与事件 A 、B 是否互斥?(2)此事件的结果组成的集合与事件 A、B 的结果组成的集合有何关系? 引导学生认识到:此事件发生,即事件 A、B 中有一个发生,故记作:A+B. 由学生利用等可能事件的概率公式计算出:
7 9 2 P(A)= 10 ,P(B)= 10 ,P(A+B)= 10 = 2? 7 10

∴P(A+B)=P(A)+P(B) 指出这就是互斥事件有一个发生的概率加法公式,由学生用文字语言叙述公式,推广:若事件 A1、A2、...An 彼此互斥,则有: P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+P(An). 教师指出:注意上面两个公式成立的条件,在应用公式时要先判断事件是否互斥或彼此互斥. 练习:计算练习 1(1)中事件:至少有一次出现正面的概率. (答案: 思考:引入 1、2 中事件 A、B 能否都不发生? 引出:其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件.事件 A 的对立事件记作:A.符号表示:A∩ 练习: (投影仪展示) (1) 两个事件互斥是两个事件对立的----------条件. (2) 教科书第 127 页练习第一题. 思考:对立事件的概率加法公式有何特殊性呢? 引导学生得出:P(A)+P( A )=1,∴P( A )=1-P(A). 归纳:互斥事件与对立事件的关系:对立事件一定是互斥事件 ,但互斥事件不一定是对立事件.两个对立事件之和为必然事件. (三) 实例演练 10.6 例 1 教法:帮助学生分析已知事件之间的关系,尝试将所求事件分解为几个互斥事件的和事件. 练习:10.6 练习 2、3. (四) 归纳小结 1. 三个概念及其关系:三个公式成立的前提条件. 2. 注意用集合的概念理解与判断事件的互斥与对立. 七、练习设计 教科书习题 10.6 第 1,3 八、板书设计 §10.6 互斥事件有一个发生的概率(1) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 第五十九课时? 一、课 题 §10.6 互斥事件有一个发生的概率(2) 二、教学目标 *134* 举例 例2 练习小结
3 4

)

A=

?,A∪ A =I.

3. 以集合为工具,使学生了解互斥事件、彼此互斥、对立事件的意义及其相互联系. 4. 掌握互斥事件的概率加法公式,会用公式求一些事件的概率. 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 (一) 复习引用 复习:互斥事件,对立事件的意义,互斥事件与对立事件的概率加法公式。 引入:今天这节课我们继续学习互斥事件与对立事件及其概率公式的应用。板书课题:互斥事件有一个发生的概率(2) (二) 概念巩固 练习一(投影仪) 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

(1) 将一枚硬币抛两次,设事件 A:两次出现正面,事件 B:有一次出现反面,则事件 A 与 B 的关系为------------(2) 对飞机连续射击两次,每一次发射两枚炮弹,记事件 A:两次都击中飞机,事件 B:两次都没有击中飞机,事件 C: 恰有一次击中飞机, 事件 D: 至少有一次击中飞机, 其中互斥事件是------------------; 互为对立事件的是-----------------。 (3) 在 10 件产品中有 8 件一级品, 件二级品, 2 现从中任取 3 件, 记事件 A: 任取 3 件, 件都是一级品, 3 则事件 示:---------------答案:(1)互斥事件(2)A 与 B、A 与 C、B 与 D、B 与 D(3)任取 3 件,至少有 1 件是二级品。 小结:在事件互斥与对立关系的判断中,要结合问题的实际意义去理解,对立事件是互斥的,但互斥事件却不一定对立。 (三) 综合运用 讲解例 2 教师启发:本题是一道产品检验问题,这种问题我们在组合应用题中碰到过,在等可能性事件的概率应用中也

A



碰到过,请同学们联系有关知识与方法思考以下问题。 设问 1:从 20 产品中任取 3 件产品可能出现多少种不同的结果?这些结果出现的可能性相等吗? 设问 2:“任取 3 件,至少有 1 件为二级品”包括几种情况,其抽取方法有多少?

由学生利用组合知识分类得出:含“任取 3 件,恰好有 1 件二级品”,“任取 3 件,恰好有 2 件二级品”,“任取 3 件, 恰好有 3 件二级品”三种情况;抽取方法为
2 1 1 3 C5 · C15 + C52 C15 + C5 种。

设问 3:将上述三种情况,看作三个事件,分别记作 A1 、 A2

、 A3 ,判断 A1 、 A2

A3 的关系( A1 、 A2 互斥吗?对立吗?)
、 A3 的概率有何关系?

设问 4:事件 A:“任取 3 件,至少有 1 件为二级品”,则事件 A 的概率与事件 设问 5:事件 A 的对立事件是什么? 由学生解答,教师个别辅导。

A1 、 A2

小结:求某一事件发生的概率,首先应注意分析具体问题中事件发生的概率类型,本例的解法中对同一随机事件用了两种不 同的模型,即:互斥模型(正向思考)与对立模型(反向思考)。因此对同一个概率也常有多种不同的解法,我们应逐步训练自 己采用最简单的方法解题。 补充例题:某单位的 36 人中有 A 型血 12 人,B 型血 10 人,AB 型血 8 人,O 型血 6 人,如果从这个单位随机找出两个人, 那么这两个人具有不同的血型的概率是多少? 分析:本题正向思考较复杂,宜用反向思考的方法考率。 *135*

记事件 A:抽出两个血型不同,则 A :抽出的两人血型相同。
2 2 2 C12 ? C10 ? C82 ? C6 11 启发学生得出: P( A) ? = 2 45 C36

∴P(A)=

34 45

练习 2(投影仪展示题目) (1) 有三个人,每人都以相同的概率被分到四个房间中的一间,试求至少有两人分配到同一间房的概率。 略解:令:至少有,二人分配到同一房间。 则 A :三人都分配到不同的房间。
3 A4

∵P( A )= 4 3 =

3 8

∴P(A)=

5 8

(2)10 枚硬币中有:壹分币 5 枚,贰分币 3 枚,五分币 2 枚,从中随机抽取 3 枚,求至少有 2 枚币值相同的概率.
2 1 2 1 2 1 C5 C5 ?C3 C7 ?C2 C8

3 3 C5 ? C3

略解:可按正向思考分类:恰有 2 枚币值相同或三枚币值都相同,得 P= 或反向思考:令 A:任取 3 枚,至少有 2 枚币值相同, 则 A :任取 3 枚,三枚币值均不相同.
1 1 1 c5 C 3 C 2 ∴P(A)=1—P(A)=1— 3 C10

3 C10

+

3 C10

=

3 4

=

3 4

,此思路更简便。

(四)归纳小结 本节课利用互斥与对立两种模型将较复杂事件分解与转话,给出了求较复杂事件概率的正向思考与反向思考两种思路,无论 哪种思路都体现了等价转化的思想方法。 七、练习设计 教科书习题 10.6 第 5、6 题 课外思考题: 一个口袋内装有 3 个红球,n 个白球,从中任取 3 个,已知取出的 3 个球中至少有 1 个是白球的概率是 求 n 的值。
3 C 3 34 (答案:1- 3 = 得 n=4) C n ?3 35

34 , 35

八、板书设计 §10.6 互斥事件有一个发生的概率(2) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第六十课时? 一、课 题

§10.7 相互独立事件同时发生的概率(1) 二、教学目标 *136*

1. 了解相互独立事件的意义,注意弄清事件的意义“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念. 5. 理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式. 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 (一) 复习旧知识 复习互斥事件及其概率加法公式 (二) 事物演示,引概念 课前准备好教具,可 叫一些同学上台动手演示. 演示 1:甲、乙两人各掷一枚硬币 事件 A:甲掷一枚硬币,正面向上 事件 B:乙掷一媒硬币,正面向上 演示 2:甲坛子里有 3 个白球,2 个黑球;乙坛子里有 2 个白球,2 个黑球. 事件 A:从甲坛子里摸出一个球,得到白球 事件 B:从乙坛子里摸出一个球,得到白球 设问 1:演示 1、2 中事件 A、B 是否互斥?(不互斥) 设问 2:演示 1、2 中事件 A、B 可以同时发生吗?(可以) 设问 3:演示 1 中 P(A)=?P(B)=?事件 A 发生与否对 P(B)有无影响?(P(A)= 判断演示 2 中事件 A 发生与否对 P(B)有无影响,事件 B 发生与否对 P(A)有无影响? (均无影响。 ) 导出课题:相互独立事件同时发生的概率。 投影出:相互独立事件的意义。 练习 1(投影仪) (1) 判断演示 2 中 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

1 2

,P(B)=

1 2

,无影响。 )

A 与 B,A 与 B , A 与 B 是否相互独立。
) (D)B 与 A 选C

(2) 若事件 A 与 B 相互独立,则下列不相互独立的事件为( (A)A 与 B (B) A与B (C)B 与 B

(3) 篮球比赛中, “罚球二次"中事件 A:第一次罚球,球进了;事件 B:第二次罚球,球也进了。判断 A 与 B 是否相互独立。 (相 互独立) (4) 篮球比赛中, “一加一罚球"中事件 A:第一次罚球,球进了与事件 B:第二次罚球,球进了是否相互独立。 (不相互独立) 归纳:如果事件 A 与 B 相互独立,那么 (三)类比猜想、探索公式 问题:在演示 2 中计算:从甲、乙两坛子里分别摸出一个球,它们都是白球的概率。 设问 4:此时摸出了几个球?这个事件发生是,事件 A、B 是否发生? 得出:此事件发生时,A、B 都发生了,即 A、B 同时 发生,故该事件记为 A·B,也叫事件 A、B 的积事件。

