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2018届高三数学复习(专题2 函数概念及其基本性质)


2018 届高三数学复习 专题二 函数概念及其基本性质

1.(2014· 江西,2,易)函数 f(x)=ln(x2-x)的定义域为( A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 1.C

)

[考向 1]要使函数有意义,需满足 x2-x>0,解得 x<0 或 x>1,故选 C.

2.(2014· 江西,3,易)已知函数 f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若 f(g(1))=1,则 a=( )

A.1 B.2 C.3 D.-1 2.A [考向 2]由已知条件可知 f(g(1))=f(a-1)=5|a-1|=1, ∴|a-1|=0,得 a=1.故选 A.

1

3.(2012· 安徽,2,易)下列函数中,不满足 ...f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

)

C.f(x)=x+1 3.C

[考向 2]选项 A,f(2x)=|2x|=2|x|,2f(x)=2|x|,故 f(2x)=2f(x);

选项 B,f(2x)=2x-|2x|=2x-2|x|,2f(x)=2x-2|x|,故 f(2x)=2f(x); 选项 C,f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2,故 f(2x)≠2f(x); 选项 D,f(2x)=-2x,2f(x)=-2x,故 f(2x)=2f(x). ?3x-1, x<1, 4.(2015· 山东,10,中)设函数 f(x)=? x 则满足 f(f(a))=2f(a)的 a 的 ?2 , x≥1. 取值范围是( )

?2 ? A.?3,1? B.[0,1] ? ? ?2 ? C.?3,+∞? D.[1,+∞) ? ? 4.C [考向 3]令 f(a)=t,则由 f(f(a))=2f(a)得 f(t)=2t.

?3x-1,x<1, 由 f(x)=? x 可知 t≥1. ?2 ,x≥1 ?a<1, ?a≥1, ∴f(a)≥1?? 或? a ? ?3a-1≥1 ?2 ≥1 2 2 3≤a<1 或 a≥1?a≥3.故选 C.

?1,x>0, 5.(2015· 湖北,6,中)已知符号函数 sgn x=?0,x=0,f(x)是 R 上的增函数,g(x) ?-1,x<0.
=f(x)-f(ax)(a>1),则( A.sgn[g(x)]=sgn x B.sgn[g(x)]=-sgn x C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=-sgn[f(x)] 5.B [考向 3]①当 x<0 时, ∵a>1,∴x>ax,∴f(x)-f(ax)>0,∴sgn[g(x)]=1. ②当 x=0 时,x=ax,f(x)-f(ax)=0.∴sgn[g(x)]=0.
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)

③当 x>0 时,∵a>1,∴ax>x,∴f(x)-f(ax)<0.∴sgn[g(x)]=-1.

?-1,x>0, ∴sgn[g(x)]=?0,x=0, ?1,x<0.
∴sgn[g(x)]=-sgn x. 6.(2015· 湖北,10,难)设 x∈R,[x]表示不超过 x 的最大整数.若存在实数 t,使 得[t]=1,[t2]=2,?,[tn]=n 同时成立,则正整数 n 的最大值是( A.3 B.4 C.5 D.6 )

6.B [考向 2]由题可知: 当 n=1 时,1≤t<2. 当 n=2 时,2≤t2<3,即 2≤t< 3满足条件. 3 3 当 n=3 时,3≤t3<4,即 3≤t< 4满足条件. 4 4 当 n=4 时,4≤t4<5,即 4≤t< 5满足条件. 5 5 当 n=5 时,5≤t5<6,即 5≤t< 6, 3 5 而 3> 6.所以正整数 n 的最大值为 4. 2 ? ?x+ -3, x≥1, 7 . (2015· 浙江, 10 ,易 ) 已知函数 f(x) = ? x 则 f(f( - 3)) = 2 ? ?lg(x +1), x<1, ________,f(x)的最小值是________. 7.[考向 3]【解析】 ∵f(-3)=lg[(-3)2+1]=1, ∴f(f(-3))=f(1)=1+2-3=0. 2 当 x≥1 时,f(x)=x+ x-3≥2 2-3, 当 x<1 时,x2+1≥1, ∴lg(x2+1)≥0. 综上,f(x)min=2 2-3. 【答案】 0 2 2-3

8. (2015· 山东, 14, 中)已知函数 f(x)=ax+b(a>0, a≠1)的定义域和值域都是[-1,

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0],则 a+b=________. b=-2, -1 ? ? ?a +b=0, 8.[考向 2]【解析】 当 0<a<1 时,由已知得? 0 解得? 1 a= , ?a +b=-1, ? ? 2 3 ∴a+b=-2.
-1 ?a +b=-1, 当 a>1 时,? 0 解得 b=-1, ?a +b=0,

1 3 ∴a=0,无解.综上 a+b=-2. 3 【答案】 -2

求函数定义域主要有两种类型,一种是具体函数求定义域,即结合分式、根式及 对数式等考查自变量的取值;另一种是抽象函数定义域的求解,高考中常以选择 题形式出现,难度较低. 1(1)(2014· 山东,3)f(x)= 1 的定义域为( (log2x)2-1 )

1? ? A.?0,2? B.(2,+∞) ? ? 1? 1? ? ? C.?0,2?∪(2,+∞) D.?0,2?∪[2,+∞) ? ? ? ? (2)(2013· 大纲全国,4)已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义 域为( ) 1? ? B.?-1,-2? ? ? ?1 ? C.(-1,0) D.?2,1? ? ?

A.(-1,1) 【解析】

2 ?(log2x) -1>0,(*) (1)要使函数有意义,必须? ?x>0.

1 由(*)得(log2x)2>1,即 log2x>1 或 log2x<-1,解得 x>2 或 0<x<2. 1 (2)由已知得-1<2x+1<0,解得-1<x<-2,

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1? ? 所以函数 f(2x+1)的定义域为?-1,-2?. ? ? 【答案】 (1)C (2)B

(1)求定义域时对于解析式先不要化简; (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式. 1.(2012· 江西, 2) 下列函数中,与函数 y = ( ) sin x D.y= x 1 3 x 定义域相同的函数为

1 ln x A.y=sin x B.y= x C.y=xex 1.D 函数 y= 故选 D. 1

sin x 的定义域为{x|x≠0,x∈R},与函数 y= x 的定义域相同, 3 x

2.若典型例题 1(2)改为函数 f(x2-1)的定义域为[0,2],则函数 g(x)=f(2x)的定义 域为________. 2. 【解析】 ∵0≤x≤2,∴-1≤x2-1≤3, 从而函数 f(x)的定义域为[-1,3]. 1 3 由-1≤2x≤3,得-2≤x≤2, ? 1 3? 所以函数 f(2x)的定义域为?-2,2?. ? ? ? 1 3? 【答案】 ?-2,2?, ? ?

求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (1)已知函数的解析式:构建使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)抽象函数: ①若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 求 出. ②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值 域. (3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.
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高考中直接考查求函数解析式的题目很少,主要考查应用问题,备考时熟练掌握 换元法、 待定系数法求解析式, 高考中常以选择题或填空题形式出现, 难度不大. 2(1)(2014· 浙江,6)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 0<f(-1)=f(-2) =f(-3)≤3,则( )

A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9 )

(2)(2015· 浙江,7)存在函数 f(x)满足:对任意 x∈R 都有( A.f(sin 2x)=sin x C.f(x2+1)=|x+1| B.f(sin 2x)=x2+x D.f(x2+2x)=|x+1|

(3)(2013· 安徽,14)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时, f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0 时,f(x)=________. 【解析】 (1)由 f(-1)=f(-2)=f(-3)得,

?-1+a-b+c=-8+4a-2b+c, ?a=6, ? 解得? ∴ f(x) = x3 + 6x2 + 11x + c. 由 ?-1+a-b+c=-27+9a-3b+c, ?b=11, 0<f(-1)≤3,得 0<-1+6-11+c≤3,即 6<c≤9,故选 C. (2)方法一:∵f(x2+2x)=|x+1|, ∴f(x2+2x)= (x+1)2= x2+2x+1. ∴存在函数 f(x)= x+1,对任意 x∈R 都有 f(x2+2x)=|x+1|. π 方法二:对于 A,令 x=0,得 f(0)=0;令 x= 2 ,得 f(0)=1,这与函数的定义不 π π2 π 符,故 A 错.在 B 中,令 x=0,得 f(0)=0;令 x= 2 ,得 f(0)= 4 + 2 ,与函数 的定义不符,故 B 错.在 C 中,令 x=1,得 f(2)=2;令 x=-1,得 f(2)=0,与 函数的定义不符,故 C 错.在 D 中,变形为 f(|x+1|2-1)=|x+1|,令|x+1|2-1 =t,得 t≥-1,|x+1|= t+1,从而有 f(t)= t+1,显然这个函数关系在定义域 (-1,+∞)上是成立的,选 D. (3)∵-1≤x≤0,∴0≤x+1≤1,

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1 1 1 ∴f(x)=2f(x+1)=2(x+1)[1-(x+1)]=-2x(x+1). 【答案】 (1)C (2)D 1 (3)-2x(x+1),

题(2)中判断对应关系“f”是否是函数关键在于对于?x∈R 在 f 的作用下是否有唯一 的 y 与之对应.

