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2013年高三一摸数学试卷--浦东新区(文科)


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教师姓名 学生姓名 年 级 上课时间 2013/ /

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数学

课题名称

浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷(文科) (一模)

教学目标 教学重难点 浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷(文科) (一模) 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若集合 A ?

?

0, m

?, B

?

? 1,

2

?,

A? B ?

? 1 ? ,则实数 m
?1 1

?

1

.

? a 1 x ? b1 y ? c 1 ?1 2.已知二元一次方程组 ? 的增广矩阵是 ? ? ?1 ?a 2 x ? b2 y ? c2
3.函数 y ?

1? ? ,则此方程组的解是 ? 3?

?x ? 2 ? ?y ?1

.

log 2 ( x ? 2 ) 的定义域为

[ 3 , ?? )

.

4.已知 x , y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 5.函数 y ? 1 ?

1 16

.

x ( x ? 0 )的反函数是

y ? ( x ? 1) ( x ? 1 ) .
2

?? ? ?? ? 6.函数 f ( x ) ? 2 s in ? ? x ? cos ? ? x ? 的最小正周期为 ? 4 ? ? 4 ?

?

.

7.等差数列 ? a n ? 中, a 6 ? a 7 ? a 8 ? 1 2 ,则该数列的前 1 3 项的和 S 1 3 ?

52

.

8.已知数列 ? a n ? 是无穷等比数列,其前 n 项和是 S n ,若 a 2 ? a 3 ? 2 , a 3 ? a 4 ? 1 , 则 lim S n 的值为
n? ?

16 3

.

?2x ? y ? 0 ? 9.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 5 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值等于 ?y ?1 ?

?1

.

10.若一个圆锥的轴截面是边长为 4 c m 的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为 8 ? 11. 二项式 ? x ? ?
? ? 的展开式前三项系数成等差数列,则 n ? ? x ?
n

cm .

2

1 2

8

.

主视图

左视图

12.如图所示,已知一个空间几何体的三视图,

则该几何体的体积为

2? ?

2 3 3

.

俯视图

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13.非零向量 O A 与 O B ,对于任意的 t ? R , 为点 A 到直线 O B 的距离 .

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??? ?

??? ?

??? ? ??? ? O A ? t O B 的最小值的几何意义

14. 1, 2 , 3, 4 , 5 共有 5 ! 种排列 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ,其中满足“对所有 k ? 1, 2 , 3, 4 , 5 都有 a k ? k ? 2 ”的不同排列有 54 种.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 15.已知△ABC 两内角 A、B 的对边边长分别为 a、b, 则“ A ? B ”是“ a co s A ? b co s B ”的( A )

( A ) 充分非必要条件
16.已知函数 f ( x ) ?

( B ) 必要非充分条件

( C ) 充要条件

( D ) 非充分非必要条件

1 4
x

? 2

,若函数 y ? f ( x ?

1 2

) ? n 为奇函数,则实数 n 为( B ) 1 4
(D ) 0

( A) ?

1 2

(B) ?

1 4

(C )

17.若 x 1 , x 2 , x 3 , ? , x 2 0 1 3 的方差为 3 ,则 3 x 1 , 3 x 2 , 3 x 3 , ? , 3 x 2 0 1 3 的方差为( D )[来源:Z。xx。k.Com]

( A) 3

(B) 9

( C ) 18

( D ) 27

???? ??? ? ??? ? 18.定义域为 ? a , b ? 的函数 y ? f ( x ) 图象的两个端点为 A , B ,向量 O N ? ? O A ? (1 ? ? ) O B ,

M ( x , y ) 是 f ( x ) 图象上任意一点,其中 x ? ? a ? (1 ? ? ) b , ? ? ? 0,1 ? . 若不等式 M N

? k 恒成立,

则称函数 f ( x ) 在 ? a , b ? 上满足“ k 范围线性近似”,其中最小的正实数 k 称为该函数的线性近似阀 值. 下列定义在 ?1, 2 ? 上函数中,线性近似阀值最小的是 ( D )

( A) y ? x

2

(B) y ?

2 x

( C ) y ? s in

?
3

x

(D ) y ? x ?

