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“杨辉三角”与二项式系数的性质


卓越个性化教案
学生姓名 教学目标 重点难点 年级 授课时间 教师姓名 课时 2

掌握二项式系数的四个性质;培养观察发现,抽象概括及分析解决问题的能力。 如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

王新敞
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“杨辉三角”与二项式系数的性质
【知识点梳理】 1.二项式定理及其特例:
0 1 r n (1) (a ? b)n ? Cn an ? Cn anb ? ?? Cn an?r br ? ?? Cn bn (n ? N ? ) , 1 r (2) (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn xr ? ?? xn . r 2.二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn an?r br

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3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制; 求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表(杨辉三角)
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(a ? b)n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2,3 ?时,二项式系数表,表中
每行两端都是1 ,除1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5.二项式系数的性质:
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0 1 2 n r (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn , Cn , Cn ,?, Cn . Cn 可以看成以 r 为自变

量的函数 f (r ) 定义域是 {0,1, 2,? , n} ,例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立的点(如图)
m n (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵ Cn ? Cn ?m ) .

直线 r ?

n 是图象的对称轴. 2

作业 教学效果 / 课后反思 A( 作业完成 B( C( ) A ( ) 学习效果 B ( ) C ( ) A ( ) 学习状态 B ( ) C ( ) ) 存在问题: )

学生自评

针对本堂收获和自我表现(对应指数上打√)

学生/家长签名 日 期



② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩

1

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n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ? 1) n ? k ?1 k ? Cn ?1 ? , k! k n ? k ?1 n ? k ?1 n ?1 k k ?1? k ? ∴ Cn 相对于 Cn ?1 的增减情况由 决定, , k k 2 n ?1 当k ? 时, 二项式系数逐渐增大. 由对称性知它的后半部分是逐渐减小的, 且在中间取得最大值; 2
(2)增减性与最大值.∵ Cn ?
k

n

n ?1

n ?1

当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 , Cn 2 取得最大值. (3)各二项式系数和:
1 r ∵ (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn xr ? ?? xn ,

0 1 2 r n 令 x ? 1 ,则 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn
n

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⑷在 (a ? b) 的展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 说明: 由性质 (3)
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0 2 1 3 知 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1 .
1 2 3 n ⑸ Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 .

【典型例题详讲】 例 1.在 (a ? b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
n
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0 1 r n 证 明 : 在 展 开 式 (a ? b)n ? Cn an ? Cn anb ? ?? Cn an?r br ? ?? Cn bn (n ? N ? ) 中 , 令

0 1 2 3 n a ? 1 , ? ? ,则 (1 ?1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? (?1)n Cn , b 1 0 2 1 3 0 2 1 3 即 0 ? (Cn ? Cn ? ?) ? (Cn ? Cn ? ?) ,∴ Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ?,

即在 (a ? b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
n

0 2 1 3 说明:由性质(3)及例 1 知 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1 .

例 2.已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 ,求: (1) a1 ? a2 ? ? ? a7 ; (2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; (3) | a0 | ? | a1 | ??? | a7 | .
7 7

解: (1)当 x ? 1 时, (1 ? 2 x) ? (1 ? 2) ? ?1,展开式右边为 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ∴ a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ,当 x ? 0 时, a0 ? 1 ,∴ a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ? 1 ? ?2 , (2)令 x ? 1 , a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ① ②

令 x ? ?1 , a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 37

2

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① ? ② 得: 2(a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? ?1 ? 37 ,∴ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ? (3)由展开式知: a1 , a3 , a5 , a7 均为负, a0 , a2 , a4 , a8 均为正,

1 ? 37 . 2

?1 ? 37 ∴由(2)中①+② 得: 2(a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? ?1 ? 3 ,∴ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? , 2
7

∴ | a0 | ? | a1 | ??? | a7 |? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7

? (a0 ? a2 ? a4 ? a6 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? a7 ) ? 37
2 10 3

