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【全程复习方略】(全国通用)2016高考数学 阶段滚动检测(六)


阶段滚动检测(六) 第一~十章
(120 分钟 150 分) 一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动单独考查)复数 z 满足 z(1+i)=2i,则复数 z 的实部与虚部之差为( ) A.-2 B.2 C.1 D.0 2.(滚动单独考查)(2015?杭州模拟)已知全集 M= {x|2x2+5x<0,x∈Z},集合 N={0,a},若 M∩N=?,则 a 等于 ( ) A.-1 B.2 C.-1 或 2 D.-1 或-2 3.(2015?西安模拟)平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为 3cm,把一枚半径为 1cm 的硬币任意平掷 在这个平面中,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( ) A. B. C. D. 4.(2015?杭州模拟)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架歼-15 飞机准备着舰, 如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法种数为( ) A.12 B.18 C.24 D.48 5.(滚动单独考查)如图是一个几何体的三视图,该几何体的体积是( )

A.2

cm3

B.

cm3

C. cm3 D. cm3 6.(2015?沈阳模拟)已知△ABC 的三顶点坐标为 A(3,0),B(0,4),C(0,0),D 点的坐标为(2,0),向△ABC 内部投一 点 P,那么点 P 落在△ABD 内的概率为( ) A. B. C. D. 7.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为 A,从集合 A 中任取一个元素 a,则函数 y=xa(x≥0)是增函数 的概率为( )

-1-

A.

B.

C.

D.

8.(2015?咸阳模拟)设 n=

4sinxdx,则( -x)n 展开式的常数项为(

)

A.12 B.6 C.4 D.1 9.(2 015?西安模拟)某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多 ),要在如图三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶点上各安装一个灯泡,要求同一条线段的两端的灯泡颜色不同,则 每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法共有( ) A.96 种 B.144 种 C.216 种 D.288 种 10.(滚动单独考查)已知点 F1,F2 分别是椭圆 + =1(a>b>0)的左、 右焦点,A,B 是以坐标原点 O(0,0)为圆心、 |OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB 是正三角 形,则此椭圆的离心率为( ) A. B. C. -1 D. -1 11.( 滚 动 交 汇 考 查 )(2015 ? 张 掖 模 拟 ) 在 区 间 [- π , π ] 内 随 机 取 两 个 数 分 别 记 为 a,b, 则 使 得 函 数 f(x)=x2+2ax-b2+π 有零点的概率为( ) A. B. C. D. 12.(滚动交汇考查)(2015?青岛模拟)已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数, f′(x)g(x)+ f(x)g′(x)<0,f(x)g(x)=ax,f(1)g(1)+f(-1)g(-1)= .在区间[-3,0]上随机取一个数 x,f(x)g(x)的值介于 4 到 8 之间的概率是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)

? ?lgx, x ? 0, ? a 2 ? x ? ? 0 3t dt, x ? 0. 若 f(f(1))=1,则 a= 13.(滚动单独考查)设 f(x)= ?

. 14.(2014?西安模拟)将 4 名新来的同学分配到 A,B,C 三个班级中,每个班级至少安排 1 名学生,其中甲同学 不能分配到 A 班,那么不同的分配方案种数为 .(用数字作答) 15.设随机变量ξ 的概率分布列如表所示: ξ P 0 a 1 b 2 c
-2-

其中 a,b,c 成等差数列,若随机变量ξ 的均值为 ,则ξ 的方差为 . 16.(滚动单独考查)如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A,D 为双曲线的焦点,其余四个顶点都在双曲线上, 则该双曲线的离心率为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)(滚动单独考查)设向量 a=(5 cosx,cosx),b=(sinx,2cosx),函数 f(x)=a?b+|b|2+ .

(1)当 x∈[- ,

]时,求函数 f(x)的值域.

