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【步步高】2015届高考数学总复习 2.4一次函数、二次函数与幂函数课件 理 新人教B版


数学

R B(理)

§2.4 一次函数、二次函数与 幂函数
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.一次函数与二次函数的解析式 (1)一次函数:y=kx+b (k,b为常数,且 k≠0 ). (2)二次函数 ①一般

式:f(x)= ax2+bx+c (a≠0) ②顶点式:f(x)= a(x-m)2+n(a≠0) . . .

③零点式:f(x)= a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

基础知识·自主学习
要点梳理
2.一次函数与二次函数的定义及性质
知识回顾 理清教材

函数名称 解析式

一次函数 y=kx+b (k≠0) k>0 k<0

二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) a>0 a<0

图象 b>0 定义域 R b>0 b<0,c>0 R b > 0, c < 0

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

值 域

R

4ac-b2 4ac-b2 [ 4a ,+∞) (-∞, 4a ] b b (-∞,-2a] (-∞,-2a] 在 在

单 在(-∞, 在(-∞, 上是减函数; 上是增函数;在 b b 调 +∞)上是 +∞)上是 [-2a,+∞) [-2a,+∞) 在 减函数 性 增函数 上是增函数 上是减函数

基础知识·自主学习
要点梳理 3. 常用幂函数的图象与性质 函数 特征 y=x 性质
图象
{x|x∈R 且x≠0}
知识回顾 理清教材

y=x

2

y=x

3

y= x

1 2

y=x-1

定义域

R

R

R

[0,+∞)

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

值域

R

[0,+∞)
偶函数
x∈[0,

R

[0, +∞)

{y|y∈R 且y≠0}

奇偶 奇函 性 数

奇函 非奇非 数 偶函数

奇函数

单调 性

+∞)时,

x∈(0 ,



增;x∈ (-∞,0) 时,减





+∞) 时,减; x∈(-∞,0)时, 减

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) × (4) × (5) × (6) ×

解析

B D [1,2]
1或2

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数的图象和性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知函数 f(x)=x2+2ax +3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调 函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 区间.

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数的图象和性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知函数 f(x)=x2+2ax +3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使

对于 (1) 和 (2) 可根据对称轴与 区间的关系直接求解,对于

y=f(x)在区间[-4,6]上是单调 (3) ,应先将函数化为分段函 函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 区间.

数,再求单调区间,注意函数 定义域的限制作用.

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数的图象和性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知函数 f(x)=x2+2ax +3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调 函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 区间.



(1)当 a=-2 时,

f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,

由于 x∈[-4,6], ∴f(x) 在 [ - 4,2] 上单调递减,在 [2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, 又 f(-4)=35,f(6)=15, 故 f(x)的最大值是 35.

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数的图象和性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知函数 f(x)=x2+2ax (2) 由于函数 f(x) 的图象开口向 +3,x∈[-4,6].
上,对称轴是 x=-a, (1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; 所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调 函数,应有-a≤-4 或-a≥6, (2)求实数 a 的取值范围,使 即 a≤-6 或 a≥4. y=f(x)在区间[-4,6]上是单调 ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶 函数; 函数. (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 (3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3,

区间.

∴f(|x|)=x2+2|x|+3, 此时定义域 为 x∈[-6,6],

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数的图象和性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知函数 f(x)=x2+2ax +3,x∈[-4,6].
2 ? x ? +2x+3,x∈?0,6] ? 2 (1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; 且 f(x)=? ?x -2x+3,x∈[-6,0]

,

(2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调 函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 区间.

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],

单调递减区间是[-6,0].

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数的图象和性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 已知函数 f(x)=x2+2ax +3,x∈[-4,6].

(1) 二次函数在闭区间上的最值 主要有三种类型:轴定区间定、 哪种类型,解决的关键是考查对

(1)当 a=-2 时, 求 f(x)的最值; 轴动区间定、轴定区间动,不论 (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调 称轴与区间的关系,当含有参数 时,要依据对称轴与区间的关系 函数; 进行分类讨论; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调 (2) 二次函数的单调性问题则主 区间. 要依据二次函数图象的对称轴进
行分析讨论求解.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1) 二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最 1 2 y = ( x - 2) -1 . 小值为-1,则它的解析式是______________ 2 (2)若函数 f(x)=2x2+mx-1 在区间[-1,+∞)上递增,则 f(-1)

(-∞,-3] . 的取值范围是____________
m (2)∵抛物线开口向上,对称轴为 x=- 4 ,

解析

m ∴- 4 ≤-1,∴m≥4. 又 f(-1)=1-m≤-3,∴f(-1)∈(-∞,-3].