求函数解析式的常见方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),根据函数类型设出 函数解析式,根据题设条件,列出方程组,解出待定系数即可. (2)换元法:已知 f(h(x))=g(x)求 f(x)时,往往可设 h(x)=t,从中解出 x,代入 g(x) 进行换元,求出 f(t)的解析式,再将 t 替换为 x 即可. (3)转化法:已知某区间上的解析式,求其他区间上的解析式,将待求变量转化到 已知区间上,利用函数满足的等量关系间接获得其解析式. ?1? (4)解方程组法:已知关于 f(x)与 f?x?(或 f(-x))的表达式,可根据已知条件再构造 ? ? 出另一个方程构成方程组求出 f(x).

分段函数作为考查函数知识的最佳载体,一直是高考命题的热点,试题常以选择 题、填空题形式出现,考查求值、解方程(零点)、解不等式、函数图象及函数性 质等问题.解题过程中常渗透分类讨论的数学思想. ?1+log2(2-x), 3(1)(2015· 课标Ⅱ,5)设函数 f(x)=? x-1 ?2 , x≥1, 2)+f(log212)=( A.3 B.6 C.9 ) D.12 x<1, 则 f(-

2 ?x +x,x<0, (2)(2014· 浙江, 15)设函数 f(x)=? 2 若 f(f(a))≤2,则实数 a 的取值范围 ?-x , x≥0.

是________. 【解析】 (1)∵log212>1,∴f(log212)=2log212-1=21+log23=2×3=6.
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∴原式=1+log24+6=9. ?f(a)<0, ?f(a)≥0, (2)由题意得? 2 或? 2 解得 f(a)≥-2. ?f (a)+f(a)≤2 ?-f (a)≤2, ?a<0, ?a≥0, 由? 2 或? 2 解得 a≤ 2. ?a +a≥-2 ?-a ≥-2, 【答案】 (1)C (2)(-∞, 2]

当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.
x ?2 +1,x<1, (2015· 山东临沂调研, 5)已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a, ?x +ax,x≥1,

则实数 a 等于( 1 4 A.2 B.5 C

)

C.2 D.9

∵0<1,∴f(0)=20+1=2.

∵f(0)=2≥1,∴f(f(0))=22+2a=4a, ∴a=2.故选 C.,

分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围) 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符 合相应段的自变量的取值范围.

1.(2016· 湖南三校联考,3)函数 f(x)= -x2+3x+4+lg(x-1)的定义域是( A.[-1,4] C.[1,4] B.(-1,4]

)

D.(1,4]

1.D [考向 1]由题意,得

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2 ?-x +3x+4≥0, ? 解得 1<x≤4. ?x-1>0,

x2+1,x≤1, ? ? 2.(2016· 福建厦门一模,4)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))=( , x >1 , ? ?x 1 2 A.5 B.3 C.3 13 D. 9

)

2 2.D [考向 3]∵f(3)=3<1, 13 ?2? 4 ∴f(f(3))=f?3?= +1= . 9 ? ? 9
2 ?1+x? x +1 1 ?= 2 + ,则 f(x)=( 3.(2016· 湖南衡阳联考,3)已知 f? x x ? x ?

)

A.(x+1)2 C.x2-x+1 3.C

B.(x-1)2 D.x2+x+1

2 x+1 ?1+x? x +1 1 ?x+1?2 x+1 2 ?= 2 + =? ? - [考向 2]f? + 1 ,令 x x ? x ? x x =t,则 f(t)=t -t ? x ?

+1,即 f(x)=x2-x+1. 4.(2015· 河北唐山统考,5)f(x)是 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x3+ln(1+x), 则当 x<0 时,f(x)=( )

A.-x3-ln(1-x) B.x3+ln(1-x) C.x3-ln(1-x) D.-x3+ln(1-x) 4.C [考向 2]当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x).

∵f(x)是 R 上的奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+ln(1-x)],∴f(x) =x3-ln(1-x). 5 . (2016· 广 东 广 州 一 模 , 8) 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [3 , 6] , 则 函 数 y = f(2x) 的定义域为( log1(2-x) 2 ?3 ? ?3 ? A.?2,+∞? B.?2,2? ? ? ? ? ?3 ? ?1 ? C.?2,+∞? D.?2,2? ? ? ? ? )

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5.B

[考向 1]要使函数 y=

3≤2x≤6, ? ? f(2x) 有意义,需满足? 1 1 log (2-x)>0 ? log2(2-x) ? 2

3 ? ? ≤x≤3, 3 ??2 ?2≤x<2.故选 B. ? ?0<2-x<1
3 ?x ,x≤0, 6 . (2016· 陕西西安一中一模, 10) 已知函数 f(x) = ? 若 f(2 - ?ln(x+1),x>0,

x2)>f(x),则实数 x 的取值范围是(

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-1,-2) D.(-2,1) 6.D [考向 3]∵当 x=0 时,两个表达式对应的函数值都为零, ∴函数的图象是一条连续的曲线. ∵当 x≤0 时,函数 f(x)=x3 为增函数,当 x>0 时,f(x)=ln(x+1)也是增函数, ∴函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. 因此,不等式 f(2-x2)>f(x)等价于 2-x2>x,即 x2+x-2<0,解得-2<x<1,故选 D.
2 ?x +2x,x<0, 7.(2015· 湖北武汉质检,6)已知函数 f(x)=? 2 若 f(-a)+f(a)≤0,则 ?x -2x,x≥0.

a 的取值范围是( A.[-1,1] C.[0,2]

)

B.[-2,0]

D.[-2,2]

7.D [考向 3]依题意可得 ?a≥0, ? 2 2 ?a -2a+(-a) +2(-a)≤0 ?a<0, 或? 2 2 ?(-a) -2(-a)+a +2a≤0, 解得 a∈[-2,2],故选 D. 1? ? ?1 ? 8 . (2015· 安 徽 合 肥 二 模 , 7) 设 集 合 A = ?0,2? , B = ?2,1? , 函 数 f(x) = ? ? ? ?

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1 ? ?x+ ,x∈A, ? 2 若 x0∈A,且 f(f(x0))∈A,则 x0 的取值范围是( ? ?2(1-x),x∈B. 1? ? A.?0,4? ? ? 3? ? D.?0,8? ? ? 1 8.C [考向 3]因为 x0∈A,即 0≤x0<2, 1 1 1 所以 f(x0)=x0+2,2≤x0+2<1, 1 即2≤f(x0)<1,即 f(x0)∈B, 所以 f(f(x0))=2[1-f(x0)]=1-2x0. 因为 f(f(x0))∈A, 1 所以 0≤1-2x0<2, 1 1 1 解得4<x0≤2.又因为 0≤x0<2, 1 1 所以4<x0<2,故选 C. ?1 1? B.?4,2? ? ? ?1 1? C.?4,2? ? ?

