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2.1.2双曲线的几何性质教案


1.1.2 双曲线的几何性质
一、预习目标 理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能具体估计双曲 线的形状特征. 二、预习内容 1、双曲线的几何性质及初步运用.

类比椭圆的几何性质. 2.双曲线的渐近线方程的导出和论证. 观察以原点为中心,2a、2b 长为邻边的矩形的两条对角线,再论证这两条对角线即为双 曲线的渐

近线.
一、教学过程 (一)复习提问引入新课 1.椭圆有哪些几何性质,是如何探讨的? 请一同学回答.应为:范围、对称性、顶点、离心率,是从标准方程探讨的. 2.双曲线的两种标准方程是什么? 再请一同学回答.应为:中心在原点、焦点在 x 轴上的双曲线的标

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质. (二)类比联想得出性质(性质 1~3)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回

答,教师引导、启发) (三)问题之中导出渐近线(性质 4) 在学习椭圆时,以原点为中心,2a、2b 为邻边的矩形,对于估计

仍以原点为中心, 2b 为邻边作一矩形(板书图形), 2a、 那么双曲线和这个矩形有什么关系?

这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图 2-26)有什么指导意义?这些问题不要求学生回答, 只引起学生类比联想. 接着再提出问题:当 a、b 为已知时,这个矩形的两条对角线的方程是什么?

下面,我们来证明它: 双曲线在第一象限的部分可写成:

当 x 逐渐增大时,|MN|逐渐减小,x 无限增大,|MN|接近于零,|MQ|也接近于零,就是说,

双曲线在第一象限的部分从射线 ON 的下方逐渐接近于射线 ON.
在其他象限内也可以证明类似的情况.

现在来看看实轴在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的?由于焦点在 y 轴上的双曲线方 程是由焦点在 x 轴上的双曲线方程,将 x、y 字母对调所得到,自然前者渐近线方程也可由后者渐 近线方程将 x、y 字母对调而得,所以,双曲线的渐近线的方程是

这样,我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题,从而可比较精
[

再描几个点,就可以随后画出比较精确的双曲线. (四)离心率(性质 5) 由于正确认识了渐近线的概念,对于离心率的直观意义也就容易掌握了,为此,介绍一下双曲线的离 心率以及它对双曲线的形状的影响:

变得开阔,从而得出:双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔. 这时,教师指出:焦点在 y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出,双曲线的几何性质与坐

标系的选择无关,即不随坐标系的改变而改变. (五)练习与例题 1.求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
[来源: ]

请一学生演板,其他同学练习,教师巡视,练习毕予以订正.

由此可知,实半轴长 a=4,虚半轴长 b=3.

焦点坐标是(0,-5),(0,5).

本题实质上是双曲线的第二定义,要重点讲解并加以归纳小结.

解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合:

化简得:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

这就是双曲线的标准方程. 由此例不难归纳出双曲线的第二定义. (六)双曲线的第二定义 1.定义(由学生归纳给出) 平面内点 M 与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数 e=

叫做双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率. 2.说明

(七)小结(由学生课后完成) 将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结. 五、布置作业 1.已知双曲线方程如下,求它们的两个焦点、离心率 e 和渐近线方程. (1)16x2-9y2=144; (2)16x2-9y2=-144. 2.求双曲线的标准方程: (1)实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; (2)焦距是 10,虚轴长是 8,焦点在 y 轴上;

曲线的方程.

点到两准线及右焦点的距离.

六、板书设计


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