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知函数 f(x)=ax2+bx +1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式, 并写出单调区间; (2) 在 (1) 的条件下, f(x)>x + k 在区间[-3,-1]上恒成立, 试求 k 的范围.

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知函数 f(x)=ax2+bx +1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式, 并写出单调区间; (2) 在 (1) 的条件下, f(x)>x + k 在区间[-3,-1]上恒成立, 试求 k 的范围.

利用 f(x)的最小值为 f(-1)=0 可列两个方程求出 a、b;恒成 立问题可以通过求函数最值 解决.

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知函数 f(x)=ax2+bx +1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式, 并写出单调区间; (2) 在 (1) 的条件下, f(x)>x + k 在区间[-3,-1]上恒成立, 试求 k 的范围.



(1)由题意有

f(-1)=a-b+1=0, b 且- =-1, 2a

∴a=1,b=2.
∴f(x)=x2+2x+1,单调减区间 为(-∞,-1],

单调增区间为[-1,+∞).

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知函数 f(x)=ax2+bx +1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式, 并写出单调区间; (2) 在 (1) 的条件下, f(x)>x + k 在区间[-3,-1]上恒成立, 试求 k 的范围.

(2)f(x)>x+k 在区间[-3,-1]上 恒成立,
转化为 x2+x+1>k 在区间 [-3,-1]上恒成立.

设 g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1], 则 g(x)在[-3,-1]上递减.
∴g(x)min=g(-1)=1.

∴k<1,即 k 的取值范围为 (-∞,1).

题型分类·深度剖析
题型二 二次函数的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知函数 f(x)=ax2+bx +1(a,b∈R),x∈R. (1)若函数 f(x)的最小值为 f(-1)=0,求 f(x)的解析式, 并写出单调区间;

有关二次函数的问题, 数形结合, 密切联系图象是探求解题思路的 有效方法. 用函数思想研究方程、 不等式 (尤其是恒成立 )问题是高

(2) 在 (1) 的条件下, f(x)>x + k 在区间[-3,-1]上恒成立, 试求 k 的范围.
考命题的热点.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
解 (1)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5], 所以当 x=1 时,f(x)取得最小值 1; 当 x=-5 时,f(x)取得最大值 37. (2)函数 f(x)=(x+a)2+2-a2 的图象的对称轴为直线 x=-a, 因为 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, 所以-a≤-5 或-a≥5,即 a≤-5 或 a≥5. 故 a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).

题型分类·深度剖析
题型三 幂函数的图象和性质
2
n 2 ?3 n

【例 3】 (1)已知幂函数 f(x)=(n +2n-2)x A.-3 C.2 B.1 D.1 或 2

(n∈Z)的图象关于 ( )

y 轴对称,且在 (0,+∞)上是减函数,则 n 的值为

题型分类·深度剖析
题型三 幂函数的图象和性质
2
n 2 ?3 n

【例 3】 (1)已知幂函数 f(x)=(n +2n-2)x A.-3 C.2 B.1 D.1 或 2

(n∈Z)的图象关于 ( B )

y 轴对称,且在 (0,+∞)上是减函数,则 n 的值为

思维启迪 由幂函数的定义可得 n2+2n-2=1,再利用 f(x) 的单调性、对称性求 n.
解析 由于 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1,

解得 n=1 或 n=-3,经检验只有 n=1 适合题意,故选 B.

题型分类·深度剖析
题型三
1 2

幂函数的图象和性质
1 2

(2)若(2m+1) >(m2+m-1) , 则实数 m 的取值范围是 ? ? 5-1 ? - 5-1? ? ? ? ? A.?-∞, B. ? ? 2 ,+∞? 2 ? ? ? ? ? 5-1 ? ? ? C.(-1,2) D.? ,2 ? ? 2 ?