A与B、与B、与B也相互独立。 A A

*137*

设问 5:事件 A、B 互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B) ,那么 p(A·B)与 P(A) 、P(B)会有何关系呢?请同学们大 胆猜想,予以探索。 猜想:P(A·B)=P(A) ·P(B) 验证: (1)由学生自己算出:P(A)=

3 2 1 ,P(B)= ? 。 5 4 2
P(A·B)=

(2)让学生用列举法列出从两个坛子里各摸出 1 个球的 20 种等可能结果。算出: 设问 6: (1)上述公式中,事件 A、B 应满足什么条件?试用文字语言叙述它。 (3)你能依此推广到多个事件的情形么? 先由学生口述,再用投影仪投影出来。 (四)应用 例:甲、乙两射手独立地射击同一目标,若他们各射击 1 次,击中目标的概率分别为 (1) 目标恰好被击中的概率; (2) 目标不被击中的概率; (3) 目标被击中的概率。 教法:先分析已知事件及其关系,设法将所求事件用已知事件表示,再利用公式计算。 答案: (1)0.18; (2)0.02; (3)0.98。 练习 2 (1) 想一想:演示 2 中,1-P(A)P(B)表示什么事件的概率。 (从两个坛子里分别摸出 1 个球,不都是白球。 ) 教科书 132 页练习第 1、2、3 题。 (五)归纳小结 1、 互相独立事件的意义,注意利用问题的实际意义进行判定。

6 20

=P(A) ·P(B) 。

2、 弄清公式 P(A·B)=P(A)·P(B)与P(A1·A2···An)=P(A1)·P(A2)·· ·· ··P(An)成立的条件。 3、 两个公式给出了化复杂事件的概率为简单的互相独立事件的概率计算的基本方法。 七、练习设计 教科书习题 10.7 第 1、2、3 题。 八、板书设计 §10.7 相互独立事件同时发生的概率(1) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第六十一课时? 一、课 题

§10.7 相互独立事件同时发生的概率(2) 二、教学目标 1. 能正确分析复杂事件的构成; *138*

2. 能综合运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式解决一些实际问题。 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 (一) 复习 概念 互斥事件 对立事件 意义 不可能同时发生的两个事件 其中必有一个发生的两个互斥事件 一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有 影响 公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

P(A)=1-P(

A)

互相独立事件

P(A·B)=P(A) ·P(B)

方法:求解较复杂事件概率正向思考与反向思考法。 教学思想:分类与等价转化的教学思想。 (二) 举例 例1. 讲解可按以下步骤进行。 1. 学生思考,教师启发:记事件 A:甲射击 1 次,击中目标;事件 B:乙射击 1 次,击中目标。A、B 两事件互斥吗?是 两个独立事件吗?A、B 同时发生的概率怎样计算?由学生解答第(1)题。 2. 对第(2)题,可提出以下问题引导学声思考。 (1) “恰有 1 人击中目标”的意义是什么?1 人击中,另 1 人不射击符合要求吗? (2) “恰有 1 人击中目标”包括几种情况?怎样用事件 A、B 表示。 (仍由学生解答) 3. 对于第(3)题首先让学生分析: “至少有 1 人击中目标” 包括几种情况?试一一列举出来,并用事件 A、B 表示所列举 的各个事件,让学生探用正向思考的方法解答。然后老师启发: “至少有 1 人击中目标”的对立事件是什么?能否用反 向思考的方法解答。 学生解答后,教师归纳小结如下: 在概率应用题中要注意分析已知事件的关系, 用正向或反向思考的方法将较复杂的事件分解为相对简单的一些事件的和事件 或转化为简单的对立事件。逆向思考在解决带有词语“至多”与“至少”的问题时的应用,常常能使问题的解答更简便。 变式:甲、乙、丙 3 人各射击 1 次,3 人击中的概率都是 0.6,求其中恰有 1 人击中目标的概率和目标被击中的概率。 (3 ? 0.6 ? 0.4 =0.228,1-0.4 =0.936。 )
2 3

例 2. 1. 记这段时间内开关 J A 、J B 、J C 能够闭合为事件 A、B、C,判断事件 A、B、C 的关系。 (互斥还是相互独立) 2. 事件构成分析:弄清“线路正常工作”的含义,正向思考可分为几类,试用 A,B,C 表示出来,反向思考,写出其对立事 件,A,B,C 表示。 选择最优解法,完成本题。 变式 1:如图 10—15,加上 1 个开关 J D ,此开关闭合的概率乃为 0 .7 ,计算这段时间内线路正常工作的概率。 (线路正常工作时, J A , J B , J C 三个开关中至少有 1 个能够闭合,且开关 J D 也要闭合,令事件 D:这段时间内开关 J D 能

*139*

够闭合。则这段时间内线路正常工作的概率为

?1? ??A ? B ? C??? ??D? ? 0.6811
? ? ?

变式 2:若开关如图 10—16 设置,求线路的概率。 简解:正向思考:

? ? ? A ? B ? C ? ? A ? B ? C ? ? A ? B ? C ? ?? A ? B ? C ? ? ? A ? B ? C = 0.847
反向思考: ? ? 1 ? ?

?

? ?

? ?

?C ??1 ? ?? A ? B?? ? 0.847

小节:求较复杂事件的概率时要针对问题认真分析,将较复杂事件转化为已知事件的和与积,再利用公式分别予以计算,最 后综合起来得到结论。 (三) 课堂练习 教科书 132 页练习题第 4 题。 (四) 小结 1. 解概率应用题的一般思路:正向思考和反向思考。 2. 正向思考、反向思考的一般步骤。 3. 注意利用问题的实际意义进行分析。 七、练习设计 教科书练习题 10.7 第 4、6 题。 课外思考题: 如图 10—17,a、 b 、 c 、 d 是四个处于断开状态下的开关, 每个开关闭合的概率均为 0.6,任意将其中两个闭合, 求电路被接通的概率。 (接通时 a、b、c 三个开关恰有一个闭合,开关 d 也闭合,其概率为: ? ? 3 ? 0.4 八、板书设计 §10.7 相互独立事件同时发生的概率(2) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结
2

? 0.62 ? 0.1728。 )

第六十二课时? 一、课 题

§10.7 相互独立事件同时发生的概率(3) 二、教学目标 1. 理解独立重复试验的概念,明确它的实际意义;引出 n 次独立重复试验中某事件恰 好发生 k 次的概率计算公式,并了解次公式与二项式定理的内在联系。 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 *140* 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 (1) 创设情境,引出课题 1. 2. 3. 老师引言:我们已经学习了互相独立事件同时发生的概率。同时还要求我们能够判断出怎样的事件是相互独立事件。 下面我们来观察一组试验,并请确定它们每次试验之间的关系,按要求求出概率。 问题: 在投掷一枚硬币一次时,正面向上的概率为p,那么反面向上的概率是多少? (1- p)
(2) (3)

(1)

在投掷一枚硬币两次时,第一次反面向上的概率是多少?第二次反面向上的概率又是多少?(都是 1-p) 投掷一枚硬币 n 次时,第 k 次反面向上的概率会是多少?(1≤k≥n,k∈N


)

(4) (5)

在投掷一枚硬币 n 次时,第 m 次出现正面向上,对第 k 次出现反面向上的概率有没有影响? (没有) 在投掷一枚硬币 n 次时,其中任何两次之间出现正面或反面的事件是相互独立的还是互斥的?

引出课题:独立重复试验 (二)新知探究 1、 独立重复试验是指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验。 2、 练习: (1) 判断下列试验是不是独立重复试验,为什么? a依次投掷四枚质地不同的硬币。 b某人射击,击中目标的概率是稳定的;他连续射击了十次。 c口袋中装有 5 个白球、3 个红球、2 个黑球,依次从中抽取 5 个球。 (1)每次试验是在同样条件下进行。 (2)各次试验中的事件是相互独立的。 (3) 问题: (6) (7) 某射手射击一次时,击中目标的概率为р ,他连续射击 4 次。是不是独立重复试验? (是) 问射击 4 次时,恰好第一枪未击中的概率是多少? P(1)=(1-p)·p·p·p=(1-p)p P(2)=p(3)=p(4)=(1-p) p
3 C4
3 3

(不是) (是) (不是)

引导学生分析出:a是试验的条件不同。c是试验的结果有三种。然后归纳出独立重复试验的基本特征:

每次试验都只有两种结果、即某事件要么发生要么不发生。

3、 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率

(8)问射击 4 次时,恰好第二枪未击中的概率是多少?恰好第三枪未击中的概率是多少?恰好第四枪未击中的概率是多少? (9)某射手射击 4 次时,恰有三枪击中时,共有几种情况?

