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学案31 一元二次不等式及其解法


学案 31

一元二次不等式及其解法

自主梳理 1.一元二次不等式的定义 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式. 2.二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx +c(a>0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 一元二 次不等 式 ax2 +bx+ c>0 的解集 自我检测
2 2 1. (2013 年高考重庆卷(文) )关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 8a ? 0 ( a ? 0 )的解集为 ( x1 , x2 ) ,

Δ>0

Δ=0

Δ<0

a>0

有两相异实根 x1,2= -b± b2-4ac 2a (x1<x2) {x|x<x1, 或 x>x2} {x|x1<x<x2}

有两相等实根 x1=x2 =________ {x|x≠____}

没有实根

______

a<0

____

____

且: x2 ? x1 ? 15 ,则 a ? A.





5 2

B.

7 2

C.

15 4

D.

15 2

?x2-4x+6,x≥0, ? 2.设函数 f(x)=? 则不等式 f(x)>f(1)的解集是( ) ? ?x+6, x<0, A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 3.已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A,不等式 x2+x-6<0 的解集是 B,不等式 x2+ ax+b<0 的解集是 A∩B,那么 a+b 等于( ) A.-3 B.1 C.-1 D.3 4. (2011· 厦门月考)已知 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为(-3,2), 则 y=f(-x)的图象是( )

5.当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围为________________.

探究点一 一元二次不等式的解法 例 1 解下列不等式: 2 (1)-x2+2x- >0; 3 (2)9x2-6x+1≥0.

变式迁移 1 【2012 高考湖南文 12】不等式 x -5x+6≤0 的解集为______.

2

探究点二 含参数的一元二次不等式的解法 例 2 已知常数 a∈R,解关于 x 的不等式 ax2-2x+a<0.

变式迁移 2

【2012 高考江苏 13】 (5 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , b ? R) 的值域为 .

[0 , ? ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , m ? 6) ,则实数 c 的值为

探究点三 一元二次不等式恒成立问题 2 例 3 【2102 高考福建文 15】已知关于 x 的不等式 x -ax+2a>0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是_________.

4x+m 变式迁移 3 (1)关于 x 的不等式 2 <2 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 x -2x+3 围. (2)若不等式 x2+px>4x+p-3 对一切 0≤p≤4 均成立,试求实数 x 的取值范围.

x+1 1.(2010· 抚顺模拟)已知集合 P={x| >0},集合 Q={x|x2+x-2≥0},则 x∈Q 是 x x-1 ∈P 的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 __________. 2.(2011· 泉州月考)

已知函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x)的图象如 右图所示,且 f(-2)=1,f(3)=1,则不等式 f(x2-6)>1 的解集为__________________. 三、解答题(共 38 分) x-a 3.(12 分)解关于 x 的不等式 <0 (a∈R). x-a2

1 ? ? 4.(12 分)若不等式 ax2+bx+c≥0 的解集是?x|-3≤x≤2?,求不等式 cx2+bx+a<0 的
? ?

解集.

5.(14 分)(2011· 烟台月考)已知函数 f(x)=x2+ax+3. (1)当 x∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围; (2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

学案 31

一元二次不等式及其解法

自主梳理 1. 【答案】A b b 2.- - R ? ? 2a 2a 自我检测 1.C 2.A 3.A 4.D 5.(-∞,-5] 解析 记 f(x)=x2+mx+4,根据题意得 Δ=m -16>0, ? ? ?f?1?≤0, ? ?f?2?≤0,
2

解得 m≤-5.

课堂活动区 例 1 解题导引 解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即 ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+ c<0(a>0). (2)计算相应的判别式. (3)当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根. (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集. 解 (1)两边都乘以-3,得 3x2-6x+2<0, 因为 3>0,且方程 3x2-6x+2=0 的解是 3 3 x1=1- ,x2=1+ , 3 3 3 3 所以原不等式的解集是{x|1- <x<1+ }. 3 3

(2)∵不等式 9x2-6x+1≥0, 其相应方程 9x2-6x+1=0, Δ=(-6)2-4×9=0, 1 ∴上述方程有两相等实根 x= , 3 2 结合二次函数 y=9x -6x+1 的图象知,原不等式的解集为 R. 变式迁移 1 【答案】 x 2 ? x ? 3

?

?