1 x

三、解答题( 本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须 写出必要的步骤. 19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 中, A B ? A C ? A A1 ? 2 , ? A B C ? 4 5 . (1)求直三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 的体积; (2)若 D 是 A C 的中点,求异面直线 B D 与 A1 C 所成的角. 解: (1) V ?
B1 A1
?

c1

1 2

? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ;?????????????6 分
A D C

(2)设 M 是 A A1 的中点,连结 D M , B M ,? D M // A1 C ,

? ? B D M 是异面直线 B D 与 A1 C 所成的角.???8 分

B

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2

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在 ? B D M 中, B D ? B M ?

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5,

MD ?

2 ,

cos ? B D M ?

?

5

? ??
2

2

? ??
2

5

?

2

2?

2?

?

10 10

.?????????????10 分

5

即 ? B D M ? a rc c o s

10 10

.? 异面直线 B D 与 A1 C 所成的角为 a rc c o s

10 10

.????12 分

20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知复数 z 1 ? 2 sin ? ?

3i ,

z 2 ? 1 ? ( 2 co s ? ) i , ? ? ? 0 , ? ? .

(1)若 z 1 ? z 2 ? R ,求角 ? ;

(2)复数 z 1 , z 2 对应的向量分别是 O Z 1 , O Z 2 ,其中 O 为坐标原点,求 O Z 1 ? O Z 2 的取值范围. 解: (1) z 1 ? z 2 ? ( 2 sin ? ?

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

3 i ) ?1 ? ( 2 cos ? ) i ? = ( 2 sin ? ? 2 3 cos ? ) ? ( 2 sin 2? ?

3 ) i ? R ??2 分

? sin 2 ? ?

3 2

??????????4 分

又 ? 0 ? 2? ? 2 ? ,? 2 ? ?

?
3



2 3

? , ?? ?

?
6



?
3

???????6 分

(2) OZ

1

? ( 2 sin ? , ?

3), OZ

2

? 1, 2 cos ? ) (
? 4 sin( ? ?

OZ 1 ? OZ
? ?

2

? 2 sin ? ? 2 3 cos ?

?
3

) ? ????????10 分

?
3

?? ?

?
3

?

2? 3

,? ? 2

3 ? 4 sin( ? ?

?
3

) ? 4 ? OZ

1

? OZ

2

? ? 2 3 , 4 ???14 分

?

?

21. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分)[来源:学科网 ZXXK] 世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形 A B C 的空地上修建一个占地面积为 S 的矩 形 A M P N 健身场地, 如图点 M 在 A C 上, N 在 A B 上, P 点在斜边 B C 上, 点 且 已知 ? ACB ? 60 且 | AC | ? 30 米, A M = x ,
?

x ? [10 , 20 ] .[来源:学§科§网 Z§X§X§K]
(1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; (2)设矩形 A M P N 健身场地每平方米的造价为

37 k S

, 再把矩形 A M P N 以外 (阴影部分) 铺上草坪, 每平方米的造价为

12 k S

( k 为正常数) ,求总造价 T 关于 S 的函数 T ? f ( S ) ;试问如何选取 | AM | 的长使总造价 T 最低 (不要求求出最低造价). 解: (1)在 Rt ? PMC 中,显然 | MC | ? 30 ? x , ? PCM

B

? 60 ,
N P

?

? | PM | ? | MC | ? tan ? PCM

?

3 ( 30 ? x ) ,??????2 分 3 x ( 30 ? x ) , x ? [1 0, 2 0 ] ?4 分
A M C

矩形 A M P N 的面积 S ? | PM | ? | MC | ? 于是 200

3 ? S ? 225

3 为所求.???????6 分

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(2) 矩形 A M P N 健身场地造价 T1 ? 37 k

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S

???????????????7 分

又 ? ABC 的面积为 450

3 ,即草坪造价 T 2 ?

12 k S
3 S

( 450

3 ? S ) ,?????8 分

由总造价 T ? T1 ? T 2 ,? T ? 25 k (

S ?

216

) , 200

3 ? S ? 225

3 .?10 分

?

S ?

216 S

3

? 12

6 3 ,????????????????????11 分

当且仅当

S ?