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例 3.求(1+x)+(1+x) +?+(1+x) 展开式中 x 的系数
2 10

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(1 ? x)[1 ? (1 ? x)10 ] ( x ? 1)11 ? ( x ? 1) 解: (1 ? x) ? (1 ? x) ? ? 1 ? x) ? = , ( x 1 ? (1 ? x)
∴原式中 x 实为这分子中的 x ,则所求系数为 C11 例 4.在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数 解:∵ (x ? 3x ? 2) ? (x ? 1) (x ? 2)
2 5 5
5 2 5
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3

4

7

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5

∴在(x+1) 展开式中,常数项为 1,含 x 的项为 C1 ? 5x , 5 在(2+x) 展开式中,常数项为 2 =32,含 x 的项为 C1 2 4 x ? 80x 5
5 5

∴展开式中含 x 的项为 1 ? (80x ) ? 5x (32) ? 240x ,∴此展开式中 x 的系数为 240 例 5. 设 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn ,
2 3 n

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当 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 254 时,求 n 的值 解:令 x ? 1 得:

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a0 ? a1 ? a2 ??? an ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ?
∴ 2 ? 128, n ? 7 ,
n

2(2n ? 1) ? 254 , 2 ?1

点评:对于 f ( x) ? a0 ( x ? a)n ? a1 ( x ? a)n?1 ? ?? an ,令 x ? a ? 1, 即 x ? a ? 1 可得各项系数的 和 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an 的值;令 x ? a ? ?1, 即 x ? a ? 1 ,可得奇数项系数和与偶数项和的关系
1 2 3 n 例 6.求证: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 . 1 2 3 n 证(法一)倒序相加:设 S ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn
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3

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n n n 2 1 又∵ S ? nCn ? (n ?1)Cn ?1 ? (n ? 2)Cn ?2 ? ?? 2Cn ? Cn r n 0 n 1 n ∵ Cn ? Cn ?r ,∴ Cn ? Cn , Cn ? Cn ?1 ,? ,
0 1 2 n 由①+②得: 2 S ? n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ,



?

?

∴S ?

1 1 2 3 n ? n ? 2n ? n ? 2n ?1 ,即 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 . 2

(法二) :左边各组合数的通项为
r rCn ? r ?

n! n ? (n ? 1)! r ?1 ? ? nCn ?1 , r !(n ? r )! (r ? 1)!(n ? r )!

1 2 3 n 0 1 2 n ?1 ∴ Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ?1 ? n ? 2n ?1 .

?

?

例 7.在 (2 x ? 3 y)10 的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤ x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.
r 分析:因为二项式系数特指组合数 C n ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式 2 x ? 3 y 中的

系数无关. 解:设 (2x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 (*), 各 项 系 数 和 即 为 a 0 ? a1 ? ? ? a10 , 奇 数 项 系 数 和 为 a0 ? a2 ?? ? a1 0, 偶 数 项 系 数 和 为

a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的 奇 次 项 系 数 和 为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的 偶 次 项 系 数 和 a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 .
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
0 1 10 ①二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 210 .

②令 x ? y ? 1 ,各项系数和为 (2 ? 3)10 ? (?1)10 ? 1 .
0 2 10 ③奇数项的二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 2 9 , 1 3 9 偶数项的二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 2 9 .

④设 (2x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 ,

4

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令 x ? y ? 1 ,得到 a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? 1 ?(1), 令 x ? 1 , y ? ?1 (或 x ? ?1 , y ? 1 )得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? 510 ?(2) (1)+(2)得 2(a0 ? a2 ? ? ? a10 ) ? 1 ? 510 , ∴奇数项的系数和为 1 ? 5 ;
10

2

(1)-(2)得 2(a1 ? a3 ? ? ? a9 ) ? 1 ? 510 , ∴偶数项的系数和为 1 ? 5 .
10

2

⑤ x 的奇次项系数和为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 ? 1 ? 5 ;
10

2

10 x 的偶次项系数和为 a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 ? 1 ? 5 .