)

思路点拨: 解答本题关键是要分清 x0∈A 时, f(x0)的取值范围, 以决定如何求 f(f(x0)) 的值. ?1? 9 .(2016· 浙江慈溪、余姚联考, 10)若函数 f(x)满足 2f(x)+ f ?x? = 3x,则 f(x)= ? ? ________. 1 3 ?1? ?1? 9.[考向 2] 【解析】 用x替换 2f(x)+f?x?=3x 中的 x,得到 2f?x?+f(x)= x,两 ? ? ? ? 1 ?1? 个方程联立消去 f? x?,得 f(x)=2x- x. ? ? 1 【答案】 2x-x

?1,x>0, 10.(2016· 湖北武昌调考,14)新定义函数 sgn x=?0,x=0, 则不等式 ?-1,x<0,
(x+1)sgn x>2 的解集是________. 10.[考向 3] 【解析】 ①当 x>0 时,

sgn x=1,不等式的解集为{x|x>1}; ②当 x=0 时,sgn x=0,不等式无解;

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③当 x<0 时,sgn x=-1,不等式的解集为{x|x<-3}, 所以不等式(x+1)sgn x>2 的解集为{x|x<-3 或 x>1}. 【答案】 {x|x<-3 或 x>1}

1.(2014· 北京,2,易)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y= x+1 C.y=2-x B.y=(x-1)2

)

D.y=log0.5(x+1)

1. A [考向 1]对于 A, 函数 y= x+1在[-1, +∞)上为增函数, 所以函数在(0, +∞)上为增函数,故符合;对于 B,函数 y=(x-1)2 在(-∞,1)上为减函数,在 ?1?x [1,+∞)上为增函数,故不符合;对于 C,函数 y=2-x=?2? 在 R 上为减函数, ? ? 故不符合;对于 D,函数 y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上为减函数,故不符合. 2.(2014· 陕西,7,易)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)· f(y)”的单调递增函数是 ( ) B.f(x)=x3

1 A.f(x)=x2

?1?x C.f(x)=?2? D.f(x)=3x ? ? 2.D [考向 1]∵f(x+y)=f(x)f(y), ∴f(x)为指数函数模型,排除 A,B. 又∵f(x)为单调递增函数,∴排除 C,故选 D. 3.(2012· 广东,4,易)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 )

1 ?1?x C.y=?2? D.y=x+ x ? ? 3.A [考向 1](逐项验证法)函数 y=ln(x+2)在(-2,+∞)上是增函数;函数

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?1?x y=- x+1在[-1,+∞)上是减函数;函数 y=?2? 在(0,+∞)上是减函数;函 ? ? 1 数 y=x+ x在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.综上可得,在(0,+∞) 上是增函数的是 y=ln(x+2),故选 A. 4.(2012· 陕西,2,易)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y=x B.y=-x3 )

D.y=x|x|

4.D [考向 1](逐项验证法)对于 A,注意到函数 y=x+1 不是奇函数;对于 B, 1 注意到函数 y=-x3 是在 R 上的减函数;对于 C,注意到函数 y=x 在其定义域上 不是增函数; 对于 D, 注意到-x· |-x|+x|x|=0, 即函数 y=x|x|是奇函数, 且当 x≥0 时,y=x|x|=x2 是增函数,因此函数 y=x|x|既是奇函数又是 R 上的增函数,故选 D.
x ?2 -a,x<1, 5.(2015· 北京,14,中)设函数 f(x)=? ?4(x-a)(x-2a),x≥1.

(1)若 a=1,则 f(x)的最小值为________; (2)若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是________. 5.[考向 2]【解析】 (1)若 a=1,
x ?2 -1,x<1, f(x)=? ?4(x-1)(x-2),x≥1.

当 x<1 时,-1<2x-1<1.当 x≥1 时, ? 3?2 1? 4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=4?? ?x-2? - ?≥-1, 4? ? ?? ∴f(x)min=-1. (2)若 a≤0,y=f(x)无零点;若 a>0,x≥1,f(x)=0 时,x1=a,x2=2a,要使函数 f(x)有 2 个零点,只需

?2 -a>0, ?21-a≤0, ?a<1, 或? ?a≥1, ?2a≥1
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1

1 即2≤a<1 或 a≥2. 【答案】 (1)-1 ?1 ? (2)?2,1?∪[2,+∞) ? ?

6.(2012· 上海,7,中)已知函数 f(x)=e|x--a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上 是增函数,则 a 的取值范围是________. 6.[考向 3]【解析】 方法一:∵f(x)=e ∴f(x)在[a,+∞)上为增函数, 则[1,+∞)?[a,+∞),∴a≤1. 方法二:∵f(x)=e
|x-a| x-a ?e (x≥a), =? -x+a (x<a), ?e |x-a| x-a ?e (x≥a), =? -x+a (x<a), ?e

当 x≥a 时,f(x)=ex-a,f′(x)=ex-a. 由题意知 f′(x)=ex-a≥0 在[1,+∞)上是恒成立的, ∴a≤xmin,∴a≤1. 当 x<a 时,f′(x)=-ex-a<0 恒成立,不符合题意. 综上所述,a≤1. 【答案】 (-∞,1] 7.(2016· 浙江,16,15 分,中)已知 a≥3,函数 F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a ?p,p≤q, -2},其中 min{p,q}=? ?q,p>q. (1)求使得等式 F(x)=x2-2ax+4a-2 成立的 x 的取值范围; (2)①求 F(x)的最小值 m(a); ②求 F(x)在区间[0,6]上的最大值 M(a). 7.[考向 2]解:(1)由于 a≥3,故 当 x≤1 时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0, 当 x>1 时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a). 所以使得等式 F(x)=x2-2ax+4a-2 成立的 x 的取值范围为[2,2a]. (2)①设函数 f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2, (3)则 f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2, 所以由 F(x)的定义知 m(a)=min|f(1),g(a)|,即
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?0, 3≤a≤2+ 2, m(a)=? 2 ?-a +4a-2,a>2+ 2. ②当 0≤x≤2 时, F(x)≤f(x)≤max|f(0),f(2)|=2=F(2), 当 2≤x≤6 时,F(x)≤g(x)≤max|g(2),g(6)|=max|2,34-8a|=max|F(2),F(6)|. ?34-8a,3≤a<4, 所以 M(a)=? a≥4. ?2,

对于高考中函数的单调性是重点考查内容.备考时要熟记基本初等函数的图象和 性质. 往往以选择题、 填空题形式出现, 难度中等, 解答题部分一般与导数结合, 考查难度较大. 1(1)(2015· 湖南,5)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 1 (2)(2014· 天津,4)函数 f(x)=log2(x2-4)的单调递增区间为( A.(0,+∞) B.(-∞,0) ) )

C.(2,+∞) D.(-∞,-2) 【解析】 (1)方法一:定义域:x∈(-1,1).

∵f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. 又∵f′(x)= 1-x+(1+x) 1 1 2 + = = ,x∈(-1,1), 2 1+x 1-x 1-x 1-x2

∴f′(x)在定义域内恒大于 0,∴f(x)在(0,1)上是增函数. 方法二:奇偶性同方法一, ?1+x? ? 2 ? ?=ln?1-x-1?. f(x)=ln? 1 - x ? ? ? ?
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∵t=

2 -1 在(-1,1)上单调递增,y=ln t 在(0,+∞)上单调递增, 1-x

∴y=f(x)在(-1,1)上单调递增,即 f(x)在(0,1)上是增函数. 1 (2)因为 y=log2t 在定义域上是减函数,所以求原函数的单调增区间,即求函数 y =x2-4 的单调减区间, 结合函数的定义域 x2-4>0, 可知所求区间为(-∞, -2). 【答案】 (1)A (2)D (2015· 河南洛阳二模, 6)函数 y=f(x)(x∈R)的图 象如图所示,则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调减区间是 ( ) B.[ a,1] D.[ a, a+1] 1? ? A.?0,2? ? ?

?1 ? C.(-∞,0)∪?2,+∞? ? ?

?1 ? B 由图象可知,函数 y=f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和?2,+∞?,单调递增 ? ? 1? ? 区间为?0,2?. ? ? 1 ∵0<a<1,∴函数 y=logax 在定义域内单调递减.由题意可知,0≤logax≤2,解 得 a≤x≤1,即所求递减区间为[ a,1],故选 B.,

判断函数单调性(单调区间)的常用方法 (1)定义法:先求定义域,再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论. (2)图象法: 若函数是以图象形式给出的, 或者函数的图象可作出, 可由图象的升、 降判断它的单调性或写出单调区间. (3)复合函数法:适用于形如 y=f(φ (x))的复合函数,具体规则如下表: 函数 内函数 t=φ(x) 外函数 y=f(t) y=f(φ(x)) 增 增 增 增减情况 增 减 减 减 增 减 减 减 增

y=f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断,即内外函数的单调性 相同时,为增函数;单调性不同时为减函数. (4)导数法: 先求导, 再确定导数值的正负, 由导数的正负得函数的单调性(区间).
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(5)性质法:利用函数单调性的有关结论,确定简单的初等函数的单调性.

