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高一数学必修4第一章知识点+测试题(含答案)


第一章

三角函数(初等函数二)

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象 限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来 ? 是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域. n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. l 6、 半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l , 则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? . r 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等 n
*

? 180 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

?

8、 若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S ,
1 1 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9、设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点 的距离是 r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . y 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 P T sin ? 2 2 2 2 v ? sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ? ; ? 2 ? cos ? ? tan ? O MA x sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ? 13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14 、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数

y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩
短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不
变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长 (缩短) 到原来的 得到函数
y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移
1

?

倍 (纵坐标不变) ,

? 个单 ?

位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所

有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数

y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象.
函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ? 相: ? . 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初 ? 2?

最大值为 ymax ,则 ? ? 函
y ? sin x

性质



y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

最 值

时 , ymax ? 1 ; 当
x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小 值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2? 周 期 性 奇 奇函数 偶 性 单 ? ?? ? 调 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ? 性

?

偶函数

奇函数



?2k? ? ? , 2k? ?? k ???

上 是 增 函 数 ; 在

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ?
? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是减函数.
对 称 中 心 对 称 中 心 对 ? k? ,0?? k ??? 称 对 称 性 ? x ? k? ? ? k ? ? ? 2 对 称 中 心



? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

第一单元
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 (时间:90 分钟.总分 150 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本答题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.-300°化为弧度是 ( ) 4? 5? 2? 5? A. ? B. ? C. ? D. ? 3 3 3 6 ? ? 2.为得到函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图像( ) 3 6 ? ? A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 4 4 ? ? C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 2 2 ? 3.函数 y ? sin(2 x ? ) 图像的对称轴方程可能是( ) 3 ? ? ? ? A. x ? ? B. x ? ? C. x ? D. x ? .w.w.k.s.5.u.c.o 6 12 6 12
x 4.若实数 x 满足㏒ 2 =2+sin ? ,则 x ? 1 ? x ? 10 ? (

) D. 9

A.

2x-9

B. 9-2x

C.11
y 值为( x

5.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点,则 A. 3 6. 函数 y ? sin( 2 x ? B. -

) D. 3 3

3

C.

3 3

?
3

) 的单调递增区间是(



? 5? ? ? A. ?k? ? , k? ? ? k ? Z 12 12 ? ?
? 5? ? ? k ?Z C. ?k? ? , k? ? 6 6 ? ? ?
7.sin(-
10 π )的值等于( 3

? 5? ? ? B. ?2k? ? ,2k? ? ? 12 12 ? ?
? 5? ? ? D. ?2k? ? ,2k? ? 6 6 ? ? ?
A.
1 2

k ?Z

k ?Z



B.-

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

8.在△ABC 中,若 sin( A ? B ? C ) ? sin( A ? B ? C ) ,则△ABC 必是( A.等腰三角形 C.等腰或直角三角形 9.函数 y ? sin x ? sin x 的值域是 A.0 B. ?? 1,1? ( B.直角三角形 D.等腰直角三角 ) D. ?? 2,0?



C. ?0,1? ( )

10.函数 y ? sin x ? sin x 的值域是 A. ?? 1,1? B. ?0,2?

C. ?? 2,2? )

D. ?? 2,0?

11.函数 y ? sin x ? tan x 的奇偶性是( A.奇函数 B.偶函数 12.比较大小,正确的是( A. sin(?5) ? sin 3 ? sin 5 C. sin 3 ? sin(?5) ? sin 5

C.既奇又偶函数 )

D.非奇非偶函数

B. sin(?5) ? sin 3 ? sin 5 D. sin 3 ? sin(?5) ? sin 5

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(每小题 6 分,共 30 分) 13.终边在坐标轴上的角的集合为_________. 14.时针走过 1 小时 50 分钟,则分钟转过的角度是______.

15. 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半,则这个扇形的圆心角是

________________.
16.已知角 ? 的终边经过点 P(-5,12),则 sin ? +2cos ? 的值为______. 17. 一个扇形的周长是 6 厘米,该扇形的中心角是 1 弧度,该扇形的面积是

________________.
三、解答题:本大题共 4 小题,共 60 分。解答应写出文字说明及演算步骤.。 18. 已 知 sin

?







