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2011年浙江省高中数学竞赛试题及参考答案


2011 年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里, 多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 已知 θ ∈ [

5π 3π , ] ,则 1 ? sin 2θ ? 1 + sin 2θ 可化简为( 4 2 A. 2sin θ B. ?2sin θ C. ?2 cos θ D. 2 cos θ



2.如果复数 ( a + 2i )(1 + i ) 的模为 4,则实数 a 的值为( ) A. 2 B. 2 2 C.

±2

D. ±2 2 )

3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ∈ A ∩ B , 命题 q: x ∈ A 或 x ∈ B ,则 p 是 q 的( A. 充分且必要条件 C. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 D. 非充分且非必要条件 )

x2 4. 过椭圆 + y 2 = 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 45o 弦 AB,则 AB 为( 2
A.

2 6 3

B.

4 6 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3


?1 ? 5? x 5. 函数 f ( x) = ? x ? 5 ?1

x≥0 ,则该函数为( x<0

A. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数

B. 单调递减函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A ) 2 2 2 2 2 3 正视图 1 侧视图 1

2

俯视图(圆和正方形) D. 4+ π

5π A. 4+ 2

3π B. 4+ 2

C. 4+

π
2

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依次记为: ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),L , ( xn , yn ),L ; 若程序运行 中输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x = ( )
1

A.64

B.32

C.16

D.8

8. 在平面区域 ( x, y ) | x |≤ 1,| y |≤ 1 上恒有 ax ? 2by ≤ 2 ,则动点 P ( a, b) 所形 成平面区域的面积为( A. 4 B.8 C. 16 ) D. 32

{

}

9. 已知函数 f ( x ) = sin(2 x ? 为( ) A. ?

π

? π? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点, m 的取值范围 则 6 ? 2?

?1 ? , 1? ?2 ?

B ? , 1? ?2 ?
2

?1

?

C. ? , 1? ?2 ?

?1

?

D. ?

?1 ? , 1 ?2 ? ?
) D. 1 < x < 3

10. 已知 a ∈ [ ?1,1] ,则 x + ( a ? 4) x + 4 ? 2a > 0 的解为( A. x > 3 或 x < 2 B. x > 2 或 x < 1 C. x > 3 或 x < 1

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分, 共 49 分) 11. 函数 f ( x ) = 2 sin

x ? 3 cos x 的最小正周期为__________。 2

12. 已知等差数列 {an } 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 + a8 + a15 =__________. 13. 向量 a = (1, sin θ ) , b = (cos θ , 3) , θ ∈ R ,则 a ? b 的取值范围为 。 14. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端点),D 为 BC 边上的中点,且 PD ⊥ PE 。则直线 AP, PE 的夹角为__。 15.设 x, y 为实数,则
5 x + 4 y =10 x
2

r

r

r r

max ( x 2 + y 2 ) = ____________。 2

16. 马路上有编号为 1,2,3,…,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯,但不 能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有_________种。 (用组合数符 号表示) 17. 设 x, y , z 为整数,且 x + y + z = 3, x 3 + y 3 + z 3 = 3 ,则 x 2 + y 2 + z 2 = __。 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18. 设 a ≤ 2 ,求 y = ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。

2

2 x n?1 y n ?1 19. 给定两个数列 {x n } , {y n }满足 x0 = y 0 = 1 , x n = (n ≥ 1) , y n = (n ≥ 1) 。 2 + x n ?1 1 + 2 y n ?1

证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 j n ,使得 y n = x jn 。

20. 已知椭圆

x2 y 2 + = 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D (a, 0) 为 F1 右侧一点,连 52 4 2

AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ,求 a 的值。

3

2011 年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分标准 年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分标准
1.解答:因为 θ ∈ [

5π 3π , ] ,所以 1 ? sin 2θ ? 1 + sin 2θ = cos θ ? sin θ ? cos θ + sin θ 4 2
2

= 2 cos θ 。正确答案为 D。
2.解答:由题意得 2 ? a + 4 = 4 ? a = ±2 。正确答案为 C。 3.解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。 4. 解答:椭圆的右焦点为(1,0) ,则弦 AB 为 y = x ? 1, 代入椭圆方程得

3 x 2 ? 4 x = 0 ? x1 = 0, x2 =

4 4 2 ? AB = 2( x1 ? x2 )2 = 。正确答案为 C。 3 3

5. 解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( 为 2 × 2 ×1 + 3π ?