确定函数的值域或最值一般先探求函数在定义域内的单调性,通常出现在选择题 或填空题中,函数求值域问题涉及到的函数是基本初等函数,或由基本初等函数 经过变换得到.在备考时熟练掌握几个常见函数模型的图象与性质,如 y= ax+b cx+d

a (c≠0)或 y=x+ (a≠0).此外,在解答题中常与恒成立、有解问题综合考查,属 x 于中高档题. 2(1)(2014· 安徽,9)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 ) B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8

?-x+6,x≤2, (2)(2015· 福建,14)若函数 f(x)=? (a>0,且 a≠1)的值域是 ?3+logax,x>2 [4,+∞),则实数 a 的取值范围是________.

【解析】

? ?-x-a+1,-1<x<-a a 2, (1)①当-1≤-2,即 a≤2 时,f(x)=? a ? ?3x+a+1,x≥-2.
-3x-a-1,x≤-1, a

a a 易知函数 f(x)在 x=-2处取最小值,即 1-2=3.所以 a=-4. -3x-a-1,x≤-2, ? ? a a ②当-1>-2,即 a>2 时,f(x)=? x+a-1,- <x<-1, 2 ? ?3x+a+1,x≥-1. a a 易知函数 f(x)在 x=-2处取最小值,即2-1=3,故 a=8. 综上可得 a=-4 或 a=8. ?-x+6,x≤2, (2)因为函数 f(x)=-x+6(x≤2)的值域为[4, +∞), 而 f(x)=? (a>0, ?3+logax,x>2

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且 a≠1)的值域为[4,+∞),所以函数 f(x)=3+logax(x>2)的值域应为集合 [4,+∞)的子集. 当 a>1 时,y=logax+3 在(2,+∞)上单调递增,所以只需 loga2+3≥4,即 loga2 ≥1=logaa,1<a≤2.当 0<a<1 时,x→+∞时,y=logax+3→-∞,所以不符合题 意.综上,1<a≤2. 【答案】 (1)D (2)(1,2] (2015· 福建福州一模,6)如果函数 f(x)对任意的实数 x,都有 f(1+x) 1 =f(-x),且当 x≥2时,f(x)=log2(3x-1),那么函数 f(x)在[-2,0]上的最大值与 最小值之和为( A.2 B.3 C ) C.4 D.-1

1 根据 f(1+x)=f(-x),可知函数 f(x)的图象关于直线 x=2对称.又函数 f(x)在

1? ?1 ? ? ?2,+∞?上单调递增,故 f(x)在?-∞,2?上单调递减,则函数 f(x)在[-2,0]上的 ? ? ? ? 最大值与最小值之和为 f(-2)+f(0)=f(1+2)+f(1+0)=f(3)+f(1)=log28+log22 =4.,

常见求函数值域的方法 (1)配方法:对形如 y=ax2+bx+c(a≠0)形式的函数,配方转化为顶点式,利用二 次函数值域的求法求解. (2)单调性法(图象法):若 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(x)min=f(a),f(x)max=f(b); 若 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(x)min=f(b),f(x)max=f(a). a (3)对于形如 y=x+ x (a>0)的函数,利用基本不等式:a+b≥2 ab(a>0,b>0)求最 值. (4)导数法.

函数单调性的应用常以基本初等函数为载体,考查学生数形结合思想、转化与化 归思想的应用,综合分析问题的能力.在高考中常以选择题、填空题出现,难度 中等.
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3(1)(2015· 天津,7)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x-m|-1(m 为实数)为 偶函数,记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c C.c<a<b B.a<c<b D.c<b<a )

(2)(2013· 安徽, 4)“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0, +∞)内单调递增” 的( ) B.必要不充分条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(3)(2014· 课标Ⅱ,15)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2) =0.若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围是________. 【解析】 (1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴m=0,

∴f(x)=2|x|-1.图象如图, 由函数的图象可知,函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. ∵a=f(log0.53)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),又 log25>log23>0,∴b>a>c, 故选 C. (2)充分性: 当 a<0 时, x>0, 则 f(x)=|(ax-1)x|=-ax2+x 为开口向上的二次函数, 1 且对称轴为 x=2a<0,故在区间(0,+∞)上为增函数;当 a=0 时,f(x)=x 在区 间(0,+∞)上为增函数. 1 ?1? 必要性:当 a≠0 时,f?a?=0,f(0)=0,由 f(x)在(0,+∞)上为增函数知,a<0, ? ? 即 a<0; 当 a=0 时,f(x)=x 在区间(0,+∞)上为增函数,故 a≤0. 综上, “a≤0”为“f(x)在(0,+∞)上为增函数”的充分必要条件. (3)由题知,f(2)=0 且 f(x-1)>0,故 f(x-1)>f(2),而函数 f(x)在[0,+∞)上单调 递减且为偶函数,故满足|x-1|<2,解得-1<x<3. 【答案】 (1)C (2)C (3)(-1,3),

比较函数值大小的思路 比较函数值的大小时, 若自变量的值不在同一个单调区间内, 要利用其函数性质, 转化到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图
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象法求解.

含“f”号不等式的解法 首先根据函数的性质把不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))的形式,然后根据函数的单调 性去掉“f”号,转化为具体的不等式(组),此时要注意 g(x)与 h(x)的取值应在外层 函数的定义域内.

利用函数的单调性求参数的取值范围 已知函数在区间 A 上是增函数,求相关参数的取值范围,若函数是复合函数的形 式,此类问题应理解为区间 A 是函数增区间的子集,根据复合函数“同增异减” 的单调性结论来解决.若函数的导数可求,则可用函数的导数恒大于或等于 0 来 解决.如 f(x)在区间 A 上为增函数,求参数 a 的范围,则转化为:f′(x)≥0 在 A 上恒成立且 f′(x)=0 在 A 的任意子区间不恒成立,若求得 a≥2,则需检验 a=2 时是否符合题意.

1.(2016· 河南郑州一模,2)下列函数中是偶函数并且在(0,+∞)内单调递增的是 ( ) B.y=cos x+1 D.y=2x

A.y=-(x-1)2 C.y=lg|x|+2 1.C 条件;

[考向 1]对于 A,y=-(x-1)2 的对称轴为 x=1,为非奇非偶函数,不满足

对于 B,y=cos x+1 是偶函数,但在(0,+∞)内不是单调函数,不满足条件; 对于 C,y=lg|x|+2 为偶函数,在(0,+∞)内单调递增,满足条件; 对于 D,y=2x 在(0,+∞)内单调递增,为非奇非偶函数,不满足条件. ?(1-2a)x+3a,x<1, 2.(2015· 河北保定三模,6)已知 f(x)=? 的值域为 R,那 ?ln x,x≥1 么 a 的取值范围是( A.(-∞,-1] )

1? ? B.?-1,2? ? ?
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1? ? C.?-1,2? ? ? 2.C

1? ? D.?0,2? ? ?