(

)

题型分类·深度剖析
题型三
1 2

幂函数的图象和性质
1 2

(2)若(2m+1) >(m2+m-1) , 则实数 m 的取值范围是 ( D ) ? ? 5-1 ? 1 - 5-1? ? ? ? ? 2 A.思维启迪 B. 构造函数 y=x ,利用函数单调性求 m 范围. ?-∞, ? ? 2 ,+∞? 2 ? ? ? ?
? 5-1 ? ? [0,+∞ ? 解析 因为函数 y = x 的定义域为 C.(-1,2) D.? ,2? ),且在定义域内为增 ? 2 ? 函数, 2m+1≥0, ? ? 2 1 m + m - 1 ≥ 0 , 所以不等式等价于? 解 2m+1≥0,得 m≥-2; ? ?2m+1>m2+m-1.
1 2

- 5-1 5- 1 解 m +m-1≥0,得 m≤ 或 m≥ 2 . 2
2

解 2m+1>m2+m-1,得-1<m<2, 综上

5- 1 2 ≤m<2.

题型分类·深度剖析
题型三 幂函数的图象和性质

思维升华

(1)幂函数解析式一定要设为 y=xα (α 为常

数的形式);

(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知幂函数 f(x)=x
( m 2 ? m ) ?1

(m∈N+)

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a) >f(a-1)的实数 a 的取值范围.



(1)m2+m=m(m+1),m∈N+,

而 m 与 m+1 中必有一个为偶数,
∴m(m+1)为偶数.

∴函数 f(x)=x

( m 2 ? m ) ?1

(m∈N+)的定义域为[0,+∞),并且在定

义域上为增函数.
(2)∵函数 f(x)经过点(2, 2),

∴ 2=2

( m 2 ? m ) ?1

,即 2 =2

1 2

( m 2 ? m ) ?1

.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知幂函数 f(x)=x
( m 2 ? m ) ?1

(m∈N+)

(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a) >f(a-1)的实数 a 的取值范围.

∴m2+m=2.解得 m=1 或 m=-2.

又∵m∈N+,∴m=1.∴f(x)=x .

1 2

?2-a≥0, ? 由 f(2-a)>f(a-1)得?a-1≥0 ?2-a>a-1. ? 3 3 解得 1≤a<2.∴a 的取值范围为[1,2).

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在函数中的应用
2

典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax -|x|+2a-1(a 为实常数).

(1)若 a=1,作出函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 忽视定义域致误
2

典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax -|x|+2a-1(a 为实常数).

(1)若 a=1,作出函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)因 f(x)的表达式中含|x|,故应分类讨论,将原表达式化为分段 函数的形式,然后作图.

(2)因 a∈R, 而 a 的取值决定 f(x)的表现形式, 或为直线或为抛物 线,若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况,故应分类讨论 解决.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 忽视定义域致误
2

典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax -|x|+2a-1(a 为实常数).

(1)若 a=1,作出函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答

温 馨 提 醒

解 (1)当 a=1 时, f(x)=x2-|x|+1
2 ? ?x +x+1,x<0 =? 2 ? ?x -x+1,x≥0

.

3分 5分

作图(如右图所示)

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 忽视定义域致误
2

典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax -|x|+2a-1(a 为实常数).

(1)若 a=1,作出函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答 温 馨 提 醒
6分

(2)当 x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1.
若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=-3.
若 a≠0,则
? 1 ?2 1 ? ? f(x)=a x-2a +2a-4a-1, ? ?

7分

1 f(x)图象的对称轴是直线 x=2a.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 忽视定义域致误
2

典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax -|x|+2a-1(a 为实常数).

(1)若 a=1,作出函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答 温 馨 提 醒

当 a<0 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=6a-3. 1 1 当 0<2a<1,即 a>2时,f(x)在区间[1,2]上是增函数, g(a)=f(1)=3a-2. ?1? 1 1 1 1 ? ? 当 1≤2a≤2,即4≤a≤2时, g(a)=f 2a =2a-4a-1. ? ? 1 1 当2a>2,即 0<a<4时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 忽视定义域致误
2

典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax -|x|+2a-1(a 为实常数).

(1)若 a=1,作出函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答 温 馨 提 醒
11分

g(a)=f(2)=6a-3.

? ?6a-3, ? ? 1 综上可得,g(a)=?2a-4a-1, ? ? 1 3a-2, a>2 ? ?

1 a<4 1 1 4≤a≤2.

12分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 忽视定义域致误
2

典例:(12 分)已知函数 f(x)=ax -|x|+2a-1(a 为实常数).

(1)若 a=1,作出函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.
思 维 启 迪
规 范 解 答 温 馨 提 醒

本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法,在二次函数最值 问题的讨论中,一是要对二次项系数进行讨论,二是要对对称轴 进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则:一是分类的标准要 一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避免 分类,绝不无原则的分类讨论.