(10)某射手射击 4 次时,恰有三枪击中的概率是多少?
3 P ? c4 (1 ? p) p 3

(11)请思考,某射手射击 4 次时,恰有两枪击中的概率是多少?恰有一枪击中的概率又是多少?
2 P1 ? c 4 (1 ? p ) 2 p 2

P2 ? c 1 (1 ? p ) 3 p 4
(12)若射手射击 6 次,恰有三枪击中的概率是多少?
3 P ? c6 (1 ? p) 3 p 3

(13)若某射手射击 n 次,那么恰有 k 枪击中的概率是多少?

*141*

k P ? cn p k (1 ? p) n?k

通过引导学生正确解决上面问题,然后归纳出 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率计算公式:
k Pn (k ) ? cn p k q n?k

k Pn (k ) ? cn pk (1 ? p)n?k

(其中 q=1-p,一次试验中事件发生的概率为 p) 4、例题:教科书例 3。 分析:5 次预报是不是 5 次独立重复试验? (1)若“预报 1 次结果准确”记为事件 A、则 5 次预报 4 次准确相当于 n 次试验中 A 发生多少次?概率公式怎样的?
5 或 P (4) 4 ? c5 ? 0.84 ? (1 ? 0.8) 5?4

(2)5 次预报中至少 4 次准确包括哪些情况? A 恰好发生 4 次和 A 恰好发生 5 次。

P ? p5 (4) ? p5 (5)
5、n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率计算公式与二项式定理的联系:它是[P+(1-p)] 展开的第 k+1 项。
n

问 题 : 恰 好 击 中 4 次 的 概 率 : C4

4

? 0.9 4 ? 0.10 恰 好 击 中

3 次 的 概 率 : C4

3

? 0.93 ? 0.1 ; 恰 好 击 中

2 次的概率:

2 C4 ? 0.9 2 ? 0.12 ;恰好击中 1 次的概率: 1 0 C4 ? 0.91 ? 0.12 ;恰好击中 0 次的概率: C4 ? 0.9 0 ? 0.14 。 4 3 2 1 0 ? 0.9 ? 0.1 4 ? C4 ? 0.9 4 ? 0.10 ? C4 ? 0.93 ? 0.1 ? C4 ? 0.9 2 ? 0.12 ? C4 ? 0.91 ? 0.13 ? C4 ? 0.90 ? 0.14 ( )



考: P k) Cn ( ? n

k

n p k q n?k 与(q ? p)展开似的关系

k Pn (k ) ? cn p k q n?k 是( p ? q) n 展开式中的第 ? 1项 k

6、练习:课本 10.7 练习 1。 (三)课堂小结 1、独立重复试验,是在同样的条件下重复地、 各次之间相互独立地进行的一种试验, 在这种试验中, 每一次试验的结果只有两种, 即某事件要么发生要么不发生,并且任何一次试验中事件发生的概率都是相等的。 2、n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率为:
k k Pn (k ) ? cn p k (1 ? p) n?k (Pn (k ) ? cn p k q n?k , 其中q ? 1 ? p)

3、 P (k )是( p ? q) n 展开式中的第 ? 1项(q ? 1 ? k n 七、练习设计 教科书练习题 10.7 第 9、10 题。 八、板书设计

p)

§10.7 相互独立事件同时发生的概率(3) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 *142* 举例 例2 练习小结

第六十三课时? 一、课 题

§10.7 相互独立事件同时发生的概率(4) 二、教学目标 1. 通过练习和习题,巩固 相互 独立事件以及独立重复试验的概念;并能应用相互独立事件的概率乘法公式和 n 次独立重复 试验中某事件恰好发生 k 次的概率公式解决一些应用问题 三、教学重、难点 1.重点:加法原理,乘法原理。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 内容分析 1. 本课是在学习了相互独立事件的意义,独立重复试验的概念;以及相互独立事件的概率乘法公式和 n 次独立重复试验中某 事件恰好发生了 k 次的概率公式的基础上的一节练习课。通过练习和习题,加深 学生对概念的理解,并学会应用这两个概 率计算公式解决一些实际问题 2. 本课的重点是相互独立事件的概率乘法公式和 n 次独立重复试验中某事件恰好发 k 次的概率计算公式的应用。 3. 本课的难点:在实际问题中,识别事件间的相互关系,把实际问题抽象成数学概率模型,判断出相互独立事件或独立重复 试验,进而利用相应的概率公式解决问题。 4. 解决应用问题时,应学会分析问题的背景材料,分清事件的构成以及概率的转化,会利用事件间的内在联系把复杂的事件 的概率问题转化为简单事件的概率问题。 (一) 复习引入 1. 简要复习 (1) 相互独立事件是指事件 A 与事件 B,他们其中一个发生于不发生对另一个发生的概率没有影响。 (2) 相互独立的事件一定不是互斥事件,互斥的事件就一定不是相互独立的事件。 (3) 独立重复实验室在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验。 (4) 相互独立事件的概率乘法公式:P(A*B)=P(A)*P(B)n 次独立事件重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率计算公式: Pn(k)=C n Pk(1-p)n-k 2. 练习: (1) 在下列问题中,试判断事件 A 与 B 是否独立?是否互斥? A,掷两枚硬币,A:一枚或 两没出现正面,B:只有一没出向正面; (不独立也不互斥) b。袋中有 3 红 2 白 5 个球:甲乙两人 从中各取一个;A:其中一人取得红球,B:其中一人取得白球; (独立但不互斥)C:袋中有 3 红 2 白 5 个球;从中进行不放回 的模样;A:第一次摸的红球,B:第二次摸的白球; (不独立也不互斥) *143*
k

解决方法:利用简单的举例得到一般的结论.

2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

(2)某产品的次品率 p=0。05,进行重复抽样检验,选取 4 个样品。求其中恰好有两个次品的概率是多少?其中至少有两个次品 的概率是多少?(保留 4 个有效数字) (要求学生解答) 答案: P4(2)=C
2 4

? 0.052 ? (1-0.05)2 ? 0.0135

P=P4(2)+P4(3)+P4(4) ? 0.0140 (二)应用举例 1. 某零件经过三道工序加工才是成品,第一道工序的合格率是 95%,第二道工序的合格率是 98%,第三道工序的合格率是 99%.假定这 三道工序互不影响,那么成品的合格率是多少?(结果精确到 0.01) 分析 (1)三道工序是否独立?为什么? (是相互独立,因为三道工序互不影响) (三道工序中都要求零件合格) P=p1p2p3=0.95 ? 0.980 ? 0.99 ? 0.92

(2)成品要求合格,那么对三道工序有什么要求? 即成品的合格率为 92%

解: 设成品的合格率为 p,三道工序的合格率分别为 p1,p2,p3 由于三道工序互不影响,所以.

2.某人参加一次考试,若五道题中解对四题则为及格,则已知他解题的正确率为 效数字) 分析: (1)解每道题是不是相互独立的?(是) (2)本题可归结为什么问题的概率?(5 次独立重复试验问题)

3 ,试求他能级格的概率?(结果保留四个有 5

(3)能及格相当于解答正确发生了几次?(恰好发生了 4 次和恰好发生了 5 次) 解:设及格的概率为 P,则

P ? P5 ?5? ? P4 ?4? ? 3? ? 3? 5? 3? ? C5 ? ? ? C54 ? ? ?1 ? ? ?5? ?5? ? 5? ? 0.3370 即他能及格的概率为 0.3370 。
3.设有两门高射炮,每一门击中飞机的概率都是 0 .6 。试求: (1)同时射击一发炮弹而命中飞机的概率是多少?(2)若又 一架敌机侵犯要以 0.99 的概率击中它,问须多少门高射炮? 分析: (1)可归结为什么概率问题?(相当于两次重复试验至少发生一次的问题) (2)可归结为什么概率问题?(相当于 n 次独立重复试验问题)怎样才能击落敌机?(至少有一发炮弹击中) 。 解: (1)两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机包括:两发炮弹恰有一发命中或两发都命中,设命中飞机为事件 A:
1 2 P? A? ? C 2 p?1 ? p ? ? C 2 p
5 4

? 2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 2 ? 0.84
即两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率为 0.84 。 (2)设需 n 门高射炮,同时发射一发炮弹命中飞机的概率为 0.99,则
1 P? A? ? Cn p?1 ? p? n?1 2 ? Cn p 2 ?1 ? p? n ?2
n ? ? ? Cn p n

=1 ? P =

?A?
n

0 1 ? Cn p?1 ? p?

