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2014年高考文科数学《数列》专题训练


高考试题分类汇编:数列
一、选择题
1.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

解析:由等差中项的性质知 a3 ?

a1 ? a5 ? 5,? a4 ? 7,? d ? a4 ? a3 ? 2 .故选 B. 2

/>) D.18 )

2.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 2 , a3 ? 4, 则a10 =( A.12 B.14 C.16

3.在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则 a2 ? a10 ? ( A. 12 B. 16 C. 20 D.24

【解析】? a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d ,

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,?a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 ,故选 B
4.等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? ( A.14 B. 21 C. 28 D.35 )

解析:? a3 ? a4 ? a5 ? 12 ? a4 ? 4 , a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? 7a4 ? 28 5.在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11 项和 S11 ? ( A.58 B.88 C.143 D.176 )

【解析】在等差数列中,? a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16,? s11 ?

11? (a1 ? a11 ) ? 88 ,答案为 B 2

6.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时, n 等 于( A.6 ) B. 7 C.8 D.9

【解析】设该数列的公差为 d ,则 a4 ? a6 ? 2a1 ? 8d ? 2 ? (?11) ? 8d ? ?6 ,解得 d ? 2 , 所以 S n ? ?11n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 12n ? (n ? 6) 2 ? 36 ,所以当 n ? 6 时, Sn 取最小值。 2


2 7.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ? (

A.38

B.20

C.10

D.9

.

第 1 页 共 10 页

2 【解析】 因为 ?an ? 是等差数列, 所以,am?1 ? am?1 ? 2am , 由 am?1 ? am?1 ? am 得: 2 am ? 0,

- a m =0,所以, a m =2,又 S2m?1 ? 38 ,即 =38,解得 m=10,故选.C。

2

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38,即(2m-1)×2 2

8. 设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 若 a1 ? 1 , 公差 d ? 2 , 则k ? ( Sn?2 ? Sn ? 24 , A.8 B.7 C.6 D.5



【解析】 Sk ?2 ? Sk ? ak ?2 ? ak ?1 ? a1 ? (k ? 2 ?1)d ? a1 ? (k ? 1 ?1)d ? 2a1 ? (2k ? 1)d

? 2 ?1 ? (2k ? 1) ? 2 ? 4k ? 4 ? 24 ? k ? 5 故选 D。
9.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为( A.15 B.16 C.49 ) D.64

【解析】 a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . 10.已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? a6 ? 6 ,其前 5 项和 S5 ? 10 ,则其公差 d ? 【分析】 : a4 ? a6 ? 6 ? a5 ? 3, S5 ? .

?d ?

a5 ? a1 1 ? . 5 ?1 2

a1 ? a5 a ?3 ?5 ? 1 ? 5 ? 10 ? a1 ? 1. 2 2

11.在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 解析:74. a2 ? a8 ? a4 ? a6 ? a3 ? a7 ? 37 ,故 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 2 ? 37 ? 74 12.已知 ?an ? 为等差数列, a3 ? a8 ? 22, a6 ? 7 ,则 a5 ? ____________ 解析:由于 ?an ? 为等差数列,故 a3 ? a8 ? a5 ? a6 ,? a5 ? a3 ? a8 ? a6 ? 15 13. 已知 ?an ? 为等差数列,Sn 为其前 n 项和, 若 a1 ?

1 , S n ? a3 , 则 a2 ? 2



Sn ?

____。

【解析】因为 S2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ? a1 ? 所以 a2 ? a1 ? d ? 1, S n ? na1 ? n(n ? 1)d ?

1 , 2

1 2 1 n ? n。 4 4


14.设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 ,则 a9 ?

第 2 页 共 10 页

解析:填 15.

3? 2 ? S ? 3a1 ? d ?3 ? ?a1 ? ?1 ? 3 2 ,解得 ? ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ? ?d ? 2 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 24 6 1 ? 2 ?
2

1.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 =( A.



1 2

B.

2 2
2

C. 2
8

D.2
4 2

【解析】 设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q 为正数,所以 q ?

?

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2


2.在等比数列 ?an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q ? ( A.2 解析: B.3 C.4 D.8

a2010 ?q 3 ? 8 a2007

?q ? 2


3. Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( A.3 B.4 C.5 D.6

解析:选 B. 两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 , a4 ? 4a3 ,? q ?

a4 ? 4. a3

4.(2009 宁夏理)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列,若 a1 =1, 则 S4 ? ( A.7 ) B.8 C.15 D.16

解析:? 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列,

?4a1 ? a3 ? 4a2 ,即4a1 ? a1q2 ? 4a1q,?q2 ? 4q ? 4 ? 0,?q ? 2,S4 ? 15 ,选 C.
5.已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 ? 5 , a7 a8a9 ? 10 ,则 a4 a5 a6 ? ( A. 5 2 【 解 析 】 B. 7 C.6 D. 4 2 )