思想方法·感悟提高

1. 二次函数、 二次方程、 二次不等式间相互转化的一般规律:

方 法 与 技 巧

(1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次 函数的图象数形结合来解,一般从:①开口方向;②对称 轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于 二次函数的图象、性质求解.

2.幂函数 y=xα(α∈R)图象的特征 α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0 时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.

思想方法·感悟提高

1.对于函数 y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就 必须满足 a≠0,当题目条件中未说明 a≠0 时,就

失 误 与 防 范

要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.
2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会 出现在第四象限, 至于是否出现在第二、 三象限内, 要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出 现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交, 则交点一定是原点.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.若 f(x)=x2-ax+1 有负值,则实数 a 的取值范围是 ( C ) A.a≤-2 C.a>2 或 a<-2 B.-2<a<2 D.1<a<3

解析

∵f(x)=x2-ax+1 有负值,

∴Δ=a2-4>0,则 a>2 或 a<-2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2. 一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中 的图象大致是 ( C )

解析

若 a>0,则一次函数 y=ax+b 为增函数,二次函数 y=

ax2+bx+c 的开口向上,故可排除 A; 若 a<0,一次函数 y=ax+b 为减函数,二次函数 y=ax2+bx +c 开口向下,故可排除 D;
b 对于选项 B,看直线可知 a>0,b>0,从而-2a<0,而二次函数的对 称轴在 y 轴的右侧,故应排除 B,因此选 C.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x,都有 f(1+x)= f(-x),那么 A.f(-2)<f(0)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) B.f(0)<f(-2)<f(2) D.f(0)<f(2)<f(-2) ( D )

解析

1 由 f(1+x)=f(-x)知 f(x)的图象关于 x=2对称,

又抛物线开口向上,结合图象(图略)可知 f(0)<f(2)<f(-2).

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4.设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是 A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞)
解析

( D )

B.[2,+∞) D.[0,2]

二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递

减,则 a≠0,f′(x)=2a(x-1)<0,x∈[0,1],

所以 a>0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线 x=1.
所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2.

练出高分
1 2
1 2

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.已知 f(x)=x ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是 ( C ) 1 1 1 1 A.f(a)<f(b)<f(a)<f(b) B.f(a)<f(b)<f(b)<f(a) 1 1 1 1 C.f(a)<f(b)<f(b)<f(a) D.f(a)<f(a)<f(b)<f(b)

解析

因为函数 f(x)=x 在(0,+∞)上是增函数,

1 2

1 1 又 0<a<b<b<a,故选 C.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

6.若函数 y=mx2+x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m 的取 1 0≤m≤4 值范围是________ .

解析 m=0 时,函数在给定区间上是增函数;
1 m≠0 时,函数是二次函数,对称轴为 x=-2m≤-2, 1 1 由题意知 m>0,∴0<m≤4.综上 0≤m≤4.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

7.若方程 x2-11x+30+a=0 的两根均大于 5,则实数 a 的取

1 0<a≤4 . 值范围是________

解析

令 f(x)=x2-11x+30+a.

? ?Δ≥0 结合图象有? ? ?f?5?>0

1 ,∴0<a≤4.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

8.当

? ? 1 α∈?-1,2,1,3?时,幂函数 ? ?

y=xα 的图象不可能经过第

二、四 象限. ________

解析 当 α=-1、1、3 时,y=xα 的图象经过第一、三象限;

1 当 α=2时,y=xα 的图象经过第一象限.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的 解集为(1,3).若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的 单调区间.
解 ∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3),

设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0,
∴f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.
由方程 f(x)+6a=0 得 ax2-(2+4a)x+9a=0.
∵方程②有两个相等的根,
∴Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0,




练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)>-2x 的 解集为(1,3).若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的 单调区间.

1 解得 a=1 或 a=-5.由于 a<0,舍去 a=1. 1 将 a=-5代入①式得
1 2 6 3 1 6 2 f(x)=-5x -5x-5=-5(x+3) +5,
∴函数 f(x)的单调增区间是(-∞,-3],单调减区间是 [-3,+∞).