*144*

= 1? 0.4 ∴ 1 ? 0.4

n

n

? 0.99

即 0.4

n

? 0.01

∴n

?

lg 0.01 ?5 lg 0.4

故要以 0.99 的概率击中敌机,需 5 门高射炮。 (三)课堂小结 在解决实际问题时,一定要认真分析背景材料,找出事件间的关系,然后在归结到相应的概率问题,建立相应的概率模型, 然后在利用响应的概率公式进行解题。 七、练习设计 复习参考十:A 组题 23、24 题;B 组第 13 题。 八、板书设计 §10.7 相互独立事件同时发生的概率(4) 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第六十四课时 第六十五课时 一、课 题 单元测验课 二、教学目标 通过测验,检查学生对知识的掌握情况 三、教学重难点 重点:考查学生对知识的掌握 难点:学生应对考试的能力 四、教学方法 测验 五、教学手段 测验 六、教学过程 测验“彭州市单元检测题(二) 七、练习设计 复习,预习 *145*

八、教学后记

第六十六课时 第六十七课时 一、课 题 试卷评讲课 二、教学目标 通过试卷的评讲,让学生查漏补缺,巩固知识 三、教学重难点 重点:分析试卷 难点:讲解解题的方法 四、教学方法 启发式 五、教学手段 现代课堂教学手段 六、教学过程 评讲试卷,详见试卷 七、练习设计 改错,分析原因;预习 八、教学后记

第六十八课时? 一、课 题

抽样方法
二、教学目标 了解简单随机抽样与分层抽样的概念,要求会用简单随机抽样和分层抽样这两种常用的抽样方法从总体中抽取样本。 三、教学重、难点 教学重点:会用简单随机抽样和分层抽样两种方法从总体中抽取样本 *146*

教学难点:会用简单随机抽样和分层抽样两种方法从总体中抽取样本 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 复习: 1.在统计里,我们把______________叫总体,其中的____________叫个体,从总体中______ _________________叫一个样本,样本中_________叫做样本容量。 2.从 5 万多名考生中随机抽取 500 名学生的成绩,用他们的平均成绩去估计所有考生的平均成绩,指出:_______是总体, ___________是个体,__________________是总体的一个样本,样本容量是______。 3.我们在初中学习过一些统计知识,了解统计的基本思想方法是用样本估计总体,即通过不是直接去研究总体,而是通过从总体 中抽取一个样本,根据样本的情况去估计总体的相应情况,例如,我们通常用样本平均去估计总体平均数,这样,样本的抽取是 否得当,对于研究总体来说十分关键。 那么,怎样从总体中抽取样本呢?怎样使所抽取的样本能更充分地反映总体的情况呢?下面我们介绍两种常用的抽样方法: 简单随机抽样和分层抽样。 二、新课讲授: 1.简单随机抽样: 假定一个小组有 6 个学生, 要通过逐个抽取的方法从中取 3 个学生参加一项活动, 1 次抽取时每个被抽到的概率是___, 第 第 2 次抽取时,余下的每个被抽到的概率都是__,第 3 次抽取时,余下的每个被抽到的概率都是__。 每次抽取时各个个体被抽到的概率是相等的,那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率是否确实相等? 例如,从含有 6 个体的总体中抽取一个容量为 2 的样本,在整个抽样过程中,总体中的任意一个个体 a ,在第一次抽取时,它被 抽到的概率是__;若它第 1 次未被抽到而第 2 次被抽到的概率是____,由于个体 a 第 1 次被抽到与第 2 次被抽到是___ (填互斥,独立)事件,根据___事件的概率__公式,在整个抽样过程中,个体 a 被抽到的概率 P=_______。又由 于个体 a 的任意性,说明在抽样过程中每个体被抽到的概率相等,都是__。 一般地,设一个总体的个体总数为 N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等, 就称这样的抽样为简单随机抽样。 事实上:用简单随机抽样的方法从个体数为 N 的总体中逐次抽取一个容量为 n 的样本,那么每次抽取时各个个体被抽到的概率相 等,依次是

n 1 1 1 1 , , ,?? ,且在整个抽样过程中每个个体被抽到概率都等于 N N N ?1 N ? 2 N ? (n ? 1)



由于简单随机抽样体现了抽样的客观性和公平性,且这种抽样方法比较简单,所以成为一种基本的抽样方法。如何实施简单抽 样呢?下面介绍两种常用方法 (1)抽签法 先将总体中的所有个体编号(号码可以从 1 到 N) ,并把号码写在形状、大小相同的号签上,号签可以用小球、卡片、纸条等制作, 然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时,每次从中抽出 1 个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n 的样 本,对个体编号时,也可以利用已有的编号,例如从全班学生中抽取样本时,可以利用学生的学号、座位号等。 抽签法简便易行,当总体的个体数不多时,适宜采用这种方法。 (2)随机数表法 下面举例说明如何用随机数表来抽取样本。 为了检验某种产品的质量,决定从 40 件产品中抽取 10 件进行检查,在利用随机数表抽取这个样本时,可以按下面的步骤进行: 第一步,先将 40 件产品编号,可以编为 00,01,02, ? ,38,39。 第二步,在附录 1 随机数表中任选一个数作为开始,例如从第 8 行第 5 列的数 59 开始,为便于说明,我们将附录 1 中的第 6 行至 第 10 行摘录如下。 16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 *147* 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 57 60 86 32 44

78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27

99 66 02 79 54 08 02 73 43 28

第三步,从选定的数 59 开始向右读下去,得到一个两位数字号码 59,由于 59>39,将它去掉;继续向右读,得到 16,将它取出; 继续下去,又得到 19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数字号码是 12,由于它在前面已经取出,将它去掉,再继续下去,得 到 34。至此,10 个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本号码是 16 注 19 10 12 07 39 38 33 21 34 将总体中的 N 个个体编号时可以从 0 开始,例如 N=100 时编号可以是 00,01,02, ? 当随机地选定开始读数的数后,读数的方向可以向右,也可以向左、向上、向下等等。 在上面每两位、每两位地读数过程中,得到一串两位数字号码,在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后,其中依次出现 的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。由于随机数表中每个位置上出现哪一个数字是等概率的,每次读到哪一 个两位数字号码,即从总体中抽到哪一个个体的号码也是等概率的。因而利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽取的概率相 等。 2.分层抽样 一个单位的职工有 500 人,其中不到 35 岁的有 125 人,35 岁至 49 岁的有 280 人,50 岁以上的有 95 人,为了了解这个单位 职工与身体状况有关的某项指标,要从中抽取 100 名职工作为样本,职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取? 为了使抽出的 100 名职工更充分地反映单位职工的整体情况,在各个年龄段可按这部分职工人数与职工总数的比进行抽样。 因为抽取人数与职工总数的比为 100 :500=1 :5 所以在各年龄段抽取的职工人数依次是

99,这样总体中的所有个体均可用两位数字号码表示,便于运用随机数表。

125 280 95 , , , 5 5 5

即 25,56,19

在各个年龄段分别抽取时,可采用前面介绍的简单随机抽样的方法,将各年龄段抽取的职工合在一起,就是所要抽取的 100 名职工。 像这样当已知总体由差异明显的几部分组成时,为了使样本更充分地反映总体的情况,常将总体分成几部分,然后按照各部分 所占的比进行抽样,这种抽取叫做分层抽样,其中所分成的各部分叫做层。 可以看到,由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比,分层抽样时,每一个个体被抽 到的概率都是相等的。 由于分层抽样充分利用了已知信息,使样本具有较好的代表性,而且在各层抽样时,可以根据具体情况采取不同的抽样方法, 因此分层抽样在实践中有着广泛的应用。 以上我们简单介绍了简单随机抽样和分层抽样, 这两种抽样方法的共同特点是: 在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率相等。 简单随机抽样是最基本的抽样方法,当总体由差异明显的几部分组成,采取分层抽样时,其中各层的抽样常采用简单随机抽样。 小结:了解简单随机抽样与分层抽样的概率,会用简单随机抽样与分层抽样从总体中抽取样本。 七、练习设计 1.某市的 3 个区共有高中学生 20000 人,且 3 个区的高中学生人数之比为 2:3:5,现要 用分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为 200 的样本,这 3 个区分别应抽取多少人? 2.要从全班学生中随机抽选 8 人去参加一项活动,分别用抽签法和随机数表法进行抽选 并写出过程。 八、板书设计

抽样方法
复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

*148*

第六十九课时? 一、课 题

抽样方法习题课 二、教学目标 会用简单随机抽样和分层抽样从总体中抽取样本。 三、教学重、难点 教学重点:简单随机抽样和分层抽样的应用 教学难点:对抽样中的“随机”“估计”的思想的理解 、 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 一、复习回顾 1、采用简单随机抽样时,常用的方法有____________、__________________. 2、当总体由差异明显的几部分组成时,通常采用____________方法抽取样本. 3、某农场在三块地种有玉米,其中平地种有 150 亩,河沟地种有 30 亩,坡地种有 90 亩,估产时,可按照__________的比例从各 块地中抽取样本. 4、某学校有教师 160 人,后勤服务人员 40 人,行政管理人员 20 人,要从中抽选 22 人参加学区召开的职工代表大会,为了使所 抽的人员更具有代表性,分别应从上述人员中抽选教师_______人,后勤服务人员______人,行政管理人员_____人. 二、例题解析 例 1:说明在以下问题中,总体、个体、样本、样本容量各指什么: (1)为了了解某学校在一个学期里每天的缺席人数,统计了其中 15 天里每天的缺席人数 (2)为了了解某地区考生(20000 名)的高考数学平均成绩,从中抽取了 1000 名考生的成绩. 例 2:欲从全班 45 名学生中随机抽取 10 名学生参加一项社区服务活动,试用随机数表法确定这 10 名学生. 评注:利用随机数表法抽取样本时,从第几行的第几个数开始,按照什么方向取数都完全是任意的。 例 3:某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人数为 12000 人,其中持各种态度的人数如 下表所示: 很喜爱 2435 喜爱 4567 一般 3926 不喜爱 1072