216 S

3

即 S ? 216

3 时等号成立,???????????12 分

此时

3 x ( 30 ? x ) ? 216

3 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 ,

所以选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低.?????????14 分 22. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 定义数列 { x n } ,如果存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( x n ? 1 ? p )( x n ? p ) ? 0 成立,那么我们称数列 { x n } 为“ p ? 摆 动数列” . (1)设 a n ? 2 n ? 1 , b n ? ( ?

1 2

) , n ? N ,判断 { a n } 、 { b n } 是否为“ p ? 摆动数列” ,并 说 明理由;
n
*

?

(2)设数列 { c n } 为“ p ? 摆动数列” c1 ? p ,求证:对任意正整数 m , n ? N ,总有 c 2 n ? c 2 m ? 1 成立; , (3)设数列 { d n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? ( ? 1) ? n ,试问:数列 { d n } 是否为“ p ? 摆动数列” ,若是,求出 p 的取值范
n

围;若不是,说明理由. 解: (1)假设数列 { a n } 是“ p ? 摆动数列” ,即存在常数 p ,总有 2 n ? 1 ? p ? 2 n ? 1 对任意 n 成立, 不妨取 n ? 1 时,则 1 ? p ? 3 ,取 n ? 2 时,则 3 ? p ? 5 ,显然常数 p 不存在, 所以数列 { a n } 不是“ p ? 摆动数列” ;????????????????2 分 而数列 { b n } 是“ p ? 摆动数列” p ? 0 . , 由 bn ? ( ?

1 2

) ,于是 b n b n ? 1 ? ( ?
n

1 2

)

2 n ?1

? 0 对任意 n 成立,

所以数列 { b n } 是“ p ? 摆动数列”.?4 分 (2)由数列 { c n } 为“ p ? 摆动数列” c1 ? p , , 即存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( c n ? 1 ? p )( c n ? p ) ? 0 成立. 即有 ( c n ? 2 ? p )( c n ? 1 ? p ) ? 0 成立.则 ( c n ? 2 ? p )( c n ? p ) ? 0 ,???????6 分[来源:学+科+网]

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所以 c1 ? p ?? c 3 ? p ? ? ? c 2 m ? 1 ? p ,??? ???????????7 分 同理 ( c 2 ? p )( c1 ? p ) ? 0 ? c 2 ? p ? c 4 ? p ? ? ? c 2 n ? p ,??????8 分 所以 c 2 n ? p ? c 2 m ? 1 .????????????????????????9 分 因此对任意的 m , n ? N ,都有 c 2 n ? c 2 m ? 1 成立.????????????10 分
*

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(3)当 n ? 1 时, d 1 ? ? 1 , 当 n ? 2 , n ? N 时, d n ? S n ? S n ? 1 ? ( ? 1) ( 2 n ? 1) ,综上, d n ? ( ? 1) ( 2 n ? 1) ????12 分
n n

?

即存在 p ? 0 ,使对任意正整数 n ,总有 d n d n ? 1 ? ( ? 1)

2 n ?1

( 2 n ? 1)( 2 n ? 1) ? 0 成立,

所以数列 { d n } 是“ p ? 摆动数列”;??????????????????14 分 当 n 为奇数时 d n ? ? 2 n ? 1 递减,所以 d n ? d 1 ? ? 1 ,只要 p ? ? 1 即可, 当 n 为偶数时 d n ? 2 n ? 1 递增, d n ? d 2 ? 3 ,只要 p ? 3 即可.??????15 分 综上 ? 1 ? p ? 3 .所以数列 { d n } 是“ p ? 摆动数列” p 的取值范围是 ( ? 1, 3 ) .???16 分 , 23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 10 分)

1 ? 2x, 0? x? ? ? 2 设函数 T ( x ) ? ? ? 2 (1 ? x ), 1 ? x ? 1 ? ? 2
(1)求函数 y ? T ( x ) 和 y ? ?T ( x ) ? 的解析式;
2
2

(2)是否存在实数 a ,使得 T ( x ) + a

2

? T ( x ? a ) 恒成立,若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由;

(3)定义 T n ? 1 ( x ) ? T n ( T ( x )) ,且 T1 ( x ) ? T ( x ) , n ? N

?

?

?

① 当x?

1 ? ? 时,求 y ? T 4 ( x ) 的解析式; 0, ? 16 ? ? ?