?1-2a>0, [考向 2]要使函数 f(x)的值域为 R,只需? ?ln 1≤1-2a+3a,

1 ? ?a< , 1 ∴? 2 ∴-1≤a<2,故选 C. ? ?a≥-1, 3.(2015· 湖南株洲一模,7)定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a ⊕b=b2,则函数 f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( A.-1 B.1 C.6 3.C D.12 )

[考向 2]由已知得当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2;

当 1<x≤2 时,f(x)=x3-2. ∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2 在定义域内都为增函数. ∴f(x)的最大值为 f(2)=23-2=6. 4.(2016· 黑龙江哈尔滨联考,8)已知函数 f(x)的图象向右平移 a(a>0)个单位后关 ? 1? 于直线 x=a+1 对称, 当 x2>x1>1 时, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立, 设 a=f?-2?, ? ? b=f(2),c=f(e),则 a,b,c 的大小关系为( A.c>a>b C.a>c>b B.c>b>a D.b>a>c )

4. D [考向 3]由函数 f(x)的图象向右平移 a(a>0)个单位后关于直线 x=a+1 对称, ? 1? ?5? 知 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.由此可得 f?-2?=f?2?.由 x2>x1>1 时,[f(x2)- ? ? ? ? f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,知 f(x)在(1,+∞)上单调递减. 5 ∵1<2<2<e, ?5? ∴f(2)>f?2?>f(e), ? ? ∴b>a>c,故选 D. 5.(2016· 江西八校联考,10)定义在 R 上的函数 f(x)对任意 x1 ,x2(x1≠x2)都有 f(x1)-f(x2) <0,且函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,若 s,t 满 x1-x2

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足不等式 f(s2-2s)≤-f(2t-t2).则当 1≤s≤4 时, 1? 1? ? ? A.?-3,-2? B.?-3,-2? ? ? ? ? 1? 1? ? ? C.?-5,-2? D.?-5,-2? ? ? ? ?

t-2s 的取值范围是( s+t

)

5.D [考向 3]∵函数 f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称, ∴f(x)的图象关于点(0,0)中心对称, ∴f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x), ∴f(s2-2s)≤-f(2t-t2)?f(s2-2s)≤f(t2-2t), 又由题意知 f(x)为 R 上的减函数, ∴s2-2s≥t2-2t, ∴(s-t)(s+t-2)≥0,∴s≥t 且 s+t≥2,或 s≤t 且 s+t≤2.

?1≤s≤4, ?s=1, ①不等式组?s≤t, 的解只有? ?t=1, ?s+t≤2
t-2s 1 此时 =-2. s+t

?1≤s≤4, t-2s t+s-3s 3 ②∵ = =1- 不等式组?s≥t, 表示的可行域如图中阴影部 t, s+t s+t 1+s ?s+t≥2
分所示,

t ? 1 ? 由图可知s∈?-2,1?, ? ?

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t-2s 1? 3 ? 从而 =1- ∈?-5,-2?, t ? ? s+t 1+s ∴ t-2s ? 1? ∈?-5,-2?. ? s+t ?

6.(2016· 吉林长春质检,15)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上单调递 增,且 f(1)=0,则不等式 f(x-2)≥0 的解集是________. 6.[考向 3]【解析】 由已知可得 x-2≥1 或 x-2≤-1,解得 x≥3 或 x≤1, ∴所求解集是(-∞,1]∪[3,+∞). 【答案】 (-∞,1]∪[3,+∞)

1. (2016· 山东, 9, 中)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时, f(x)=x3-1; 当-1≤x≤1 1 ? 1? ? 1? 时,f(-x)=-f(x);当 x>2时,f?x+2?=f?x-2?,则 f(6)=( ? ? ? ? A.-2 B.-1 )

C.0 D.2 1 ? 1 1? ? 1 1? 1.D [考向 2]由题意得,当 x>2时,f(x+1)=f?x+2+2?=f?x+2-2?=f(x),所 ? ? ? ? 1 以当 x>2时,f(x)的周期为 1,所以 f(6)=f(1).又 f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1] =2,所以 f(6)=2,故选 D. x+1 2. (2016· 课标Ⅱ, 12, 难)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=2-f(x), 若函数 y= x 与 y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),?,(xm,ym),则∑ (xi+yi)=( i=1 A.0 B.m C.2m D.4m x+1 2.B [考向 3]由于 y= x 及 f(x)的图象都关于(0,1)对称,故它们的交点成对 m m 出现,其横坐标之和为 0,纵坐标之和为 2,这样的交点共有 2 对,故∑ (xi+yi) i=1 =m. 3.(2015· 广东,3,易)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
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m

)

1 A.y= 1+x2 B.y=x+ x 1 C.y=2x+2x D.y=x+ex

1 3.D [考向 1]A 中函数 y= 1+x2为偶函数;B 中 f(-x)=-x- x =-f(x),故为 奇函数;C 中 f(-x)=2-x+
x

1 1 - x -x= x+2 =f(x),故为偶函数;D 中 f(-x)=-x+e 2 2

,为非奇非偶函数,故选 D.

4.(2014· 课标Ⅰ,3,易)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x) 是偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 4.C )

B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

[考向 1]若 f(x)为奇函数,则|f(x)|为偶函数;若 g(x)为偶函数,则|g(x)|为偶

函数,且两函数相乘奇偶性“同偶异奇”,对照选项可知 C 正确. 1 5.(2013· 山东,3,易)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ x,则 f(- 1)=( ) D.2

A.-2 B.0 C.1

5.A [考向 1]因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(-1)=-f(1)=-2.故选 A. ?1,x为有理数, 6.(2012· 福建,7,中)设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是( ?0,x为无理数, A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数 C.D(x)不是周期函数 6.C D.D(x)不是单调函数 )

[考向 3]A 显然正确.

?1,x为有理数, D(x)=? ?0,x为无理数, 当 x∈Q 时,-x∈Q,而 D(x)=D(-x)=1;当 x 为无理数时,-x 也为无理数, 此时 D(x)=D(-x)=0, ∴对任意的 x∈R,D(x)=D(-x), ∴D(x)是偶函数, ∴B 正确.不妨设 a∈Q 且 a≠0, 当 x 为有理数时,D(x+a)=D(x)=1,
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当 x 为无理数时,D(x+a)=D(x)=0, ∴D(x)为周期函数,∴C 不正确. ∵x1=1,D(1)=1,x2=2,D(2)=1, ∴D(x1)=D(x2), ∴D(x)在定义域上不单调,故 D 正确, ∴选 C. 7.(2016· 天津,13,中)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上 单调递增.若实数 a 满足 f(2|a-1|)>f(- 2),则 a 的取值范围是________. 7.[考向 3]【解析】 由 f(x)是偶函数且 f(x)在(-∞,0)上单调递增,得 f(x)在(0, +∞)上单调递减. 又 f(2|a-1|)>f(- 2), f(- 2)=f( 2), ∴f(2|a-1|)>f( 2), 1 ∴2|a-1|< 2,即|a-1|<2, 1 3 ∴2<a<2. 1 3 【答案】 2<a<2 8.(2012· 上海,9,易)已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________.

8.[考向 1]【解析】 由已知 y=f(x)+x2 是奇函数,f(1)=1,得 f(1)+12+f(-1) +(-1)2=0,f(-1)=-3,所以 g(-1)=f(-1)+2=-1. 【答案】 -1

函数的奇偶性常与函数单调性相结合,解决求值、求参数问题,也与函数的周期 性、 图象对称性在同一个题目中出现, 常以选择题或填空题形式出现, 难度不大,
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属于中低档题. 1(1)(2015· 安徽,2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=cos x B.y=sin x )

C.y=ln x D.y=x2+1 (2)(2014· 湖南,3)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)- g(x)=x3+x2+1,则 f(1)+g(1)=( A.-3 B.-1 )

C.1 D.3 (3)(2015· 课标Ⅰ,13)若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a=______. 【解析】 (1)由选项可知,A,D 为偶函数,但 D 中函数无零点.

(2)令 x=-1 得,f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1. ∵f(x),g(x)分别是偶函数和奇函数, ∴f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1), 即 f(1)+g(1)=1. (3)由于 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), 即-xln(-x+ a+x2)=xln(x+ a+x2), 即 xln(x+ a+x2)+xln(-x+ a+x2)=0, ∴xln a=0. 又∵x 不恒为 0, ∴ln a=0,a=1. 【答案】 (1)A (2)C (3)1

(2013· 四川,14)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)= x2-4x,那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 【解析】 当 x≥0 时,由 f(x)=x2-4x<5,解得 0≤x<5.因为 f(x)是定义域为 R 的 偶函数,所以 f(x)<5 的解集为-5<x<5.所以 f(x+2)<5 的解集即是-5<x+2<5,即 -7<x<3. 【答案】 (-7,3),

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判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 首先确定函数的定义域,若定义域关于原点对称,则确定 f(x)与 f(-x)的关系,进 而得出函数的奇偶性;否则该函数既不是奇函数也不是偶函数. (2)图象法 观察 f(x)的图象,若关于原点对称,则 f(x)为奇函数,若关于 y 轴对称,则 f(x)为 偶函数.