电视台为了了解观众的具体想法和意见,打算从中抽选出 60 人进行更为详细的调查,为此要进行分层抽样,那么在分层抽样时, 每类人中各应抽选出多少人? 评注:分层抽样的两个步骤:①先求出样本容量与总体的个数的比值;②按比例分配各层所要抽取的个体数。但应注意有时计算 出的个体数可能是一个近似数,这并不影响样本的容量. 三、课堂练习 1、为了了解全校 240 名高一学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量,下列说法正确的是( A 总体是 240 C 样本是 40 名学生 B 个体是每一个学生 )

D 样本容量是 40

2、为了考察一段时间内某路口的车流量,测得每小时的平均车流量是 576 辆,所测时间内的总车流量是 11520 辆,那么,此问题 中,样本容量是________ *149*

3、为了解初一学生的身体发育情况,打算在初一年级 10 个班的某两个班按男女生比例抽取样本,正确的抽样方法是( A C 随机抽样 B 分层抽样 D 先用分层抽样,再用随机数表法



先用抽签法,再用分层抽样

4、从 5 名男生、1 名女生中,随机抽取 3 人,检查他们的英语口语水平,在整个抽样过程中,若这名女生第一次、第二次均未被 抽到,那么她第三次被抽到的概率是 A

5、某大学共有全日制学生 15000 人,其中专科生 3788 人、本科生 9874 人、研究生 1338 人,现为了调查学生上网查找资料的情 况,欲从中抽取 225 人,为了使样本具有代表性,各层次学生分别应抽出多少人才合适? (四) 、课堂小结 1、抽样的两种方法:简单随机抽样与分层抽样 2、分层抽样的步骤:①算样本容量与总体的个数的比值;②求各层所要抽取的个体的数目 七、练习设计 1、为了了解所加工的一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,200 个零件的长度是 A 总体 B 个体 C 总体的一个样本 D 样本容量 ( )

1 6

B

1 3

C

1 2

D

2 3

2、为了分析高三年级的 8 个班 400 名学生第一次高考模拟考试的数学成绩,决定在 8 个班中每班随机抽取 12 份试卷进行分析, 这个问题中样本容量是( A 8 B 400 ) C 96 D 96 名学生的成绩

3、一总体由差异明显的三部分数据组成,分别有 m 个、n 个、p 个,现要从中抽取 a 个数据作为样本考虑总体的情况,各部分数 据应分别抽取____________、 ___________、_______________. 4、某地有 2000 人参加自学考试,为了解他们的成绩,从中抽取一个样本,若每个考生被抽到的概率都是 0.04,则这个样本的容 量是_________ 5、在不大于 1 的正有理数中任取 100 个数,在这个问题中,总体、个体、样本、样本容量各指什么? 6、某医院在一段时间内接诊患有心脏病、高血压、癌症病人共 6000 人,且三类病人之比是 1:2:3,为了跟踪调查病人的恢复 情况,现要用分层抽样方法从所有病人中抽取一个容量为 120 的样本,每类病人分别应抽取多少人? 7、某网站欲调查网民对当前网页的满意程度,在登录的所有网民中,收回有效帖子共 50000 份,其中持各种态度的份数如下表所 示: 很满意 10800 满意 12400 一般 15600 不满意 11200

为了了解网民的具体想法和意见,以便决定如何更改才能使网页更完美,打算从中抽选 500 份,为使样本更具有代表性,每类中 各应抽选出多少份? 八、板书设计 抽样方法习题课 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

*150*

第七十课时? 一、课 题 总体方差(标准差)的估计 二、教学目标 理解方差和标准差的意义,会求样本方差和标准差。 三、教学重、难点 教学重点 教学难点 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 看一个问题:甲乙两个射击运动员在选拔赛中各射击 20 次,成绩如下: 甲 乙 7 9 8 5 6 7 8 8 6 7 5 6 9 8 10 6 7 7 4 7 5 9 6 6 5 5 6 8 7 6 8 9 7 6 9 8 9 7 9 7 抽样方法的选择;总体分布的分析 抽样方法的选择;总体分布的分析

问:派谁参加比赛合适? 一、方差和标准差计算公式: 样本方差:s2=

1 n

〔 1— x ) +(x2— x )2+?+(xn— x )2〕 (x
? ? ? 1 [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n



样本标准差:s=

方差和标准差的意义:描述一个样本和总体的波动大小的特征数。标准差大说明波动大。一般的计算器都有这个键。 例一、 要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会, 选拔的标准是: 先看他们的平均成绩, 如果两人的平均成绩相差无几, 就要再看他们成绩的稳定程度。为此对两人进行了 15 次比赛,得到如下数据: (单位:cm) : 甲 乙 755 729 752 767 757 744 744 750 743 745 729 753 721 745 731 752 778 769 768 743 761 760 773 755 764 748 736 752 741 747

如何通过对上述数据的处理,来作出选人的决定呢?

x



≈ ≈

x



s 甲≈ s 乙≈ 说明:总体平均数描述一总体的平均水平,方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定程度。 二、练习: 1、 甲 乙 6 8 5 7 8 6 4 5 9 8 6 2

根据以上数据,说明哪个波动小? 2、从甲乙两个总体中各抽取了一个样本: 甲 乙 900 890 920 960 900 950 850 850 *151* 910 860 920 890

根据上述样本估计,哪个总体的波动较小? 3、甲乙两人在相同条件下个射击 20 次,命中的环数如下: 甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 5 6 6 7 8 7 9 10 9 6



9

5

7

8

7

6

8

6

7

7

9

6

5

8

6

9

6

8

7

7

问谁射击的情况比较稳定? 七、练习设计 1、为了考察甲乙两种小麦的长势,分别从中抽取 10 株苗,测得苗高如下: 甲 乙 12 11 13 16 14 17 15 14 10 13 16 19 13 6 11 8 15 10 11 16

哪种小麦长得比较整齐? 2、某农场种植的甲乙两种水稻,在连续 6 年中各年的平均产量如下: 品种 甲 乙 第1年 6.75 6.68 第2年 6.9 7.2 第3年 6.75 7.13 第4年 6.38 6.38 第5年 6.83 6.45 第6年 6.9 6.68

哪种水稻的产量比较稳定? 八、板书设计 总体方差(标准差)的估计 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第七十一课时? 一、课 题

总体分布的估计 二、教学目标 通过统计案例,会用样本频率分布估计总体分布 三、教学重、难点 教学重点 教学难点 用样本频率分布估计总体分布 频率分布表和频率分布直方图的绘制

四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 一 引入 在统计中,为了考察一个总体的情况,通常是从总体中抽取一个样本,用样本的有关情况去估计总体的相应情况。这种估计大 体分为两类,一类是用样本频率分布估计总体分布,一类是用样本的某种数字特征(例如平均数、方差等)去估计总体的相应数 *152*

字特征。下面我们先通过案例来介绍总体分布的估计。 二 案例分析 例 1 为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了地区内 100 名年龄为 17.5 岁~18 岁的男生的体重情况,结果如下(单 位:kg) 56.5 72 62 55 64 76 68.5 57 59 65.5 69.5 73.5 68.5 72 70.5 71 64 69.5 65.5 58.5 65 56 62.5 66.5 57 66 55.5 74 62.5 67.5 61.5 67 66 74 62.5 63.5 72.5 64.5 69.5 70.5 64.5 70 59.5 63 65 56 66.5 59 72 65 66.5 57.5 63.5 60 69 59.5 68 61.5 64.5 66 64 65.5 64.5 55.5 71.5 63.5 76 67 75.5 66.5 64.5 68 67.5 70 73 65 57.5 68 68.5 70 76 71 73 64.5 62 70 60 63.5 64 63 58.5 75 68 58 58 74.5 71.5 58 62 59.5

试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计。 解:按照下列步骤获得样本的频率分布. (1)求最大值与最小值的差. 在上述数据中,最大值是 76,最小值是 55,它们的差(又称为极差)是 76—55=21)所得的差告诉我们,这组数据的变动范围 有多大. (2)确定组距与组数. 如果将组距定为 2,那么由 21÷2=10.5,组数为 11,这个组数适合的.于是组距为 2,组数为 11. (3)决定分点. 根据本例中数据的特点,第 1 小组的起点可取为 54.5,第 1 小组的终点可取为 56.5,为了避免一个数据既是起点,又是终点 从而造成重复计算,我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样,所得到的分组是 [54.5,56.5)[56.5,58.5) , ,?, [74.5,76.5). (4)列频率分布表 如表① 分组 [54.5,56.5) [56.5,58.5) [58.5,60.5) [60.5,62.5) [62.5,64.5) [64.5,66.5) [66.5,68.5) [68.5,70.5) [70.5,72.5) [72.5,74.5) [74.5,76.5) 合计 (5)绘制频率分布直方图. 频率分布直方图如图 1-1 所示 频率分布表 频数累计 频数 2 6 10 10 14 16 13 11 8 7 3 100 频率 0.02 0.06 0.10 0.10 0.14 0.16 0.13 0.11 0.08 0.07 0.03 1.00