3 由 等 比 数 列 的 性 质 知 a1a2a3 ? (a1a3 )? a2 ? a2 ?5 ,
1

3 a7 a8a9 ? (a7 a9 )? a8 ? a8 ? 10,所以 a2 a8 ? 50 3 ,

第 3 页 共 10 页

3 所以 a4a5a6 ? (a4 a6 )?a5 ? a5 ? ( a2 a8 )3 ? (50 6 )3 ? 5 2

1

6.公比为 2 的等比数列 ?an ? 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 =( A. 1 B.2 C.4 D.8



2 【解析】 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1 。

7.(2012 宁夏理 5)已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( A. 7 B. 5 C. ?? D. ??

?



【 解 析 】 因 为 {an } 为 等 比 数 列 , 所 以 a5 a6 ? a4 a7 ? ?8 , 又 a4 ? a7 ? 2 , 所 以

a4 ? 4,a7 ? ?2 或 a4 ? ?2,a7 ? 4 . 若 a4 ? 4,a7 ? ?2 , 解 得 a1 ? ?8,a10 ? 1 , a1 ? a10 ? ?7 ;若 a4 ? ?2,a7 ? 4 ,解得 a10 ? ?8,a1 ? 1 ,仍有 a1 ? a10 ? ?7 ,综上
选 D. 8.设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 A. 2 B. 4 C.

S4 =( a2
17 2



15 2

D.

a1 (1 ? q 4 ) S 1 ? 24 15 1? q 解: 4 ? ? ? a2 a1q ?2 2
9.设 s n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 A.-11 B.-8 C.5

S5 ?( S2
D.11
3



解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入所 求式可知答案选 D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式, 属中档题 10.公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 log2 a16 =( A. 4 B. 5 C. ? D. ? )

2 【解析】 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q9 ? 32 ? log2 a16 ? 5 .

11. 若数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ) ,则 a5 ?
?

;前 8 项的和

S8 ?

.(用数字作答)
m

解析:本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 属于基础知识、基本运算的考查.
第 4 页 共 10 页

a1 ? 1, a2 ? 2a1 ? 2, a3 ? 2a2 4, a4 ? 2a3 ? 8, a5 ? 2a4 ? 16 ,
易知 S8 ?

28 ? 1 ? 255 ,∴应填 255. 2 ?1

12.首项为 1,公比为 2 的等比数列 ?an ? 的前 4 项和 S4 ? 【解析】因为数列是等比数列,所以 S4 ?

1 ? 24 ? 15 。 1? 2

13. 在 等 比 数 列 ?an ? 中 , 若 公 比 q=4 , 且 前 3 项 之 和 等 于 21, 则 该 数 列 的 通 项 公 式

an ?



【解析】由题意知 a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21 ,解得 a1 ? 1 ,所以通项 an ? 4n?1

1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2 1 1 2 2 4 【解析】因为 a2 a4 ? a3 ? ,所以 a1a3 a5 ? a3 ? 。 2 4
14.(2012 广东文 12)若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? 15.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 2S2 ? 0 ,则公比 q ? _______ 【解析】 显然公比 q ? 1 , 设首项为 a1 , 则由 S 3 ? 3S 2 ? 0 , 得 即

.

a1 (1 ? q 3 ) a (1 ? q 2 ) , ? ?3 ? 1 1? q 1? q
, 即

q 3 ? 3q 2 ? 4 ? 0





q 3 ? q 2 ? 4q 2 ? 4 ? q 2 (q ? 1) ? 4(q 2 ? 1) ? 0

(q ? 1)(q 2 ? 4q ? 4) ? 0 ,所以 q 2 ? 4q ? 4 ? (q ? 2) 2 ? 0 ,解得 q ? ?2 .

1.【2012 高考安徽文 5】公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 = (A) 1 【答案】A (B)2 (C) 4 (D)8

2.【2012 高考全国文 6】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? (A) 2
n ?1

(B) ( )

3 2

n ?1

(C) ( )

2 3

n ?1

(D)

1 2 n ?1

【答案】B 4.【2012 高考辽宁文 4】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= (A) 12 【答案】B
第 5 页 共 10 页

(B) 16

(C) 20

(D)24

7.【2102 高考福建文 11】数列{an}的通项公式 a n ? cos A.1006 【答案】A. B.2012 C.503 D.0

n? ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于 2

二、填空题
10.【2012 高考重庆文 11】首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ? 【答案】15 11.【2012 高考新课标文 14】等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=_______ 【答案】 ? 2 12.【2012 高考江西文 13】等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1。若 a1=1,且对任意 的 都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=_________________。

【答案】11

。 15.【2012 高考辽宁文 14】已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0, 且 2(a
n

+a n+2)=5a n+1 ,则数列{an}的公比 q

= _____________________.

