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(2015版)导数题型归类第五讲:多变量问题


2015 版导数题型归类
第五讲 一、学习目标 1. 了解常见的多变量问题的处理思路。 2. 掌握主元法、消元法。 二、重难点 重点:主元法 难点:怎么根据特征判断用对应的方法 三、引入 多元变量问题的处理思路:消元,那么消元的方法有哪些? 四、过程 例题 1. 已知函数
x ? 2 x ? a , x ?0 f ( x) ? {ln 其中 a 为实数, 设 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 为该函数 x , x ?0
2

多变量问题

图像上的两点,且 x1 ? x2 。 1)求函数 f(x)的单调区间、 2)若函数 f(x)的图像在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,证明: x2 ? x1 ? 1 3)若函数 f(x)的图像在点 A,B 处的切线重合,求实数 a 的取值范围。

方法:利用两个变量的数量关系,代换。特征:在小问中有一个条件可以建立两个变量的一 个方程。

例题 2. 已知 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x, g ( x) ? x ln x 1)求函数 f ( x) 的最大值 2)设 0 ? a ? b, 证明: 0 ? g (a ) ? g (b) ? 2 g (

a?b ) ? (b ? a) ln 2 2

方法:两个变量,可以把其中一个当常数,另外一个当自变量 特征:小问中两个变量没有明确的数量等式关系。

例题 3. 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx , a ? 0 2

1)若 b=2,且 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围。 2)设函数 f(x)的图像 1 与图像 g(x)的图像 2 交于点 P.Q, 过 PQ 的中点做 x 轴的垂线分别 交 1,

c

c

c

c2 于点 M,N,证明: c1 在点 M 处的切线与 c2 在点 N 处的切线不平行。

方法:通过变量的四则运算后,把整体处理为一个变量,从而达到消元的目的。 特征:这种题一般是两个以上的变元或是两个量的确定关系在解题过程中反复出现。

例题 4. 已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? ln( ax ? ), a ? 0 1)a=2 时,求函数的单调区间 2)若对任意的 a ? (1,2) ,当 x0 ? [1,2] 时,都有 f ( x0 ) ? m(1 ? a 2 ) ,求实数 m 的范围

1 2

1 2

方法:当没有其他条件消元的时候,可以考虑利用不等式放缩消元。

五、课堂巩固 已知函数 f ( x) ? e x , ( x ? R) 1)若直线 y ? kx ? 1 与 f ( x) 得反函数的图像相切,求 k 2)设 x>0,讨论曲线 y ? ( x) 与曲线 y ? mx2 , (m ? 0) 的公共点的个数。 3)设 a ? b ,比较

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) 的大小。 , 2 b?a

六、课后作业 已知函数 f ( x) ? e x ?

1 2 x ? ax, a ? R 2

1)若函数在 x=0 处的切线方程为 y ? 2 x ? b, 求实数 a , b 2)若函数在 R 上时增函数,求实数 a 的取值范围 3)如 果 函 数 g ( x) ? f ( x) ? ( a ? ) x 2 恰 好 有 两 个 不 同 的 极 值 点 x1 , x2 , 证 明 :

x1 ? x2 ? ln 2a 2

1 2

法无万法,势无常势,事在人为。


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