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2, 求 a 的值.
解 函数 f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,
对称轴方程为 x=a.
(1)当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a,
∴1-a=2,∴a=-1. (2)当 0≤a≤1 时,f(x)max=a2-a+1,
1± 5 ∴a= 2 (舍). ∴a -a+1=2,∴a -a-1=0, (3)当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2.
2 2

综上可知,a=-1 或 a=2.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1 ? ?? ?x-7,x<0, 1. 设函数 f(x)=? 2 若 f(a)<1, 则实数 a 的取值范围是( C ) ? ? x,x≥0, A.(-∞,-3) C.(-3,1) B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

1a 解析 当 a<0 时,(2) -7<1,
即 2 a<23,∴a>-3,∴-3<a<0.


当 a≥0 时, a<1, ∴0≤a<1.故-3<a<1.

练出高分
1
A={m|f(m)<0},则

B组
2

专项能力提升
3 4
(

5
)

2.已知函数 f(x)=ax2+bx+c,且 a>b>c,a+b+c=0,集合 A.?m∈A,都有 f(m+3)>0 C.?m0∈A,使得 f(m0+3)=0
解析

B.?m∈A,都有 f(m+3)<0 D.?m0∈A,使得 f(m0+3)<0

由 a>b>c,a+b+c=0 可知 a>0,c<0,

且 f(1)=0,f(0)=c<0, 即 1 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根,
当 x>1 时,f(x)>0.
b 由 a>b,得 1>a,

练出高分
1
A={m|f(m)<0},则

B组
2

专项能力提升
3 4 5
( A ) B.?m∈A,都有 f(m+3)<0 D.?m0∈A,使得 f(m0+3)<0

2.已知函数 f(x)=ax2+bx+c,且 a>b>c,a+b+c=0,集合 A.?m∈A,都有 f(m+3)>0 C.?m0∈A,使得 f(m0+3)=0

设方程 ax2+bx+c=0 的另一个根为 x1,
b 则 x1+1=-a>-1,即 x1>-2, 由 f(m)<0 可得-2<m<1,
所以 1<m+3<4,

由抛物线的图象可知,f(m+3)>0,选 A.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

3. 已知函数 f(x)=x2-2ax+2a+4 的定义域为 R, 值域为[1, +∞),

-1或3 . 则 a 的值域为________
解析 由于函数 f(x)的值域为[1,+∞),
所以 f(x)min=1 且 Δ<0.∴- 5+1<a< 5+1.

又 f(x)=(x-a)2-a2+2a+4, 当 x∈R 时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1, 即 a2-2a-3=0, 解得 a=3 或 a=-1.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

4.已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且 f(0)· f(1)>0. b (1)求证:-2<a<-1; (2)若 x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.
(1)证明 当 a=0 时,f(0)=c,f(1)=2b+c,又 b+c=0,

则 f(0)· f(1)=c(2b+c)=-c2<0 与已知矛盾,
因而 a≠0,则 f(0)· f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0,
b b b 即(a+1)(a+2)<0,从而-2<a<-1.

(2)解

x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,

a+b 2b 则 x1+x2=-3a,x1x2=- 3a ,

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

4.已知函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且 f(0)· f(1)>0. b (1)求证:-2<a<-1; (2)若 x1、x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,求|x1-x2|的取值范围.
那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
a+b 4 b 2 4b 4 2b 2 =(-3a) +4× 3a =9· (a) +3a+3
1 4 b ∵-2<a<-1,∴3≤(x1-x2)2<9,
3 2 ∴ 3 ≤|x1-x2|<3,
3 2 即|x1-x2|的取值范围是[ 3 ,3).

4b 3 1 =9(a+2)2+3.

练出高分

B组

专项能力提升
5

3 1 4 2 5.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1, ? ?f?x?,x>0, F(x)=? 求 F(2)+F(-2)的值; ? ?-f?x?,x<0,

(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值 范围.
b 解 (1)由已知 c=1,a-b+c=0,且-2a=-1,
解得 a=1,b=2. ∴f(x)=(x+1)2.

2 ? ??x+1? ,x>0, ∴F(x)=? 2 ? ?-?x+1? ,x<0.

∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.

练出高分

B组

专项能力提升
5

3 1 4 2 5.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1, ? ?f?x?,x>0, F(x)=? 求 F(2)+F(-2)的值; ? ?-f?x?,x<0,

(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值 范围.
(2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立,
1 1 即 b≤x -x 且 b≥-x -x 在(0,1]上恒成立. 1 1 又x-x 的最小值为 0,-x-x 的最大值为-2.
∴-2≤b≤0.
故 b 的取值范围是[-2,0].


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