(2)将 y=f(x)的图象向右平移φ (φ >0)个单位后,再将得到的图象向下平移 5 个单位,得到函数 y=g(x)的图象, 若函数 y=g(x)是偶函数,求φ 的最小值. 18.(12 分)(滚动单独考查)已知{an}是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,S4=2S2+4. (1)求公差 d 的值. (2)若对任意的 n∈N*,都有 Sn≥S8 成立,求 a1 的取值范围. 19.(12 分)今年年初,我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气,给我们的身体健康产生了巨大的威胁.私 家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量 选择绿色出行方式 ,为预防雾霾出一份力 .为此,很多城市实施了机动车车尾号限行 ,我市某报社为了解市区 公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了 50 人,将调查情况进行整理后制成下表: 年龄 (岁) 频数 赞成 人数 [15,25) 5 4 [25,35) 10 6 [35,45) 15 9 [45,55) 10 6 [55,65) 5 3 [65,75] 5 4

(1)完成被调查人员的频率分布直方图. (2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的 4 人中不赞成“车辆限 行”的人数为ξ ,求随机变量ξ 的分布列和数学期望.

20.(12 分)(滚动单独考查)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1=

,BC=4,A1 在底面 ABC 的射影
-3-

是线段 BC 的中点 O. (1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1 C1C,并求出 AE 的长. (2)求二面角 A1-B1C-C1 的余弦值.

y2 21.(12 分)(滚动单独考查)如图,已知椭圆 + 3 =1 的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点,线段 AB
的中点为 G,AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D,E 两点. (1)若点 G 的横坐标为- ,求直线 AB 的斜率. (2)记△GFD 的面积为 S1,△OED(O 为原点)的面积为 S2.试问:是否存在直线 AB,使得 S1= S2?说明理由.

22.(12 分)(滚动单独考查)已知 a>0,函数 f(x)= +2a(a+1)lnx-(3a+1)x. (1)若函数 f(x)在 x=1 处的切线与直线 y-3x=0 平行,求 a 的值. (2)求函数 f(x)的单调递增区间. (3)在(1)的条件下,若对任意 x ∈[1,2],f(x)-b2-6b≥0 恒成立,求实数 b 的取值组成的集合.

-4-

答案解析 1.D 由 z(1+i)=2i 得:z= =1 +i.所以复数 z 的实部与虚部之差为 1-1=0.

2.D 由 2x2+5x<0 得:- <x<0,又 x∈Z, 所以 x=-2,-1,故 M={-2,-1}, 又 N={0,a}且 M∩N≠?,所以 a=-1 或 a=-2. 3.B 为了确定硬币的位置,由硬币中心 O 向靠得最近的平行线引垂线 OM,垂足为 M;线段 OM 长度的取值 范围就是[0, ],只有当 1<OM≤ 时硬币不与平行线相碰,所以所求事件的概率 就是 P=( -1)÷( -0)= . 4.C 把甲、乙看作 1 个元素和戊全排列,调整甲、乙,共有 元素排列产生的 3 个空位中,有 =24. 5.B 由三视图知:该几何体为底面边长是 2cm,高为 1cm 的正三棱柱,所以该几何体的体积为 V= ?2? ?1= (cm3). =4 种方法;再把丙、丁插入到刚才“两个”

=6 种方法,由分步乘法计数原理可得总的方法种数为:

6.A 因为 D 是 AC 上的靠近 A 点的三等分点,所以 S△ABD= S△ABC,所以点落在△ABD 内的概率为 P= = . 7.C 由程序框图可知:初始条件 x=-3.第一次 x≤3,是,所以 y=(-3)2+2?(-3)=3,从而 x=-3+1=-2; 第二次 x ≤ 3, 是 , 所以 y=(-2)2+2 ? (-2)=0, 从而 x=-2+1=-1; 第三次 x ≤ 3, 是 , 所以 y=(-1)2+2 ? (-1)=-1, 从而 x=-1+1=0;第四次 x≤3,是,所以 y=02+2?0=0,从而 x=0+1=1; 第五次 x≤3,是,所以 y=12+2?1=3,从而 x=1+1=2; 第六次 x≤3,是,所以 y=22+2?2=8,从而 x=2+1=3; 第七次 x≤3,是,所以 y=32+2?3=15,从而 x=3+1=4; 第八次 x≤3,否.从而集合 A={3,0,-1,8,15};而函数 y=xa(x≥0)是 增函数必须且只须 a>0,故所求概率 P= .
? 2 4sinxdx=-4cosx| 0

8.B n= 数项为(-1)2

=4,所以 Tr+1=

1 ( )4 x -r(-x)r=(-1)r

x2r-4,令 2r-4=0 得:r=2,所以展开式的常

=6.

