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高考数学第一轮复习


二项分布及其应用
基础梳理 1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件概率,用符号 P(B|A)来表示,其公式为 P(B|A)= P?AB? . P?A? n?AB? . n?A?

在古典概型中,若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数,则 P(B|A)= (2)条件概率具有的性质: ①0≤P(B|A)≤1; ② 如果 B 和 C 是两互斥事件,则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 2.相互独立事件

(1)对于事件 A、B,若 A 的发生与 B 的发生互不影响,则称 A、B 是相互独立事件. (2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)=P(B), P(AB)=P(B|A)· P(A)=P(A)· P(B). (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立. (4)若 P(AB)=P(A)P(B),则 A 与 B 相互独立. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次 试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)二项分布 在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 k,在每次试验中事件 A 发生的概率为 p,那么在 n
k n-k 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k)=Ck (k=0,1,2,?,n),此时称 np (1-p)

随机变量 X 服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称 p 为成功概率. 一种关系 可先定义条件概率 P(B|A)= P?AB? ,当 P(B|A)=P(B)即 P(AB)=P(A)P(B)时,事件 B 与事件 A 独立.但 P?A?

是要注意事件 A、B、C 两两独立,但事件 A、B、C 不一定相互独立. 两种算法 计算条件概率有两种方法.
1

(1)利用定义 P(B|A)= P(B|A)= n?AB? . n?A?

P?AB? ;(2)若 n(C)表示试验中事件 C 包含的基本事件的个数,则 P?A?

双基自测 1.(2011· 广东)甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两 局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( 3 A.4 解析 2 B.3 3 C.5 1 D.2 ).

1 问题等价为两类:第一类,第一局甲赢,其概率 P1=2;第二类,需比赛 2 局,第一局甲负,

1 1 1 3 第二局甲赢,其概率 P2=2×2=4.故甲队获得冠军的概率为 P1+P2=4. 1 2. 小王通过英语听力测试的概率是3, 他连续测试 3 次, 那么其中恰有 1 次获得通过的概率是( 4 A.9 解析 2 B.9 4 C.27 2 D.27 ).

1? 4 ?1?1 ? ?3? · ?1-3?3-1= . 所求概率 P=C1 3· 9 ? ? ? ?

3.(2011· 湖北高考)如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统,当 K 正常工作且 A1、A2 至 少有一个正常工作时,系统正常工作,已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8,则系统正 常工作的概率为( ).

A.0.960 解析

B.0.864

C.0.720

D.0.576

P=0.9×[1-(1-0.8)2]=0.864. ).

1? ? 4.如果 X~B?15,4?,则使 P(X=k)取最大值的 k 值为( ? ? A.3 解析 B.4 C.5

D.3 或 4

?1?4 ?3?11 3 ?1?3?3?12 5 ?1?5?3?10 ?4? ?4? ,P(X=4)=C4 ?4? ,P(X=5)=C15 ?4? ?4? , 采取特殊值法.∵P(X=3)=C15 15?4? · ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?

从而易知 P(X=3)=P(X=4)>P(X=5). 5. 把一枚硬币连续抛两次, 记“第一次出现正面”为事件 A, “第二次出现正面”为事件 B, 则 P(B|A) 等于( 1 A.2 ). 1 B.4 1 C.6 1 D.8
2

解析

1 P?AB? 4 1 法一 P(B|A)= = = .法二 P?A? 1 2 2

A 包括的基本事件为{正,正},{正,反},AB 包括的基本

1 事件为{正,正},因此 P(B|A)=2. 考向一 条件概率

【例 1】?(2011· 辽宁)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( 1 A.8 1 B.4 2 C.5 1 D.2 P?AB? 计算. P?A? 1 P?A∩B? 10 1 P(B|A)= = 4 =4. P?A? 10 ).

[审题视点] 利用条件概率的计算公式 P(B|A)=

解析

2 2 C3 +C2 4 2 C2 1 2 P(A)= C2 =10=5,P(A∩B)=C2=10.由条件概率计算公式,得 5 5

(1)利用定义,分别求 P(A)和 P(AB),得 P(B|A)=

P?AB? .这是通用的求条件概率的方法. P?A?

(2)借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再求事件 A 与事件 B 的交事件中包 含的基本事件数,即 n(AB),得 P(B|A)= n?AB? . n?A?

【训练 1】 (2011· 湖南高考)如图,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形.将一颗豆子随 机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴 影部分)内”,则 (1)P(A)=________;(2)P(B|A)=________.

解析

π 2 圆的面积是 π, 正方形的面积是 2, 扇形的面积是4, 根据几何概型的概率计算公式得 P(A)=π,

1 2 P?AB? π 1 根据条件概率的公式得 P(B|A)= = = . P?A? 2 4 π 考向二 独立事件的概率
3

【例 2】?(2011· 全国)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购 买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率; (2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. [审题视点] 准确把握“至少”与“恰”等字眼的意义,从而借助于独立事件的的概率知识求解. 解 (1)设“购买甲种保险”事件为 A,“购买乙种保险”事件为 B 0.3 =0.6, P?A? B )=1-P(A)P(B)

由已知条件 P(A)=0.5,P(BA)=0.3,∴P(B)P(A)=0.3,P(B)=

因此,1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为 1-P( A =1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8. (2)一位车主两种保险都不购买的概率为 P=P( A B )=0.2,

2 因此 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 C1 3×0.2×0.8 =0.384.

4


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