应用奇偶性可解决的问题及方法 (1)求函数值:利用奇偶性转化到已知区间上求解. (2)求解析式:步骤:①求谁设谁;②转化到已知解析式的区间;③利用已知区间 解析式求出 f(-x);④利用奇偶性求出 f(x). (3)求解析式中参数的值: 利用待定系数法求解, 由 f(x)± f(-x)=0 得出关于参数的 恒等式,进而求解.

函数的周期性常与函数的奇偶性、图象的对称性结合,考查函数求值等问题,难 度中等,一般以选择题、填空题的形式出现. 2(1)(2012· 山东,8)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x <-1 时, f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3 时, f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012) =( )

A.335 B.338 C.1 678 D.2 012 (2)(2014· 四川,12)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x)
2 ?-4x +2,-1≤x<0, ?3? =? 则 f?2?=________. ? ? ?x,0≤x<1,

【解析】 (1)由 f(x+6)=f(x)可知, 函数 f(x)的周期为 6, 所以 f(-3)=f(3)=-1, f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个 周期内有 f(1)+f(2)+?+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以 f(1)+f(2)+?+f(2 012)=f(1)+f(2)+335×1=1+2+335=338.
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? 1? ? 1?2 (2)由已知易得 f?-2?=-4×?-2? +2=1,又由函数的周期为 2, ? ? ? ? ?3? ? 1? 可得 f?2?=f?-2?=1. ? ? ? ? 【答案】 (1)B (2)1,

函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数, 且周期 为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与 奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时, 要注意结论:若 T 是函数的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期.

函数的奇偶性、周期性及单调性,在高考中常将它们综合在一起命题,奇偶性多 与单调性结合,周期性多与抽象函数结合,并结合奇偶性求函数值,难度中等, 一般以选择题、填空题的形式出现. 3(1)(2014· 大纲全国, 12)奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数, 且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=( A.-2 B.-1 )

C.0 D.1

(x+1)2+sin x (2)(2012· 课标全国, 16)设函数 f(x)= 的最大值为 M, 最小值为 m, x2+1 则 M+m=________. 【解析】 (1)由 f(x+2)是偶函数可得 f(-x+2)=f(x+2),又由 f(x)是奇函数得

f(-x+2)=-f(x-2),所以 f(x+2)=-f(x-2),f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故 f(x)是以 8 为周期的周期函数, 所以 f(9)=f(8+1)=f(1)=1, 又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,所以 f(8)=f(0)=0,故 f(8)+f(9)=1. (x+1)2+sin x 2x+sin x (2)显然其定义域为全体实数,f(x)= =1+ 2 , 2 x +1 x +1

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设 g(x)=

2x+sin x ,∵g(-x)=-g(x), x2+1

∴g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知 g(x)max+g(x)min=0,∴M+m=[g(x) +1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2. 【答案】 (1)D (2)2,

函数性质综合应用的注意点 函数的周期性常通过奇偶性得到,奇偶性体现的是一种对称关系.而函数的单调 性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时,往往需要借助函 数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单 调性解决相关问题.

1.(2016· 山东潍坊联考,4)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则下列结论中一 定正确的是( )

A.函数 f(x2)+x2 是奇函数 B.函数[f(x)]2+|x|不是偶函数 C.函数 x2f(x)是奇函数 D.函数 f(x)+x3 不是奇函数 1. C [考向 1]易知选项中函数的定义域都是 R, 关于原点对称. 对于 A, f((-x)2)

+(-x)2=f(x2)+x2,函数 f(x2)+x2 为偶函数,故 A 错;对于 B,[f(-x)]2+|-x| =[f(x)]2+|x|, 函数[f(x)]2+|x|为偶函数, 故 B 错; 对于 C, (-x)2· f(-x)=-x2f(x), 函数 x2f(x)是奇函数,故 C 正确;对于 D,f(-x)+(-x)3=-f(x)-x3,函数 f(x) +x3 是奇函数,故 D 错. 2.(2016· 甘肃兰州一模,12)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0, +∞)上单调递增, 若实数 a 满足 f(log2a)+f(log1a)≤2f(1), 则 a 的取值范围是( ) 2 ?1 ? ?1 ? A.?2,+∞? B.?2,2? ? ? ? ? ?1 ? C.?2,2? D.(0,2] ? ? 2 . C [ 考向 3] 因为 f(log 1 a) = f( - log2a) = f(log2a) ,所以原不等式可化为 2
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1 f(log2a)≤f(1). 又 f(x)在区间[0, +∞)上单调递增, 所以|log2a|≤1,解得2≤a≤2, 故选 C. 3.(2016· 广东东莞一模,6)已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在 (-∞,0]上是增函数,设 a=f(log47),b=f(log13),c=f(21.8),则 a,b,c 的大小 2 关系是( A.c<a<b C.b<c<a ) B.c<b<a D.a<b<c

3.B [考向 3]∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数, ∴b=f(log13)=f(-log23)=f(log23), 2 ∵21.8>2>log23=log49>log47, ∴log47<log49<21.8, ∵f(x)在(-∞,0]上是增函数, ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数, 则 f(log47)>f(log49)>f(21.8), 即 c<b<a. 4.(2015· 湖北名校联考,7)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(x ?1?x -2)=f(x+2),且当 x∈[-2,0]时,f(x)=?2? -1.若在区间(-2,6]内关于 x 的 ? ? 方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是( A.(1,2) 3 3 B.(2,+∞) C.(1, 4) D.( 4,2) )

4.D [考向 3]∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,∴f(x)的图象关于 y 轴对称. ∵对?x∈R,都有 f(x-2)=f(x+2), ∴f(x)是周期函数,且周期为 4. ?1?x ∵当 x∈[-2,0]时,f(x)=?2? -1, ? ? ∴f(x)在区间(-2,6]内的图象如图所示,

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∴在区间(-2, 6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实数根 可转化为函数 f(x)的图象与 y=loga(x+2)的图象有且只有三个不同的交点, ?loga(2+2)<3, 则? ?loga(6+2)>3, 解得 3 4<a<2,故选 D.

5.(2016· 河北石家庄模拟,15)若函数 f(x)=2x+sin x 对任意的 m∈[-2,2],有 f(mx-3)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范围是________. 5.[考向 1]【解析】 易知 f(x)是 R 上的奇函数,由 f′(x)=2+cos x>0,知 f(x)为 增函数, ∵f(mx-3)+f(x)<0 可变形为 f(mx-3)<f(-x), ∴mx-3<-x,∴mx-3+x<0. 设 g(m)=xm-3+x, 由题意知当 m∈[-2,2]时,g(m)<0 恒成立, 则当 x≥0 时,g(2)<0,即 2x-3+x<0, 则 0≤x<1; 当 x<0 时,g(-2)<0, 即-2x-3+x<0,则-3<x<0. ∴所求 x 的取值范围是(-3,1). 【答案】 (-3,1) 6.(2016· 山东济南二模,13)已知定义在 R 上的函数 f(x),对任意实数 x 有 f(x+ 4)=-f(x)+2 2,若函数 f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,f(1)=2,则 f(2 015) =________. 6.[考向 2]【解析】 由函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称可知,函数 f(x) 的图象关于 y 轴对称,故 f(x)为偶函数.
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由 f(x+4)=-f(x)+2 2, 得 f(x+4+4)=-f(x+4)+2 2=f(x), ∴f(x)是周期 T=8 的偶函数, ∴f(2 015)=f(7+251×8)=f(7)=f(8-1)=f(-1)=f(1)=2. 【答案】 2 ?3 ? 7.(2016· 山西太原三模,16)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f?2-x?=f(x), ? ? f(-2)=-3,数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=-1,Sn=2an+n(n∈N*),则 f(a5) +f(a6)=________. ?3 ? 7.[考向 3]【解析】 ∵奇函数 f(x)满足 f?2-x?=f(x), ? ? ?3 ? ∴f?2-x?=-f(-x), ? ? ? 3? ∴f(x)=-f?x+2?=f(x+3), ? ? ∴f(x)是以 3 为周期的周期函数, ∵Sn=2an+n,① ∴Sn+1=2an+1+n+1,② ②-①可得 an+1=2an-1, 即 an+1-1=2(an-1),∴数列{an-1}是首项为-2,公比为 2 的等比数列,即 an -1=-2· 2n-1=-2n,即 an=-2n+1, ∴a5=-31,a6=-63, ∴f(a5)=f(-31)=f(2)=-f(-2)=3,f(a6)=f(-63)=f(0)=0,∴f(a5)+f(a6)=3. 【答案】 3 8. (2016· 河南郑州质检, 15)设函数 y=f(x)的定义域为 D, 若对于任意 x1, x2∈D, 当 x1+x2=2a 时,恒有 f(x1)+f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数 y=f(x)图象的对称中 心.研究函数 f(x)=x3+sin π x+2 图象的某一个对称中心,并利用对称中心的上 ? 19? ?19? 述定义,可得到 f(-1)+f?-20?+?+f?20?+f(1)=________. ? ? ? ? 8.[考向 1]【解析】 依题意,函数 y=x3 与 y=sin πx 均是奇函数,因此 y=x3 +sin πx 是奇函数,其图象关于点(0,0)对称,所以函数 f(x)=x3+sin πx+2 的 ? 19? 图象关于点(0,2)对称,于是有 f(-x)+f(x)=4,因此 f(-1)+f(1)=4,f?-20?+ ? ?
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?19? f?20?=4,?,f(0)=2,所求的和为 2+20×4=82. ? ? 【答案】 82