9.C 每种颜色的灯泡都至少用一个,即用了四种颜色的灯进行安装,分 3 步进行,第一步,A,B,C 三点选三种颜 色灯泡共有 种选法;第二步,在 A1,B1,C1 中选一个装第 4 种颜色的灯泡,有 3 种情况;第三步,为剩下的两

个灯选颜色,假设剩下的为 B1,C1,若 B1 与 A 同色,则 C1 只能选 B 点颜色;若 B1 与 C 同色,则 C1 有 A,B 处 两种颜色可选.故为 B1,C1 选灯泡共有 3 种选法,得到剩下的两个灯有 3 种情况,则共有 ?3?3=216 种方

法. 10.D 由题意,因为 A,B 是以 O(O(0,0)为坐标原点)为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,
-5-

所 以 |OA|=|OB|=|OF2|=c, 因 为 △ F2AB 是 正 三 角 形 , 所 以 |F2A|= |F1A|+|F2A|=2a,(1+ )c=2a,即 e= -1.

c, 所 以 |F1A|=c, 又 因 为

11.B 在区间[-π ,π ]内随机取两个数分别记为(a,b),表示边长为 2π 的正方形.要使函数 f(x)=x2+2ax-b2+π

有零点,需 4a2+4b2-4π ≥0,即 a2+b2≥π ,表示以原点为圆心, 以其面积为 4π 2-

为半径的圆的外部,且在正方形的内部,所

π 2=3π 2,所以有零点的概率为 = . 12.B 令 F(x)= f(x)g(x)=ax,因为 F'(x)= f'(x)g(x)+ f(x)g' (x)<0,所以 F(x)在 R 上单调递减,所以 0<a<1,又因为

1 ( )x f(1)g(1)+ f(-1)g(-1)= ,代入得 a= 或 a=2(舍),所以由 4< 2 <8 得:-3<x<-2,所以在区间[-3,0]上随机取一个数
x,f(x)g(x)的值介于 4 到 8 之间的概率是 . 13.【解析】f(1)=lg1=0,所以 f(f(1))=f(0)= 答案:1 14.【解析】甲同学不能分配到 A 班,则甲可以放在 B,C 班,有 种方法,另外三个同学有 2 种情况, ; 3t2dt=a3=1,所以 a=1.

①三人中,有 1 个人与 A 共同分配一个班,即 A,B,C 每班一人,即在三个班级全排列

②三人中,没有人与甲共同参加一个班,这三人都被分配到甲没有分配的 2 个班,则这三中一个班 1 人,另一个 班 2 人,可以从 3 人中选 2 个为一组,与另一人对应 2 个班,进行全排列,有 有 + 种安排方案. ( + )=24,故答案为 24. 种情况.所以另外三个同学

所以不同的分配方案有 答案:24

15. 【解析】因为 a,b,c 成等差数列 , 随机变量 ξ 的均值为 , 所以 2b=a+c,b+2c= , 又因为 a+b+c=1, 所 以 a= ,b= ,c= ,所以ξ 的方差为 . 答案: 16.【解析】设正六边形 ABCDEF 的边长为 1,中心为 O,以 AD 所在直线为 x 轴,以 O 为原点,建立直角坐标 系,则 c=1, 在△ AEF 中,由余弦定理得 AE2=AF2+EF2-2AF?EFcos120°=1+1-2?(- )=3,

所以 AE=

,2a=AE-DE=

-1,所以 a=

,
-6-

e= 答案:

=

+1. +1

17.【解析】(1)f(x)=a?b+|b|2+ =(5 cosx,cosx)?(sinx,2cosx)+( )2+

=5

cosxsinx+2cos2x+4cos2x+sin2x+ =5sin(2x+ )+5.

因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤

,

所以- ≤sin(2x+ )≤1,

所以,当 x∈[- ,

]时 f(x)∈[ ,10].

(2)由已知 f(x)=5sin(2x+ )+5,

所以 g(x)=5sin[2(x-φ )+ ]+5-5=5sin(2x -2φ +

).