2

点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和” 严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 例 8.已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的系数和比 (3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992,求 (2 x ? 1 ) 2n 的展
x

开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项. 解:由题意 2 2n ? 2 n ? 992 ,解得 n ? 5 . ① (2 x ? ) 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,
10

1 x

5 即 T6 ? T5?1 ? C10 ? (2x) 5 ? (? ) 5 ? ?8064 .

1 x

②设第 r ? 1项的系数的绝对值最大,
r r 则 Tr ?1 ? C10 ? (2 x)10?r ? (? ) r ? (?1) r ? C10 ? 210?r ? x10?2r
r r r r ?C10 ? 210 ? r ? C10?1 ? 210 ? r ?1 ?C10 ? 2C10?1 ?11 ? r ? 2r ? ? ∴? r ,得 ? r ,即 ? 10 ? r r ?1 10 ? r ?1 r ?1 ?C10 ? 2 ?2C10 ? C10 ? C10 ? 2 ?2(r ? 1) ? 10 ? r ? ?

1 x

∴ 8 ? r ? 11 ,∴ r ? 3 ,故系数的绝对值最大的是第 4 项
3 3
2 3 2 n

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例 9.已知: ( x ? 3x ) 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992 . (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项 解:令 x ? 1 ,则展开式中各项系数和为 (1 ? 3) ? 2 ,
n 2n
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又展开式中二项式系数和为 2 , ∴2
2n

n

? 2n ? 992 , n ? 5 .

5

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(1)∵ n ? 5 ,展开式共 6 项,二项式系数最大的项为第三、四两项,
2 2 22 2 3 ∴ T3 ? C5 ( x 3 )3 (3x 2 )2 ? 90 x6 , T4 ? C5 ( x 3 )2 (3x 2 )3 ? 270 x 3 ,

(2)设展开式中第 r ? 1 项系数最大,则 Tr ?1 ? C ( x )
r 5

2 3 5? r

(3x ) ? 3 C x
2 r r r 5

10? 4 r 3



∴?

?3r C5r ? 3r ?1 C5r ?1 7 9 ? ? ? r ? ,∴ r ? 4 , r r r ?1 r ?1 2 2 ?3 C5 ? 3 C5 ?
2 26

4 即展开式中第 5 项系数最大, T5 ? C5 ( x 3 )(3x 2 )4 ? 405x 3 .

1 2 n 例 10.已知 S n ? 2 n ? Cn 2 n?1 ? Cn 2 n?2 ? ? ? Cn ?1 ? 2 ? 1(n ? N ? ) ,

求证:当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1能被 64 整除

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分析:由二项式定理的逆用化简 S n ,再把 S n ? 4n ? 1变形,化为含有因数 64 的多项式
1 2 n ∵ Sn ? 2n ? Cn 2n?1 ? Cn 2n?2 ? ?? Cn ?1 ? 2 ? 1 ? (2 ? 1)n ? 3 ,
n

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∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 4n ? 1 ,∵ n 为偶数,∴设 n ? 2k ( k ? N ) ,
n *

∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 8k ? 1 ? (8 ? 1)k ? 8k ?1
2k

1 ? Ck0 8k ? Ck 8k ?1 ? ?? Ckk ?18 ? 1 ? 8k ?1 1 ? (Ck0 8k ? C8 8k ?1 ??? Ck2 )82 ( ? ) ,

当 k = 1 时, Sn ? 4n ? 1 ? 0 显然能被 64 整除, 当 k ? 2 时, ? )式能被 64 整除, ( 所以,当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1能被 64 整除 【针对性练习】 1.
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?

x ?1

? ? x ?1? 展开式中 x 的系数为
4 5
4

,各项系数之和为



1 2 3 n 2.多项式 f ( x) ? Cn ( x ?1) ? Cn ( x ?1)2 ? Cn ( x ?1)3 ? ?? Cn ( x ?1)n ( n ? 6 )的展开式中, x 的
6