π
2

) ,所以该几何体的体积

π

2 7. 答案 经计算 x = 32 。正确答案为 B。

= 4+

5π 。正确答案为 A。 2

8. 解答:平面区域 ( x, y ) | x |≤ 1,| y |≤ 1 的四个边界点(—1,—1)(—1,1)(1,—1)(1,1) , , , 满足 ax ? 2by ≤ 2 ,即有 a + 2b ≤ 2, a ? 2b ≤ 2, ? a ? 2b ≤ 2, ? a + 2b ≤ 2 ,由此计算动点 P ( a, b) 所形成 平面区域的面积为 4。正确答案为 A。 9. 解答:问题等价于函数 f ( x ) = sin(2 x ?

{

}

π

? π? ) 与直线 y = m 在 ?0, ? 上有两个交点,所以 m 的取值范 6 ? 2?

围为 ? , 1? 。正确答案为 C。 10. 解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f ( a ) = ( x ? 2) a + ( x 2 ? 4 x + 4) 由 f ( ?1) = x 2 ? 5 x + 6 > 0, f (1) = x 2 ? 3 x + 2 > 0 ? x < 1 或 x > 3 。正确答案为 C。 11. 解答:最小正周期为 4 π 。 12.解答:由 S15 = 30 ? a1 + 7 d = 2 ,而 a1 + a8 + a15 = 3( a1 + 7 d ) = 6 。 13. 解答: a ? b =

?1 ?2

? ?

r r

(1 ? cos θ ) 2 + (sin θ ? 3)2 = 5 ? 2(cos θ ? 3 sin θ ) = 5 ? 4sin( ? θ ) 6
4

π



其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。

14. 解答:因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ,所以 AD⊥PE,又 PE⊥PD, PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90 。 15. 解答: 5 x 2 + 4 y 2 = 10 x ? 4 y 2 = 10 x ? 5 x 2 ≥ 0 ? 0 ≤ x ≤ 2
o

4( x 2 + y 2 ) = 10 x ? x 2 = 25 ? (5 ? x) 2 ≤ 25 ? 32 ? x 2 + y 2 ≤ 4
16. 解答:问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯,所以共有 C1710 种关灯方法。 17. 解答:将 z = 3 ? x ? y 代入 x + y + z = 3 得到 xy = 3( x + y ) ? 9 +
3 3 3
300

8 ,因为 x, y 都是整数, x+ y

所以 ?

?x + y = 1 ?x + y = 4 ?x + y = 2 ?x + y = 8 ,? ,? ,? , 前两个方程组无解;后两个方程组解得 ? xy = 2 ? xy = 5 ? xy = 1 ? xy = 16

x = y = z = 1; x = y = 4, z = ?5 。所以 x 2 + y 2 + z 2 = 3 或 57。
18. 解答:当 x ≤ 0, y = ?( x ? 1) 2 + 1, 由此可知 ymax = 0 。 当 1 ≤ a ≤ 2, ymin = a ? 2a ;当 1 ? 2 ≤ a < 1, ymin = ?1 ;
2

当 x > 0, y = ( x ? 1) 2 ? 1,

当 a < 1 ? 2, ymin = ? a + 2a 。
2

19. 解答:由已知得到:

1 2 1 1 1 = 1+ ? + 1 = 2(1 + ) ? { + 1} 为等比数列,首项为 2,公比 xn xn ?1 xn xn ?1 xn

为 2, 所以

1 1 + 1 = 2 n +1 ? xn = n +1 。 xn 2 ?1

( yn ?1 + 1) 2 y +1 y +1 1 1 2 ) 又由已知, yn + 1 = ? n = ( n ?1 )2 ? 1 + = (1 + 1 + 2 y n ?1 yn y n ?1 yn yn ?1

n 1 1 1 n = 2 ? 1+ = 2 2 ? yn = , 所以取 jn = 2 ? 1 即可。 n y0 yn 22 ? 1 25 20. 解答: F1 ( ?3, 0), 左准线方程为x = ? ;AB方程为 y = k ( x + 3)( k为斜率) 。 3
由1 +
5

? y = k ( x + 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y2 + =1 ? ? 25 16
设 M (?

? (16 + 25k 2 ) x 2 + 150k 2 x + 225k 2 ? 400 = 0 得

25 25 (3a + 25) y1 (3a + 25) y2 , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 = ,同理y4 = 。 3 3 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 ) uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuuu r 16 16 , y3 ), F1 N = (? , y4 ),由已知得 F1M ⊥ F1 N ? F1M ? F1 N = 0 , 3 3

又 F1M = (?

uuuur

得 y3 y 4= ?

256 (3a + 25) 2 y1 y2 256k 2 (3a + 25) 2 256 , 而y 3 y 4 = ,即 ? ? =? , 整理得 2 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 16 + 25k 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 9

(1 + k 2 )(16a 2 ? 400) = 0 ? a = ±5, 又a > ?3, 所以a = 5 。

6


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