*153*

频率/组距

体重
54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5

由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率, 这个图形的面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频 率分布方面,频率分步表比较确切,频率分布直方图比较直观,它们起着相互补充的作用.在得到了样本的频率后,就可以对相应 的总体情况作出估计.例如可以估计,体重在(64.5,66.5)kg 的学生最多,约占学生总数的 16%;体重小于 58.5kg 的学生较少, 约占 8%;等等. 三 巩固练习 1 有一个容量为 50 的样本数据的分组及各组的频数如下: [12.5,15.5) [15.5,18.5) [18.5,21.5) [21.5,24.5) 3 8 9 11 [24.5,27.5) [27.5,30.5) [30.5,33.5) 10 5 4

(1)列出样本的频率分布表和画出频率分布直方图; (2)根据样本的频率分布估计,小于 30.5 的数据约占多少? 2 食品厂为加强质量管理,抽查了某天生产的罐头 80 只,得其质量数据如下(单位:克) 342 344 342 340 345 350 348 332 348 346 342 344 343 342 350 342 340 336 346 350 340 343 341 343 338 344 347 345 348 340 345 346 344 349 346 353 336 339 340 340 342 344 340 335 342 356 343 344 346 343 345 345 341 340 346 347 344 340 341 344 339 347 336 342 344 348 352 339

347 348

343 347

346 344

344 342

333 345

350 337

(1)画出样本的频率分布直方图; (2)根据样本的频率分布估计,质量不小于 350 克的罐头约占多少? 四 小结 获得样本的频率分布的步骤:(1)求最大值与最小值的差;(2)确定组距与组数; (3)决定分点; (4)列频率分布表; (5)绘制频 率分布直方图. 七、练习设计 1 某人在同一条件下射靶 50 次,其中射中 5 环或 5 环以下 2 次,射中 6 环 3 次,射中 7 环 9 次,射中 8 环 21 次,射中 9 环 11 次,射中 10 环 4 次. (1)画出上述样本的频率分布直方图; (2)根据上述结果估计,该射击者射中 7 环—9 环的概率约是多少? 2 在生产过程中,测得维尼纶的纤度(表示纤维粗细的一种量)有如下的 100 个数据: 1.36 1.39 1.40 1.48 1.49 1.44 1.45 1.39 1.43 1.42 1.39 1.45 1.41 1.39 1.46 1.37 1.37 1.42 1.39 1.37 1.40 1.30 1.42 1.47 1.39 1.42 1.30 1.34 1.42 1.37 1.53 1.36 1.48 1.40 1.39 1.39 1.45 1.31 1.41 1.44 *154* 1.41 1.36 1.38 1.44 1.36 1.37 1.40 1.42 1.40 1.34 1.36 1.47 1.34 1.37 1.45 1.35 1.42 1.42 1.45 1.35 1.42 1.37 1.44 1.45 1.32 1.48 1.50 1.43 1.38 1.43 1.41 1.36 1.39 1.40 1.38 1.35

1.42 1.41

1.43 1.44

1.42 1.48

1.42 1.55

1.42 1.37

1.40 1.41 1.37 1.46 1.36

1.37

1.27

1.37

1.38

1.42 1.34 1.43 1.42 1.41

(1)画出样本的频率分布直方图; (2)根据上述结果估计,小于各端点值的数据所占的百分比各约是多少? 八、板书设计 总体分布的估计 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第七十二课时? 一、课 题

总体期望值的估计 二、教学目标 1、 使 学 生 掌 握 用 样 本 的 平 均 数 去 估 计 总 体 期 望 值 。 2、 培 养 学 生 分 析 数 据 的 能 力 。 三、教学重、难点
??

教 学 重 点 : 计 算 样 本 (总 体 )的 平 均 数

x?

1 ( x1 ? x 2 ? x3 ? ? ? x n ) n

教学难点:适当抽样提高样本的代表性。 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 一、引言: 在 初 中 ,总 体 平 均 数 (又 称 为 总 体 期 望 值 )描 述 了 一 个 总 体 的 平 均 水 平 。对 很 多 总 体 来 说 ,它 的 平 均 数 不 易 求 得 ,
??

常用容易求得的样本平均数:

x?

1 ( x1 ? x 2 ? x3 ? ? ? x n ) 对 它 进 行 估 计 , 而 且 常 用 两 个 样 本 平 均 数 的 大 小 去 n

近似地比较相应的两个总体的平均数的大小。 二、新课: 例 1、 在 一 批 试 验 田 里 对 某 早 稻 品 种 进 行 丰 产 栽 培 试 验 , 抽 测 了 其 中 15 块 试 验 田 的 单 位 面 积 (单 位 面 积 的 大 小 为

1 hm 2 )的 产 量 如 下 :( 单 位 : KG) 15
504 460 402 486 492 460 495 371 500 420 501 456 405 395 409

这批试验田的平均单位面积产量约是多少? 例 2、 某 校 高 二 年 级 进 行 一 次 数 学 测 试 , 抽 取 40 人 , 算 出 其 平 均 成 绩 为 80 分 , 为 准 确 起 见 , 后 来 又 抽 取 50 人 , 算 出 其 平 均 成 绩 为 83 分 , 通 过 两 次 抽 样 的 结 果 , 估 计 这 次 数 学 测 试 的 平 均 成 绩 。 *155*

例 3、 被 誉 为 “ 杂 交 水 稻 之 父 ” 的 中 国 科 学 院 院 士 袁 隆 平 , 为 了 得 到 良 种 水 稻 , 进 行 了 大 量 试 验 , 下 表 是 在 10 个 试 验 点 对 A、 B 两 个 品 种 的 对 比 试 验 结 果 : 品种 A B 各 试 验 点 亩 产 量 (KG) 1 490 504 2 509 486 3 527 463 4 497 475 5 520 530 6 582 473 7 497 470 8 489 475 9 538 453 10 532 512

试估计哪个品种的平均产量更高一些? 三、小结 :用 样 本 的 平 均 数 去 估 计 总 体 平 均 数 (总 体 期 望 值 )简 单 易 行 ,因 而 用 途 十 分 广 泛 ,但 估 计 的 结 果 具 有 一 定 的近似性,甚至可能出现较大的偏差与疏误,这与确定性数学中通过逻辑推理得到肯定的结论的情况有所不同, 学习中要注意体会。为了使样本更充分地反映总体的情况,可在条件许可的情况下,适当增加样本容量,并力求 使抽样方法更加合理,以提高样本的代表性。 七、练习设计 1、 已 知 10 个 数 据 : 1203 A 1201 B 1194 1200 1200 C 1204 D 1201 1400 ) 1199 1204 1195 1199 ( 1100 ) 它们的平均数是 1300

2、 若 M 个 数 的 平 均 数 是 X, N 个 数 的 平 均 数 是 Y,则 这 M+N 个 数 的 平 均 数 是 ( A

X ?Y 2

B

X ?Y M ?N

C

MX ? NY M ?N

D

MX ? NY X ?Y

3、 某 工 厂 研 制 A、 B 两 种 灯 泡 , 为 了 比 较 这 两 种 灯 泡 的 平 均 使 用 寿 命 , 从 这 两 种 灯 泡 中 各 抽 10 只 进 行 的 使 用 寿 命 试 验 , 得 到 如 下 数 据 (单 位 : 小 时 ) A。 1000 B。 1580 1200 1420 1650 1320 1342 1149 1679 1330 999 1178 1320 1440 1540 1553 1276 1642 1342 1005

根据上述两个样本,能对两种灯泡的平均使用寿命作出什么样的估计? 4、 一 个 水 库 养 了 某 种 鱼 10 万 条 , 从 中 捕 捞 了 20 条 , 称 得 它 们 的 质 量 如 下 : (单 位 : KG) 1.15 1.25 1.04 1.21 1.11 1.29 1.07 1.16 1.10 1.24 1.32 1.12 1.25 1.16 1.19 1.15 1.21 1.18 1.14 1.09

计算样本平均数,并根据计算结果估计水库里所有这种鱼的总质量约是多少? 5、 从 A、 B 两 种 棉 花 中 各 抽 10 株 , 测 得 它 们 的 株 高 如 下 : (CM) A、 25 B、 27 41 16 40 44 37 27 22 44 14 16 19 40 39 16 21 40 42 40

(1)哪 种 棉 花 的 苗 长 得 高 ? (2) 哪 种 棉 花 的 苗 长 得 整 齐 ? 八、板书设计 总体期望值的估计 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第七十三课时? 一、课 题 *156*

实习作业 二、教学目标 能运用简单随机抽样、分层抽样的方法抽取样本;能通过对样本的频率分布估计总体分布;培养学生动手能力和解决实际问 题能力 三、教学重、难点 教学重点 教学难点 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 一、引入 大家已经知道了如何从总体中抽取样本,如何根据对样本的整理、计算和分析,对总体的情况作出一些推断.今天就要求 大家自己动手,运用所学知识解决实际问题. 二、举例 例 某中学高中部共有 16 个班级,其中一年级 6 个班,二年级 6 个班,三年级 4 个班.每个班的人数均在 46 人左右(44 人 -49 人) ,各班的男女学生数均基本各占一半.现要调查这所学校学生的周体育活动时间,它是指学生在一周中参加早锻炼、课间 操、课外体育活动、体育比赛等时间的总和(体育课、上学和放学路上的活动时间不计在内).为使所得数据更加可靠,应在所定 抽样的“周”之后的两天内完成抽样工作. (2)写出实习报告,其中含:
?? ??