系数为 3.若二项式 (3 x ?
2

1 n ) ( n ? N ? )的展开式中含有常数项,则 n 的最小值为( ) 2 x3
B.5 C.6 D.8

A.4

6

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4.某企业欲实现在今后 10 年内年产值翻一番的目标,那么该企业年产值的年平均增长率最低应 ( ) A.低于 5% B.在 5%~6%之间 C.在 6%~8%之间 D.在 8%以上 5.在 (1 ? x) n 的展开式中,奇数项之和为 p ,偶数项之和为 q ,则 (1 ? x2 )n 等于( ) A.0 B. pq C. p2 ? q2 D. p2 ? q2

6.求和:

n ?1 1 ? a 0 1 ? a 2 1 1 ? a3 2 1 ? a 4 3 n 1? a n Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ?1? Cn . 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a

7.求证:当 n ? N 且 n ? 2 时, 3n ? 2n?1 ? n ? 2? .
?

8.求 ? 2 ? x ? 的展开式中系数最大的项
10

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【课堂小结】二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内 在联系,涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题,只需运用通项公式和二项式系数的性质对条 件进行逐个节破,对于与组合数有关的和的问题,赋值法是常用且重要的方法,同时注意二项式定 理的逆用 【注】 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,同时要注意 “系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项,而系数最大的 不一定是中间项,尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手 段。
王新敞
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针对性练习答案:1. 45, 0
3. B 4. C 5. D

2. 0 .提示: f ? x ? ? x ?1? n ? 6?
n
n ?1

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6. ? a ?1 ? a ?

7. (略)

8. T3?1 ? 15360 x3

【高考链接】 1. (江苏卷)若对于任意实数 x ,有 x3 ? a0 ? a1 (x ? 2) ? a 2(x ? 2) 2? a 3(x ? 2) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
3

,则 a2 的值为(B)

7

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2. (湖北卷)如果 ? 3x 2 ? A.3

? ?

2? ? x3 ?

n

的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为﹝B﹞ C.6 D.10
(2 nr? r? )3

B.5
r 2 nr ?

C x ( 【分析】 Tr ?1 ? n 3 ) ( :
2n ? 5r ? 0 , n ?

?)

r

2 r nr r? nr r ?3 n( 2 ? x C ) x3

3? r 2n nr C) (

?

? x

2 5 ?



5r ( r ? 2, 4,? ) nm ? 5 . 。 ni 2

【高考考点】 :本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的 能力. 【易错点】 :注意二项式定理的通项公式中项数与 r 的关系。

3 ? ? 3. (2007 年江西卷) 已知 ? x ? 3 ? 展开式中, 各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64 , x? ?
则 n 等于( C ) A. 4 B. 5
n

n

C. 6

D. 7

1? ? 4. (2007 年全国卷 I) ? x 2 ? ? 的展开式中,常数项为 15 ,则 n ? ( D ) x? ?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

5. (2007 年全国卷Ⅱ) (1 ? 2 x 2 ) ? x ?
6

? ?

1? ? 的展开式中常数项为 x?

8

?42 . (用数字作答)

5 1 ? ? 2 6. (2007 年天津卷)若 ? x 2 ? . ? 的二项展开式中 x 的系数为 2 ,则 a ? 2 (用数字作答) ax ? ?
7. (2007 年重庆卷)若 ( x ? A10 B.20

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( B ) x
C.30 D.120 7 .

8. (2007 年安徽卷)若(2x3+

1 x

)a 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于

9. (2007 年湖南卷)将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图 1 所示的 0-1 三角数表.从 上往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,?,第 n 次全 行的数都为 1 的是第

2n ? 1

行;第 61 行中 1 的个数是

32



第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 ?? ??????????????? 图1

8


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