【答案】2 16.【2102 高考北京文 10】已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? a2=______,Sn=_______。 【答案】 a2 ? 1 , S n ?

1 ,S2=a3,则 2

1 2 1 n ? n 4 4 1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2
.

17.【2012 高考广东文 12】若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? 【答案】

1 4

三、解答题

第 6 页 共 10 页

15.记等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,设 S3 ? 12 ,且 2a1 , a2 , a3 ? 1 成等比数列,求 Sn .

? 2a1 ? a3 ? 1? ? a2 2 ? 解析:设 ?an ? 的公差为 d ,则 ? , ? ? a1 ? a2 ? a3 ? 12
.5.u.

?a12 ? 2da1 ? d 2 ? 2a1 ? 0 ?a1 ? 1, ?a1 ? 8 即? ,解得 ? 或? ?d ? 3, ?d ? ?4 ?a1 ? d ? 4
因此 S n ?

3 2 1 n ? n,或S n ? 10n ? 2n 2 2 2

16.已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 Sn . 解析:设 ?an ? 的公差为 d ,则 ?
.5.u.

.w.w.k.s.5. u.c

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? , ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 ?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 即? ,解得 ? 或? ?d ? 2, ?d ? ?2 ?a1 ? ?4d
因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9? 17.设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。 解析: (Ⅰ) a3 ? 5 , a10 ? ?9 得 ?

?a1 ? 2d ? 5 ? a1 ? 9 ,解得 ? , ? d ? ?2 ?a1 ? 9d ? ?9

数列 ?an ? 的通项公式为 an ?11 ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)知 S n ? na1 ? 最大值。

n(n ? 1) d ? 10n ? n 2 ? (n ? 5) 2 ? 25 .,则 n ? 5 时, Sn 取得 2

13 已知{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5. (1) 求 数列 {an}的通项 an; (2)求{an}前 n 项 和 Sn 的最大值. 解:(1)设{an}的公 差 为 d, 由已知条件得, ?

?a1 ? d ? 1, 解得a1 ? 3, d ? ?2, ?a1 ? 4d ? ?5,

第 7 页 共 10 页

所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5. n(n-1) (2)Sn=na1+ d=-n2+4n=4-(n-2)2. 2 所以 n=2 时,Sn 取到最大值 4. 16.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (Ⅰ)求 ?an ? 的公比 q; (Ⅱ)求 a1 ? a3 ? 3 ,求 Sn
w.w.w.k .s.5.u .c.o.m

(17)解: (Ⅰ)依题意有 a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q ) ,由于 a1 ? 0 ,
2
w.o.

故 2q 2 ? q ? 0 ,又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 2

( (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a 1 ? ) ? 3 ,故 a1 ? 4 ,
2

1 2

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2
17.已知 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;

10 分

(Ⅱ)若等比数列 ?bn ? 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 ?bn ? 的前 n 项和公式 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d ,因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ?

?a1 ? 2d ? ?6 ,解得 a1 ? ?10, d ? 2 ,所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 ?a1 ? 5d ? 0

(Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q ,因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?8q ? ?24 ,即 q =3,则 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

18. 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且

a1 ? 3, 3a2, a3 ? 4构成等差数列.
(1)求数列 {an } 的等差数列.
第 8 页 共 10 页

(2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 求数列 {bn } 的前 n 项和 T . , 2, ?,

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 解: (1)由已知得 : ? (a ? 3) ? (a ? 4) ? a2 ? 2 1 3 ? 3a2 ? ? 2
设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ?

2 ,a3 ? 2q . q

又 S3 ? 7 ,可知

1 2 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? 2,q2 ? . 2 q

, ? q ? 2 .?a1 ? 1 .故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 . 由题意得 q ? 1
(2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 , 2, ?, 由(1)得

a3n?1 ? 23n ,?bn ? ln 23n ? 3n ln 2

又 bn?1 ? bn ? 3ln 2 ,?{bn } 是等差数列.

?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
故 Tn ?

3n(n ? 1) ln 2 . 2

n(b1 ? bn ) n(3ln 2 ? 3n ln 2) 3n(n ? 1) ? ? ln 2 2 2 2

18. 【2012 高考浙江文 19】 (本题满分 14 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn= 2n 2 ? n ,

n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.
【解析】

(1) 由 Sn= 2n 2 ? n ,得
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ? 1,n∈N﹡.

(2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡
所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 2 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2
2 n?1



第 9 页 共 10 页

2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )]
? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
22.【2012 高考重庆文 16】 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 分) ) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。 【解析】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? 所以 a2k ? a1Sk ?2

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
2

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,

从而 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3)

,即

k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去),因此 k ? 6 。

26.【2012 高考山东文 20】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

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