一、函数的概念 1.函数定义的注意问题 (1)定义中最重要的是定义域和对应关系,值域是由两者确定,在求 f(φ(x))类型的 函数值时,应按先内后外的原则计算. (2)判断两个函数是否相同, 抓住两点: ①定义域是否相同, ②对应关系是否相同, 解析式可以化简. 2.函数定义域 (1)分式中,分母不为 0; (2)偶次方根中,被开方数非负; (3)对于 y=x0,要求 x≠0;负指数的底数不为 0; (4)对数函数中,真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1; (5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1; 1 (6)正切函数 y=tan x 要求 x≠kπ +2π ,k∈Z. 3.函数解析式 根据函数结构掌握常见求解析式的方法:①配凑法,②待定系数法,③换元法, ④消元法. 4.分段函数的概念 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来 表示,这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个 函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域 的并集. (3)解决分段函数问题的注意事项 分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先确定自变量的 取值属于哪个区间,再选取相应的对应法则,离开定义域讨论分段函数是毫无意

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义的.

分段函数是为了研究问题的需要而进行的分类讨论,相当于求“并集”,不可与 方程组或不等式组的求“交集”相混淆. 二、函数的基本性质 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就 说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2), 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数

图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的

从单调函数的定义可以看出,函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间 而言的.有的函数在其定义域的一个区间上是增函数,而在另一个区间上不是增 函数.例如,函数 y=x2,当 x∈[0,+∞)时是增函数,当 x∈(-∞,0]时是减函 数. (2)函数单调性的常用结论 ①若 f(x),g(x)均是区间 A 上的增(减)函数,则 f(x)+g(x)也是区间 A 上的增(减)函 数; ②若 k>0,则 kf(x)与 f(x)单调性相同;若 k<0,则 kf(x)与 f(x)单调性相反; ③函数 y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y=-f(x),y= 1 的单调性相反; f(x)

④函数 y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与 y= f(x)的单调性相同;

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⑤奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在其关于原点对称的区 间上单调性相反. 2.函数的奇偶性与对称性 (1)偶函数和奇函数 偶函数 条件 结论 图象特征 (2)奇偶函数的性质 ①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间 上的单调性相反. ②在公共定义域内 A.两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数. B.两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数. C.一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. ③若 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (3)函数的对称性常见的结论 a+b ①函数 y=f(x)关于 x= 2 对称?f(a+x)=f(b-x)?f(x)=f(b+a-x). 特殊:函数 y=f(x)关于 x=a 对称?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x); 函数 y=f(x)关于 x=0 对称?f(x)=f(-x)(即为偶函数). ②函数 y=f(x)关于点(a,b)对称?f(a+x)+f(a-x)=2b?f(2a+x)+f(-x)=2b. 特殊:函数 y=f(x)关于点(a,0)对称?f(a+x)+f(a-x)=0?f(2a+x)+f(-x)=0; 函数 y=f(x)关于(0,0)对称?f(x)+f(-x)=0(即为奇函数). ③y=f(x+a)是偶函数?函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称; y=f(x+a)是奇函数?函数 y=f(x)关于点(a,0)对称. 3.函数周期性 (1)周期函数的定义 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,
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奇函数

如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) 函数 f(x)叫作偶函数 图象关于 y 轴对称 f(-x)=-f(x) 函数 f(x)叫作奇函数 图象关于原点对称

定义

都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)常见的几个结论 周期函数 y=f(x)满足: ①若 f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为 2a; ②若 f(x+a)=-f(x),则函数的周期为 2a; ③若 f(x+a)=- 1 ,则函数的周期为 2a; f(x)

④函数 f(x)关于直线 x=a 与 x=b 对称,那么函数 f(x)的周期为 2|b-a|; ⑤若函数 f(x)关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数 f(x)的周期是 2|b- a|; ⑥若函数 f(x)关于直线 x=a 对称,又关于点(b,0)对称,函数 f(x)的周期是 4|b- a|; ⑦若函数 f(x)是偶函数,其图象关于直线 x=a 对称,则其周期为 2a; ⑧若函数 f(x)是奇函数,其图象关于直线 x=a 对称,则其周期为 4a.

结论④~⑧可以类比 y=sin x 的图象与性质去记忆.

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.(2013· 江西,2)函数 y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) C.(0,1] B.[0,1) D.[0,1] )

?x≥0, 1.B 由? 解得 0≤x<1,故选 B. ?1-x>0, 2.(2014· 陕西,7)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( 1 A.f(x)=x2 B.f(x)=x3 )

?1?x C.f(x)=?2? D.f(x)=3x ? ?

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?1?x 2.D 满足 f(x+y)=f(x)f(y)的函数只有 C,D.而 y=?2? 在定义域内为单调递减函 ? ? 数,y=3x 在定义域内为单调递增函数,故选 D. 3.(2015· 福建,2)下列函数为奇函数的是( A.y= x B.y=|sin x| )

C.y=cos x D.y=ex-e-x 3.D 函数 y= x的定义域为[0,+∞),所以该函数不具有奇偶性,先排除选项 A, 函数 y=|sin x|, y=cos x 的图象关于 y 轴对称, 所以均为偶函数, 排除选项 B, C,故选 D.
2 ?x +1,x≤1, 4.(2016· 河南开封模拟,3)若函数 f(x)=? 则 f(f(10))=( ?lg x,x>1,

)

A.lg 101

B.2

C.1 D.0 4.B ∵f(10)=lg 10=1,∴f(f(10))=f(1)=12+1=2,故选 B. 5.(2015· 辽宁沈阳质检,9)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 ?1? f(2x-1)<f?3?的 x 的取值范围是( ? ? ?1 2? ?1 2? A.?3,3? B.?3,3? ? ? ? ? ?1 2? ?1 2? C.?2,3? D.?2,3? ? ? ? ? )

5.A ∵f(x)是偶函数,∴其图象关于 y 轴对称,又 f(x)在[0,+∞)上单调递增, 1 1 2 ?1? ∴f(2x-1)<f?3??|2x-1|<3?3<x<3.故选 A. ? ? 6.(2016· 重庆一中一模,6)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x)=f(x 1 +4),且 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+5,则 f(log220)=( 4 A.1 B.5 6.C C.-1 4 D.-5 )

∵log220∈(4,5),∴log220-4∈(0,1),

∴4-log220∈(-1,0). 又∵定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x)=f(x+4), ∴f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220).
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1 ∵x∈(-1,0)时,f(x)=2x+5, 1 1 1 ∴f(4-log220)=24-log220+5=24÷2log220+5=16÷ 20+5=1, 故 f(log220)=-1,故选 C.
2 ?x +1,x>0, 7.(2014· 福建,7)已知函数 f(x)=? 则下列结论正确的是( ?cos x,x≤0,

)

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞) 7.D 方法一:由 x>0 得,x2+1>1,当 x≤0 时,cos x∈[-1,1],故 f(x)∈[-1, +∞),选 D. 方法二(数形结合法):作出 f(x)的图象如图所示,可排除 A,B,C,故 D 正确.