因为 g(x)为偶函数,所以-2φ + =kπ + (k∈Z),

因为φ >0,所以当 k=-1 时,φ 有最小值 . 18.【解析】(1)因为{an}是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,S4=2S2+4, 所以 4a1+ d=2(2a1+d)+4, 解得公差 d=1. (2)由 Sn≥S8 成立, 有 Sn= n2+(a1- )n = [n-( -a1)]2- ( -a1)2 在 n=8 时取最小值, 因为 n∈N*,所以 ≤ -a1≤ 所以 a1 的取值范围是[-8,-7]. ,即-8≤a1≤-7,

-7-

19.【解析】(1)各组的频率分别是:0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1. 所以图中各组的纵坐标分别是 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01.

(2)ξ 的所有可能取值为:0,1,2,3.

P(ξ =0)=

?

=

?

=

=

,

P(ξ =1)=

?

+

?

=

?

+

?

=

=

,

P(ξ =2)=

?

+

?

=

?

+

?

=

=

,

P(ξ =3)=

?

=

?

= ξ P

=

, 0 1 2 3

所以ξ 的分布列是:

所以ξ 的数学期望 E(ξ )= . 20.【解析】(1)连接 AO,在△AOA1 中,作 OE⊥AA1 于点 E,因为 AA1∥BB1,所以 OE⊥BB1,因为 A1O⊥平 面 ABC,所以 A1O⊥BC,又 AB=AC,O 为 BC 中点,所以 AO⊥BC,又 AO∩A1O=O,所以 BC⊥平面 AA1O,所 以 BC⊥OE,又 BB1∩BC=B,所以 OE⊥平面 BB1C1C,又 AO= =1,

AA1=

,AE=

=

.

(2)如图,分别以 OA,OB,OA1 所在直线为 x,y,z 轴, 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2), 由

=

,得点 E 的坐标是( ,0, ),由(1)知平面 B1CC1 的一个法向量



=( ,0, ).设平面 A1B1C 的法向量是 n=(x,y,z),
-8-

??? ? ? ?n?AB ? 0, ??x ? 2y ? 0, ? ? ??? ? n?AC ? 0, ? y ? z ? 0. ? ? 由 得
可取 n=(2,1,-1),

所以 cos<

??? ? OE? n ??? ? ,n>= | OE || n | =

.

故二面角 A1-B1C-C1 的余弦值为

.

21.【解析】(1)依题意,直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y=k(x+1).将其代入 (4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 x1+x2= 故点 G 的横坐标为 依题意,得 解得 k=± . =- , . = .

+

=1,整理得:

(2)假设存在直线 AB,使得 S1= S2,显然直线 AB 不能与 x,y 轴垂直.由(1)可得 G(

,

).

因为 DG⊥AB,所以

?k=-1,

解得 xD= ,即 D( ,0). 因为△GFD∽△OED,所以 S1= S2?|GD|=|OD|. 所以

=| 使得 S1=S2. 22.【解析】(1)f'(x)=x+

|,整理得 8k2+9=0.因为此方程无解,所以不存在直线 AB,

-(3a+1),由已知,得 f'(1)=3,

即 2a2-a=3,2a2-a-3=0,解得 a= 或 a=-1. 又因为 a>0,所以 a= . (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=x+ -(3a+1)=
-9-

= , ①当 2a>a+1,即 a>1 时,由 f'(x)>0 得 x>2a 或 0<x<a+1,因此函数 f(x)的单调增区间是(0,a+1)和(2a,+∞). ②当 2a<a+1,即 0<a<1 时,由 f'(x)>0 得 x>a+1 或 0 <x<2a,因此函数 f(x)的单调增区间是(0,2a)和(a+1,+∞). ③当 2a=a+1,即 a=1 时 f'(x)≥0 恒成立(只在 x=2a 处等于 0), 所以函数在定义域(0,+∞)上是增函数. 综上:当 a>1 时,函数 f(x)的单调增区间是(0,a+1)和(2a,+∞);当 0<a<1 时,函数 f(x)的单调增区间是(0,2a)和 (a+1,+∞);当 a=1 时,函数 f(x)的单调增区间是(0,+∞). (3)当 a= 时,f(x)= + lnx,由(2)知该函数在(0, )上单调递增,因此在区间[1,2]上 f(x)的最小值只能在

x=1 处取到.又 f(1)= - =-5,若要保证对任意 x∈[1,2],f(x)-b2-6b≥0 恒成立,应该有-5≥b2+6b,即 b2+6b+5≤ 0,解得-5≤b≤-1,因此实数 b 的取值组成的集合是{b|-5≤b≤-1}.

- 10 -


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