抽样方法的选择;总体分布的分析 抽样方法的选择;总体分布的分析

此外还有以下具体要求:

(1)分别对男、女学生抽取一个容量相同的样本,样本容量可在 40-50 之间选择.

x x s 全部样本数据;相应于男生样本的 1 与 1 ,相应于女生的 2
分析.



s2 ,相应于男、女全体的样本的 x ;对上面计算结果作出

??

解: (1)由于各个年级的学生参加体育活动的时间存在差异,应采用分层抽样;又由于各班的学生数相差不多,且每班的男 女学生人数也基本各占一半,为便于操作,分层抽样时可以班级为单位.关于抽取人数,如果从每班中抽取男、女学生各 3 人,样 本容量各为 48(3×16) ,符合对样本容量的要求. (2)实习报告如表一所示.
?? ??

x x (3)想一想:1.如何从 1 , 2 直接得出 x ?
??

??

2.根据上面的样本数据,还能得出什么结果?例如,二年级和三年级的学生相比,其 三、练习

x

与 s 是否存在差异?

在本班范围内,就每名学生所在家庭的月人均用水量进行调查.调查的具体要求是:先查得在同一月份内各家的用水量(单位 以 m 计) ,然后将它除以家庭人中数,结果保留到小数点后第 2 位) ;再将所得数据进行整理、计算和分析,完成下列实习报告. (表二) 四、小结 一定的灵活性. 七、练习设计 两位同学各取一副 52 张的花色牌,每张牌都标有从 1 到 13 之间的一个正整数(其中 A 表示 1,J 表示 11,Q 表示 12,K 表示 13).从这副牌中任抽 1 张,记下这张牌上的数,再将这张牌放回,然后再从中任抽 1 张,记下牌上的数后,将这张牌放回.如此 重复 100 次,得到 100 个数.求其平均数、方差及标准差,各自列出自己的频率分布表,绘出频率分布直方图,对比两人得出的结 果,体会随机抽样的特点及内涵,写出实验报告. 八、板书设计 *157* 抽样时需要对所抽取的统计量的具体含义加以明确的界定;当总体的个体数较多时,对抽样方法的运用可以有
3

实习作业 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第七十四课时 第七十五课时 一、课 题 单元测验课 二、教学目标 通过测验,检查学生对知识的掌握情况 三、教学重难点 重点:考查学生对知识的掌握 难点:学生应对考试的能力 四、教学方法 测验 五、教学手段 测验 六、教学过程 测验“彭州市单元检测题(三) 七、练习设计 复习,预习 八、教学后记

第七十六课时 第七十七课时 一、课 题 试卷评讲课 二、教学目标 通过试卷的评讲,让学生查漏补缺,巩固知识 三、教学重难点 重点:分析试卷 难点:讲解解题的方法 四、教学方法 启发式 五、教学手段 *158*

现代课堂教学手段 六、教学过程 评讲试卷,详见试卷 七、练习设计 改错,分析原因;预习 八、教学后记

第七十八课时? 一、课 极 题

限 的 概 念

二、教学目标 理解数列和函数极限的概念; 三、教学重、难点 教学重点:会判断一些简单数列和函数的极限; 教学难点:数列和函数极限的理解 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 一、实例引入: 例:战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话: “一尺之棰,日取其半,万世不竭。 ”也就是说一根长为一 尺的木棒,每天截去一半,这样的过程可以无限制地进行下去。 (1)求第 n 天剩余的木棒长度 an (尺),并分析变化趋势; (2)求 前 n 天截下的木棒的总长度 bn (尺),并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点:当项数 n 无限增大时,数列的项 an 无限趋近于某个常数 A(即

an ? A 无限趋近于

0) an 无限趋近于常数 A,意指“ an 可以任意地靠近 A,希望它有多近就有多近,只要 n 充分大,就能达到我们所希望的那么 。 近。 ”即“动点 an 到 A 的距离 二、新课讲授 1、数列极限的定义: 一般地,如果当项数 n 无限增大时,无穷数列 {an } 的项 an 无限趋近于某个常数 A(即 ..... ,那么就说数 an ? A 无限趋近于 0)

an ? A 可以任意小。

列 {an } 的极限是 A,记作

lim a n ? A
n??

注:①上式读作“当 n 趋向于无穷大时, an 的极限等于 A” “ n 。 *159*

,即 ? ∞”表示“ n 趋向于无穷大” n 无限增大的意思。

lim a n ? A 有时也记作当 n ?∞时, an ?A
n??

②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________,____________________ ③思考:是否所有的无穷数列都有极限? 例 1:判断下列数列是否有极限,若有,写出极限;若没有,说明理由 (1)1,

1 2



1 1 ,?, 3 n

,? ; (2)

1 2



2 3



3 4

,?,

n ,?; n ?1
n

(3)-2,-2,-2,?,-2,?; (4)-0.1,0.01,-0.001,?, (?0.1) ,?; (5)-1,1,-1,?, (?1) ,?; 注:几个重要极限: (1) lim
n ??

n

1 ?0 n
n

(2) lim C
n??

? C (C 是常数)
: lim q
n ?? n

(3)无穷等比数列 {q

} ( q ? 1 )的极限是 0,即

? 0( q ? 1)

2、当 x ? ? 时函数的极限 (1) 画出函数

y?

1 x

的图像,观察当自变量 x 取正值且无限增大时,函数值的变化情况:函数值无限趋近于 0,这时就说,

当 x 趋向于正无穷大时,函数 的极限是 0,记作:

y?

1 x

y

1 ?0 x ? ?? x lim
O x
A,就说当

一般地,当自变量 x 取正值且无限增大时,如果函数

y ? f (x) 的值无限趋近于一个常数
记作:
x ? ??

x 趋向于正无穷大时,函数

y ? f (x) 的极限是 A,

lim f ( x ) ? A

也可以记作,当 x

? ?? 时, f ( x) ? A
x 无限增大时,函数 y ?
1 x
的值无限趋近于 0,这时就说,当 x 趋向于负无

(2)从图中还可以看出,当自变量 x 取负值而 穷大时,函数

y?

1 x

的极限是 0,记作:

x ? ??

lim

1 ?0 x

一般地,当自变量 x 取负值而 时,函数

x 无限增大时,如果函数 y ? f (x) 的值无限趋近于一个常数 A,就说当 x 趋向于负无穷大
x ? ??

y ? f (x) 的极限是 A,记作: lim f ( x ) ? A

也可以记作,当 x

? ?? 时, f ( x) ? A
y? 1 x
的值都无限趋近于 0,这时就说,当 x 趋向于

(3)从上面的讨论可以知道,当自变量 x 的绝对值无限增大时,函数 无穷大时,函数

y?

1 x

的极限是 0,记作 lim
x ??

1 ?0 x

一般地,当自变量 x 的绝对值无限增大时,如果函数

y ? f (x) 的值无限趋近于一个常数 A,就说当 x 趋向于无穷大时,
*160*

函数

y ? f (x) 的极限是 A,记作: lim f ( x) ? A
x ??

也可以记作,当 x 特例:对于函数 于无穷大时,函数

? ? 时, f ( x) ? A
f ( x) ? C ( C 是常数) ,当自变量 x 的绝对值无限增大时,函数 f ( x) ? C 的值保持不变,所以当 x 趋向 f ( x) ? C 的极限就是 C ,即
lim C ? C
x ??

例 2:判断下列函数的极限:

1 lim ( ) x x ? ?? 2 1 (3) lim 2 x?? x
(1) 三、课堂小结 1、数列的极限 2、当 x

(2)

x ? ??

lim 10 x

(4) lim 4
x??

? ? 时函数的极限

七、练习设计 1、判断下列数列是否有极限,若有,写出极限 (1)1,

1 4



1 1 ,?, 2 9 n

,? ; (2)7,7,7,?,7,?;

(3) ?

1 1 1 (?1) n , ,? , ? , n , ? ; 2 4 8 2
1 10 n

(4)2,4,6,8,?,2n,?; (5)0.1,0.01,0.001,?, (6)0, ? ,?;

1 2 1 ,? , ?, ? 1 ,?; 2 3 n 1 1 1 1 n ?1 (7) ,? , , ?, ( ?1) ,?; 2 3 4 n ?1
(8)

1 4 9 n2 , , , ?, 5 5 5 5

,?;

(9)-2, 0,-2,?, (?1) 2、判断下列函数的极限: (1)
x ? ??

n

? 1 ,?,

lim 0.4 x

(2)

x ? ??

lim 1.2 x

(3) lim(? 1)
x ??