例 2 解题导引 (1)含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑分解 因式, 再对参数进行讨论; 若不易因式分解, 则可对判别式进行分类讨论, 分类要不重不漏. (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为零 时的情形,以便确定解集的形式. (3)其次对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. 解 上述不等式不一定为一元二次不等式, 当 a=0 时为一元一次不等式, 当 a≠0 时为 一元二次不等式,故应对 a 进行讨论,然后分情况求解. (1)a=0 时,解为 x>0. (2)a>0 时,Δ=4-4a2. ①当 Δ>0,即 0<a<1 时, 1± 1-a2 方程 ax2-2x+a=0 的两根为 , a 1- 1-a2 1+ 1-a2 ∴不等式的解集为{x| <x< }. a a ②当 Δ=0,即 a=1 时,x∈?; ③当 Δ<0,即 a>1 时,x∈?. (3)当 a<0 时, ①Δ>0,即-1<a<0 时, 1+ 1-a2 1- 1-a2 不等式的解集为{x|x< 或 x> }. a a ②Δ=0,即 a=-1 时,不等式化为(x+1)2>0, ∴解为 x∈R 且 x≠-1. ③Δ<0,即 a<-1 时,x∈R. 综上所述,当 a≥1 时,原不等式的解集为?; 当 0<a<1 时,解集为 1- 1-a2 1+ 1-a2 {x| <x< }; a a 当 a=0 时,解集为{x|x>0}; 当-1<a<0 时,解集为 1+ 1-a2 1- 1-a2 {x|x< 或 x> }; a a 当 a=-1 时,解集为{x|x∈R 且 x≠-1}; 当 a<-1 时,解集为{x|x∈R}. 变式迁移 2 【答案】9。 例3 【答案】 (0,8) . 变式迁移 3 解 (1)∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0, 4x+m ∴不等式 2 <2 同解于 4x+m<2x2-4x+6,即 2x2-8x+6-m>0. x -2x+3 要使原不等式对任意实数 x 恒成立,只要 2x2-8x+6-m>0 对任意实数 x 恒成立. ∴Δ<0,即 64-8(6-m)<0,

整理并解得 m<-2. ∴实数 m 的取值范围为(-∞,-2). (2)∵x2+px>4x+p-3, ∴(x-1)p+x2-4x+3>0. 令 g(p)=(x-1)p+x2-4x+3, 则要使它对 0≤p≤4 均有 g(p)>0, ?g?0?>0 ? 只要有? . ?g?4?>0 ? ∴x>3 或 x<-1. ∴实数 x 的取值范围为(-∞,-1)∪(3,+∞). 课后练习区 1.D [化简得 P={x<-1,或 x>1},Q={x≤-2,或 x≥1},集合 P,Q 之间不存在 包含关系, 所以 x∈Q 是 x∈P 的既不充分又不必要条件.] 2.(2,3)∪(-3,-2) 解析 由导函数图象知当 x<0 时,f′(x)>0, 即 f(x)在(-∞,0)上为增函数; 当 x>0 时,f′(x)<0,即 f(x)在(0,+∞)上为减函数, 故不等式 f(x2-6)>1 等价于 f(x2-6)>f(-2)或 f(x2-6)>f(3),即-2<x2-6≤0 或 0≤x2- 6<3, 解得 x∈(2,3)∪(-3,-2). x-a 3.解 <0?(x-a)(x-a2)<0,(2 分) x-a2 ①当 a=0 或 a=1 时,原不等式的解集为?;(4 分) ②当 a<0 或 a>1 时,a<a2,此时 a<x<a2;(7 分) ③当 0<a<1 时,a>a2,此时 a2<x<a.(10 分) 综上,当 a<0 或 a>1 时,原不等式的解集为{x|a<x<a2}; 当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|a2<x<a}; 当 a=0 或 a=1 时,原不等式解集为?.(12 分) 4.解 由 ax2+bx+c≥0 的解集为 1 ? ? ?x|- ≤x≤2?,知 a<0,(3 分) 3 ? ? 1 c ? 又? ?-3?×2=a<0,则 c>0. 1 又- ,2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根,(6 分) 3 b 5 b 5 ∴- = ,即 =- . a 3 a 3 c 2 5 2 又∵ =- ,∴b=- a,c=- a.(8 分) a 3 3 3 2 ?2 ? 5 ? ∴不等式 cx2+bx+a<0 变为? ?-3a?x +?-3a?x+a<0, 即 2ax2+5ax-3a>0. 又∵a<0,∴2x2+5x-3<0, 1? ? ∴所求不等式的解集为?x|-3<x<2?.(12 分) ? ? 5.解 (1)∵x∈R 时,有 x2+ax+3-a≥0 恒成立, 需 Δ=a2-4(3-a)≤0,即 a2+4a-12≤0, ∴-6≤a≤2.(4 分) (2)当 x∈[-2,2]时,设 g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):

①如图(1),当 g(x)的图象恒在 x 轴上方,满足条件时, 有 Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.(7 分) ②如图(2),g(x)的图象与 x 轴有交点, 但在 x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0, Δ≥0, ? ? a 即?x=-2<-2, ?g?-2?≥0, ?

? ? a 即?-2<-2, ? ?4-2a+3-a≥0

a2-4?3-a?≥0,

a≥2或a≤-6, ? ?a>4, ?? 7 ? ?a≤3,

解之,得 a∈?.(10 分) ③如图(3),g(x)的图象与 x 轴有交点, Δ≥0, ? ? a 但在 x∈(-∞,2]时,g(x)≥0,即?x=-2>2, ? ?g?2?≥0, a -4?3-a?≥0, ? ? a 即?-2>2, ?4+2a+3-a≥0 ?
2

a≥2或a≤-6, ? ? ??a<-4, ? ?a≥-7

?-7≤a≤-6.(13 分) 综合①②③,得 a∈[-7,2].(14 分)


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