已知下面正确的命题: 当 x ?

i ? i ?1 i ?1 ? ? 1 时 ( i ? N , ? i ? 1 5 ) ,都有 T 4 ( x ) ? T 4 ( ? x ) 恒成立. , ? 16 ? 8 16 ? ?

② 若方程 T 4 ( x ) ? k x 恰有 15 个不同的实数根,确定 k 的取值;并求这 15 个不同的实数根的和.

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? 2 ?2x ? 解: (1)函数 y ? T ( x 2 ) ? ? ? 2 2 (1 ? x ) ? ? ? 2 2 ? x??, ? ? 2 2 ? ? ? ? ? 2? ? 2 x ? ? -1 , ,? 1 ??? 2 ? ? 2 ? ?

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函数 y ? ? T ( x ) ?

2

? 2 ? 4x ? ? ? ? 4 (1 ? x ) 2 ? ?

1? ? x? 0, ? ? 2? ? ?1 ? x? ,1 ?2 ? ? ?

?????????????4 分

1 ? 1 2 ? 2x ? a , 0? x? 2 x ? 2a, 0? x?a ? ? ? ? 2 ? 2 2 (2) T ( x ) ? a ? ? ,T ( x ? a ) ? ? ??6 分 ? 2 (1 ? x ) ? a 2 , 1 ? x ? 1 ? 2 (1 ? x ? a ), 1 ? x ? a ? 1 ? ? ? 2 ? 2
则当且仅当 a
2

? 2 a 且 a ? ? 2 a 时,即 a ? 0 .
2 2

综上可知当 a ? 0 时,有 T ( x ) ? a

? T ( x ? a ) ? T ( x ) 恒成立.?????8 分

(3)① 当 x ?

1 ? ? ? 时,对于任意的正整数 j ? N , ? j ? 3 , 1 0, ? ? 16 ? ?
j

都有 0 ? 2 x ?

1 2

,故有 y ? T 4 ( x ) ? T 3 ( 2 x ) ? T 2 ( 2 x ) ? T1 ( 2 x ) ? 1 6 x .??13 分
2 3

② 由①可知当 x ?

1 ? ? 时,有 T 4 ( x ) ? 1 6 x ,根据命题的结论可得, 0, ? 16 ? ? ?

当x? ?

? 1

2 ? 1 ? 0 2 ? ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? , ? ? 1 6 1 6 ? 时, 8 ? x ? ? 1 6 , 1 6 ? ? ? 1 6 , 1 6 ? , ? 16 16 ? ? ? ? ? ? ? ,
1 8 ? x)=16( 1 8 ? x) ? ?16x ? 2 ,

故有 T 4 ( x ) ? T 4 (

因此同理归纳得到,当 x ? ?

i?1 ? 0 ? ( i ? N , ? i ? 1 5 ) 时, ? 16 16 ? ? i ,
1
4

? 2 x ? i, i 是偶数 ? T 4 ( x ) ? ( ? 1) ( 2 x ? i ? ) ? = ? ???????15 分 4 2 2 ? ? 2 x ? i ? 1, i 是 奇 数 ?
i 4

1

? 2 i ? 1 ? ? ( ? 1) ? i i?1 ? x ? x? , i ? 1 6 1 6 ? 时, 解方程 T 4 ( x ) ? kx 得, 3 2 ? ( ? 1) 2 k ? ?
要使方程 T 4 ( x ) ? kx 在 x ? ? 0 ,1 ? 上恰有 15 个不同的实数根,

i

则必须

? 2 ? 1 4 ? 1 ? ? ( ? 1)
3 2 ? ( ? 1) 2 k
14

14

?

? 2 ? 1 5 ? 1 ? ? ( ? 1)
3 2 ? ( ? 1) 2 k
15

15

解得 k ?

16 15

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方程的根 x n ?

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? 2 n ? 1 ? ? ( ? 1)
3 2 ? ( ? 1) 2 k
n

n

( n ? N , ? n ? 1 5 ) ?????????17 分 1

?

这 15 个不同的实数根的和为:[来源:学_科_网]

S ? x1 ? x 2 ? ? ? x1 4 ? x1 5
? 0+ 2+4+6+8+10+12+14 1616 15 + 2+4+6+8+10+12+14 16+ 16 15 ? 225 32
.????18 分

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