(4) lim

1 x ) 10 1 (7) lim 2 x ?? x ? 1
(5)
x ? ??

lim (

1 x?? x 4 5 x (6) lim ( ) x ? ?? 4
(8) lim 5
x??

P

补充: 如图, 3、 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, *161*

N A M D

B

C

M、N 分别是 AB、PC 的中点。 (1)求证:MN⊥AB; (2)若平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角为θ , 能否确定θ ,使得 MN 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线? 若可以确定,试求θ 的值;若不能,说明理由。

八、板书设计 极限的概念 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第七十九课时? 一、课 题

函数极限的运算法则 二、教学目标 掌握函数极限的运算法则,并会求简单的函数的极限 三、教学重、难点 教学重点:运用函数极限的运算法则求极限 教学难点:函数极限法则的运用 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. 六、教学过程 一、引入: 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限,如 lim

1 ? 0, lim x ? xo .若求极限的函数比较复杂,就要分析已知函数是 x ?? x x ? xo

由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的,已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系,这样就能把复杂函数的极限计 算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则: 如果
x ? xo

lim f ( x) ? A, lim g ( x) ? B ,那么
x ? xo

x ? xo

lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B

x ? xo

x ? xo

lim

f ( x) A ? ( B ? 0) g ( x) B

也就是说,如果两个函数都有极限,那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限,分别等于这两个函数的极限的和、 *162*

差、积、商(作为除数的函数的极限不能为 0).

说明:当 C 是常数,n 是正整数时, lim[Cf
x ? xo

( x)] ? C lim f ( x)
x ? xo

x ? xo

lim[ f ( x)]n ? [ lim f ( x)]n
x ? xo

这些法则对于 x ? ? 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例 1 求 lim( x
x?2 2

? 3x)

例 2 求 lim

2x3 ? x 2 ? 1 x ?1 x ?1

例 3 求 lim
x ?4

x 2 ? 16 x?4 x 2 ? 16 在定义域 x ? 4 内,可以将 x?4

分析:当 x ? 4 时,分母的极限是 0,不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数 y ? 分子、分母约去公因式 x 例 4 求 lim

? 4 后变成 x ? 4 ,由此即可求出函数的极限.

3x 2 ? x ? 3 x ?? x2 ?1
2

分析:当 x ? ? 时,分子、分母都没有极限,不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以 x ,所得到的分 子、分母都有极限,就可以用商的极限运用法则计算。 总结:
x ? xo k lim C ? C , lim x k ? xo (k ? N * ), x ? xo

lim C ? C , lim
x ??

1 ? 0(k ? N * ) x ?? x k

例 5 求 lim

2x 2 ? x ? 4 x ?? 3 x 3 ? x 2 ? 1
3

分析:同例 4 一样,不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以 x ,就可以运用法则计算了。 四 课堂练习(利用函数的极限法则求下列函数极限) (1) lim( 2 x ? 3) ;
1 x? 2

(2) lim( 2 x
x ?2

2

? 3x ? 1)

(3) lim[( 2 x ? 1)( x ? 3)] ;
x?4

(4) lim

2x 2 ? 1 x ?1 3 x 2 ? 4 x ? 1 x 2 ? 5x ? 6 x2 ? 9

(5) lim

x2 ?1 x ? ?1 x ? 1

(6) lim
x ?3

(7) lim 五 小结

2x 2 ? x ? 2 x ?? 3 x 3 ? 3 x 2 ? 1

(8) lim

2y2 ? y y ?? y 3 ? 5

1 有限个函数的和(或积)的极限等于这些函数的和(或积) ; *163*

2 函数的运算法则成立的前提条件是函数

f ( x), g ( x)? 的极限存在,在进行极限运算时,要特别注意这一点.

3 两个(或几个)函数的极限至少有一个不存在时,他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 4 在求几个函数的和(或积)的极限时,一般要化简,再求极限. 七、练习设计
3

(1) lim (2 x
x ??1

? 3x ? 4)

x2 ? 5 (2) lim 2 x?2 x ? 3
(5)

(3) lim
x ?1

2x x ? x ?1
2

(4) lim(
x ?0

x 2 ? 3x ? 1 ? 1) x?4

x? 3

lim

x2 ? 3 x4 ? x2 ?1

(6) lim
x ?0

3x 3 ? x 2 x 5 ? 3x 4 ? 2 x 2

(7) lim
x?2

x?2 x2 ? 4

(8) lim

x ?1 x ? ?1 x 2 ? 1 1 1 ? ) x x2

(9)

x 3 ? 3x 2 ? 2 x x ??2 x2 ? x ? 6 lim x2 ?1 x ?? 2 x 2 ? 2 x ? 1 3x 2 ? 11x ? 6 x ?1 2 x 2 ? 5 x ? 3 x ? x 2 ? 6x3 x ?? 2 x ? 5 x 2 ? 3 x 3

(10) lim

( x ? m) 2 ? m 2 x ?0 x

(11) lim ( 2 ?
x ??

(12) lim

(13) lim

x3 ? x x ?? x 4 ? 3 x 2 ? 1

(14) lim(
x ?2

2x3 ? 1 2 ) 3x 3 ? 2

(15) lim

(16) lim

3x 2 ? 11x ? 6 x ?? 2 x 2 ? 5 x ? 3

(17) lim

x ? x 2 ? 6x 3 x ?0 2 x ? 5 x 2 ? 3 x 3

(18) lim

八、板书设计 函数极限的运算法则 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

第八十课时? 一、课 函数的极限 二、教学目标 1、 使 学 生 掌 握 当 2、 了 解 : 三、教学重、难点
x ? x0



x ? x0 时 函 数 的 极 限 ; lim f ( x) ? A 的 充 分 必 要 条 件 是 lim f ( x) ? lim f ( x) ? A ? ?
x ? x0 x ? x0

x ? x0 时 函 数 的 极 限 教 学 难 点 : 对 “ x ? x0 时 , 当 x ? x 0 时 函 数 的 极 限 的 概 念 ” 的 理 解 。
教学重点:掌握当 四、教学方法 启发式教学法? 五、教学手段 多媒体课件. *164*

六、教学过程 一、复习: ( 1) ( 3)

lim q n ? _ _ _ _ _ q ? 1 ;( 2) lim
n ??
x ??

1 ? _______ .(k ? N ? ) k x

lim x 2 ? ?
x?2

二、新课 就问题(3)展开讨论:函数 当 x 从左侧趋近于 2 时

y ? x 2 当 x 无限趋近于 2 时的变化趋势 ? (x?2 )
1.5 1.7 1.9 1.99 1.999 1.9999

x
y=x2

1.1 1.21

1.3

? ?
? ?

2

x 从右侧趋近于 ? (x?2 )
当 发现

2 时

x
y=x2

2.9 8.41.

2.7 7.29

2.5

2.3

2.1

2.01

2.001

2.0001

2

lim x 2 ? _______
x ?2

我们再继续看 当

y?

x2 ?1 x ?1

Y H 2 Y 1 O 1 X



x 无限趋近于 1( x ? 1 )时的变化趋势;
x 无限趋近于 x0 ( x ? x 0 )时,如果函数 y ? f (x) 无限趋近于
x ? x0

函数的极限有概念:当自变量 一个常数 A,就说当 特别地,

x 趋向 x0 时,函数 y ? f (x) 的极限是 A,记作 lim f ( x) ? A 。
x ? x0

x ? x0

lim C ? C ; lim x ? x 0

三、例题 求 下 列 函 数 在 X= 0 处 的 极 限

( 1)

lim

x ?1 x ?0 2 x 2 ? x ? 1
2

( 2)

lim
x ?0

x x

( 3)

f (x) ?

2x , x ? 0 0, x ? 0 1? x2, x ? 0

四、小结:函数极限存在的条件;如何求函数的极限。 七、练习设计 1、对于函数 极限

y ? 2 x ? 1 填写下表,并画出函数的图象,观察当 x 无限趋近于 1 时的变化趋势,说出当 x ? 1 时 函 数 y ? 2 x ? 1 的
0.1 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999

x
y=2X+1

? ? ? ?

1

x
y=2X+1

1.5

1.1

1.01

1.001

1.0001

1.00001

1

2、对于函数 极限

y ? x 2 ? 1 填写下表,并画出函数的图象,观察当 x 无限趋近于 3 时的变化趋势,说出当 x ? 3 时 函 数 y ? x 2 ? 1 的
2.9 2.99 2.999 2.9999 2.99999 2.999999

x
y=X -1
2

? ?

3

*165*

x
y=X2-1

3.1

3.01

3.001

3.0001

3.00001

3.000001

? ?

3

3?

lim

x2 ?1 x ?1 2 x 2 ? x ? 1

lim

( x ? 1) 3 ? (1 ? 3x) x ?0 x 2 ? 2x3

lim 2(sin x ? cos x ? x 2 )
x?

?

2

lim
x ?4

1 ? 2x ? 3 x ?2

a2 ? x ? a ( a ? 0) lim x ?0 x

lim
x?0

1 x

八、板书设计 函数的极限 复习提问 新课讲解 例1 九、教学反思 举例 例2 练习小结

*166*


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