5x 2 ? 7 x ? 6 ? 0









3 ? ? ?3 ? sin ? ?? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? tan 2 (2? ? ? ) 2 ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cot(? ? ? ) ?2 ? ?2 ?

的值.(14 分) 19.求函数 y=- cos2 x + 3 cos x + 函数有最大值和最小值。
5 的最大值及最小值,并写出 x 取何值时 4 (15 分)

20.已知函数 y= A sin(?x ? ? ) (A>0, ? >0, ? ?? )的最小正周期为
2? , 3

最小值为-2,图像过( 21.用图像解不等式。(16 分) ① sin x ?
1 2

5? ,0) ,求该函数的解析式。 9

(15 分)

② cos 2 x ?

3 2

参考答案

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1----6、BBDCBA 7----12、CCDCAB 二、填空题(每小题 6 分,共 30 分) n? , n ? Z? ? |? ? 13. ? 14. -660° 2

15. (? ? 2)rad

2 13 三、解答题(共 60 分) 18. (本小题 14 分)

16.

17. 2

解:由 sin ? 是方程 5x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 的根,可得 sin ? = ?
3 或 sin ? =2(舍) 5

-----------3 分

? sin(

原式=

3? 3? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? (? tan ? ) 2 2 2 sin ? ? (? sin ? ) ? (? cot ? )

=

cos? ? (? cos? ) ? tan2 ? sin ? ? (? sin ? ) ? (? cot? )
------------10 分

=-tan ?

3 由 sin ? = ? 可知 ? 是第三象限或者第四象限角。 5 3 3 所以 tan ? = 或 ? 4 4 3 即所求式子的值为 ? -------------14 分 4 19. (本小题 15 分)

解:令 t=cosx,

则 t ? [?1,1]
5 4

-------------2 分

所以函数解析式可化为: y ? ?t 2 ? 3t ? = ? (t ?

3 2 ) ?2 2

------------6 分

因为 t ? [?1,1] , 所以由二次函数的图像可知: 当t ?

? 11? 3 ,k ? Z 时, 函数有最大值为 2, 此时 x ? 2k? ? 或2k? ? 6 6 2
1 ? 3 ,此时 x ? 2k? ? ?,k ? Z 4 ------------15 分

当 t=-1 时,函数有最小值为 20.(本小题 15 分) 解:? 函数的最小正周期为

2? 2? 2? ? 即? ? 3 , ?T ? 3 ? 3

------------3 分 ------------5 分

又?函数的最小值为? 2 , ? A ? 2 所以函数解析式可写为 y ? 2 sin(3x ? ? )

又因为函数图像过点( 所以有: 2sin (3 ?

5? ? ?) ? 0 9 ? 2? ? ? ? ? ,? ? ? 或 ? 3 3

5? ,0) , 9

解得 ? ? k? ?

5? 3

---------9 分 ------------13 分

所以,函数解析式为: y ? 2 sin(3x ? 21.(每小题 8 分,共 16 分) (1) 、图略

?
3

)或y ? 2 sin(3x ?

2? ) 3

-------------15 分

------------3 分 ----------8 分

? 5? ? ? 由图可知:不等式的解集为 ?2k? ? ,2k? ? ,k ? Z 6 6 ? ? ?
(2) 、图略 -------------11 分

? 11 ?? ? 由图可知:不等式的解集为 ?k? ? , k? ? ,k ? Z 12 12 ? ? ?

---------16 分

《试卷编写说明》 本试卷三角函数的大框架下,主要借助正弦函数和余弦函数这两种模型,从 函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,特别是新学习内容-----周期性出发,以 这五个方面为主要内容而命制。 试卷中首先突出了弧度制的应用,函数状态下,弧度制的应用显然多于角度 制,所以对这一学生较难接受的新概念,要在应用中体现其重要性。其次,重基 础, 试卷加强了对知识形成过程的重视及拓宽。 优适当加强试题的灵活性。 第三, 对数形结合的数学思想试题也比较突出。第 21 题用单位圆可以做,用函数图像 也可以做。 第四, 体现了数学模型之间的互相转化。 反映出普遍联系的客观规律。

检测人:王艳 检测意见: 本次试卷考查的是三角函数章节知识,覆盖面非常广,知识点考查全面,难 易程度适中,适合中等学生做。


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