8.(2015· 辽宁实验中学月考,6)函数 y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数 f(x+2) 是偶函数,则下列结论成立的是( ?5? ?7? A.f(1)<f?2?<f?2? ? ? ? ? ?7? ?5? B.f?2?<f(1)<f?2? ? ? ? ? ?7? ?5? C.f?2?<f?2?<f(1) ? ? ? ? ?5? ?7? D.f?2?<f(1)<f?2? ? ? ? ? 8.B ∵f(x+2)是偶函数,∴f(x)的图象关于直线 x=2 对称,∴f(x)=f(4-x), ?5? ?3? ?7? ?1? ∴f?2?=f?2?,f?2?=f?2?. ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 又 0<2<1<2<2,f(x)在[0,2]上单调递增, ?1? ?3? ?7? ?5? ∴f?2?<f(1)<f?2?,即 f?2?<f(1)<f?2?. ? ? ? ? ? ? ? ? )

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(x-a)2,x≤0, ? ? 9.(2014· 上海,18)设 f(x)=? 1 若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取 x+ x+a,x>0. ? ? 值范围为( A.[-1,2] C.[1,2] ) B.[-1,0]

D.[0,2]

9.D ∵当 x≤0 时,f(x)=(x-a)2,又 f(0)是 f(x)的最小值,∴a≥0.当 x>0 时,f(x) 1 =x+x +a≥2+a,当且仅当 x=1 时取“=”.要满足 f(0)是 f(x)的最小值,需 2 +a≥f(0)=a2,即 a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2,∴a 的取值范围是 0≤a≤2.故 选 D. 10.(2015· 陕西西安二模,10)已知 y=f(x)是偶函数,而 y=f(x+1)是奇函数,且 ?98? ?101? ?106? 对任意 0≤x≤1,都有 f′(x)≥0,则 a=f?19?,b=f? 17 ?,c=f? 15 ?的大小关系是 ? ? ? ? ? ? ( ) B.c<a<b D.a<b<c

A.c<b<a C.a<c<b

10.B 因为 y=f(x)是偶函数, 所以 f(x)=f(-x),① 因为 y=f(x+1)是奇函数, 所以 f(x)=-f(2-x),② 所以 f(-x)=-f(2-x), 即 f(x)=f(x+4). 所以函数 f(x)的周期为 4.又因为对任意 0≤x≤1,都有 f′(x)≥0,所以函数 f(x)在 [0,1]上单调递增,又因为函数 y=f(x+1)是奇函数,所以函数在[0,2]上单调递 增, ?98? ?22? 又 a=f?19?=f?19?, ? ? ? ? ?101? ?33? b=f? 17 ?=f?17?, ? ? ? ? ?106? ? 14? ?14? c=f? 15 ?=f?-15?=f?15?, ? ? ? ? ? ? 14 22 33 ∵15<19<17,
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?14? ?22? ?33? 所以 f?15?<f?19?<f?17?, ? ? ? ? ? ? 即 c<a<b. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. (2016· 浙江丽水模拟, 12)已知 f(x), g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数, 且 f(x)-g(x)=2x+x,则 f(1)+g(1)=________. 11. 【解析】 2x+x, 1 1 ∴f(-1)-g(-1)=2-1-1= -1=- . 2 2 1 ∴f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=-2. 1 【答案】 -2 12.(2013· 四川,14)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x, 那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 12. 【解析】 当 x≥0 时,由 f(x)=x2-4x<5,解得 0≤x<5.因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数,所以 f(x)<5 的解集为-5<x<5.所以 f(x+2)<5 的解集即是-5<x+2<5, 即-7<x<3. 【答案】 (-7,3) 13.(2016· 河北邢台调研,15)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 ∵f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=

?ax+1,-1≤x<0, ?1? ?3? [-1,1]上,f(x)=?bx+2 其中 a,b∈R.若 f?2?=f?2?,则 a+3b 的 ? ? ? ? ? x+1 ,0≤x≤1,
值为________. 13. 【解析】 因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,

?3? ? 1? 所以 f?2?=f?-2?, ? ? ? ? ?1? ? 1? 故 f?2?=f?-2?, ? ? ? ? 1 2b+2 1 从而 1 =-2a+1, 2+1 即 3a+2b=-2.①
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又因为 f(-1)=f(1), b+2 所以-a+1= 2 ,即 b=-2a.② 将②代入①得,a=2,b=-4. 所以 a+3b=2+3×(-4)=-10. 【答案】 -10 14.(2014· 湖北,14)设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且 f(x)>0,对任意 a>0, b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与 x 轴的交点为(c,0),则称 c 为 a, b 关于函数 f(x)的平均数,记为 Mf(a,b).例如,当 f(x)=1(x>0)时,可得 Mf(a, a+b b)=c= 2 ,即 Mf(a,b)为 a,b 的算术平均数. (1)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的几何平均数; (2)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 14. 【解析】 设 P(a,f(a)),Q(b,-f(b)), f(a)+f(b) (x-a). a-b 2ab . a+b

则直线 PQ 的方程为 y-f(a)=

令 y=0 得 c=

af(b)+bf(a) . f(a)+f(b) af(b)+bf(a) ? abf(a)+ abf(b)=bf(a)+af(b),可取 f(a)+f(b)

(1)令几何平均数 ab= f(x)= x(x>0); (2)令调和平均数

2ab af(b)+bf(a) ab+ba af(b)+bf(a) = ? = , a+b f(a)+f(b) a+b f(a)+f(b)

可取 f(x)=x(x>0). 【答案】 (1) x (2)x(或填(1)k1 x

(2)k2x,其中 k1,k2 为正常数均可) 三、解答题(共 4 小题,共 50 分) 15.(12 分)(2016· 河南郑州一模,16)二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0) =1.
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(1)求 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)>2x+5. 15.解:(1)设 f(x)的解析式为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(0)=1,∴c=1. 把 f(x)的表达式代入 f(x+1)-f(x)=2x,有 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. ∴2ax+a+b=2x.∴2a=2,a+b=0. ∴a=1,b=-1. ∴f(x)=x2-x+1. (2)由 x2-x+1>2x+5,得 x2-3x-4>0,解得 x>4 或 x<-1. 故原不等式的解集为{x|x>4 或 x<-1}. x 16.(12 分)(2016· 山东济南一模,16)已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证明 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 16.解:(1)证明:任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= 2(x1-x2) x1 x2 - = . x1+2 x2+2 (x1+2)(x2+2)

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)方法一:任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= a(x2-x1) x1 x2 - = . x1-a x2-a (x1-a)(x2-a)

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)· (x2-a)>0 恒成立, ∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1. 方法二:f′(x)= -a . (x-a)2

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∵f(x)在(1,+∞)内单调递减, ∴f′(x)≤0 在(1,+∞)内恒成立, ∴ -a ≤0 在(1,+∞)内恒成立, (x-a)2

∴(x-a)2>0 在(1,+∞)内恒成立. 当 a>1 时,x=a 时,(x-a)2=0 不符合题意. ∴a≤1. 综上所述 0<a≤1. 17.(12 分)(2015· 辽宁大连质检,18)函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对 于任意 x1,x2∈D,有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 17.解:(1)∵对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. (2)令 x1=x2=-1, 有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)=2f(1)=0. 令 x1=-1,x2=x, 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16, 解得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是{x|-15<x<17 且 x≠1}.
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18.(14 分)(2015· 安徽淮北质检,19)定义在(-1,1)上的函数 f(x),对任意 x,y ? x+y ? ?, ∈(-1, 1)都有: f(x)+f(y)=f? 且当 x∈(-1, 0)时, f(x)>0.回答下列问题: ?1+xy? (1)判断 f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由; ?1? 1 ?1? ? 1 ? ? 1 ? (3)若 f?5?=2,试求 f?2?-f?11?-f?19?的值. ? ? ? ? ? ? ? ? 18.解:(1)令 x=y=0?f(0)=0, 令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=0?f(-x)=-f(x)?f(x)在(-1,1)上是奇函数. (2)设 0<x1<x2<1, ? x1-x2 ? ?, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f? ?1-x1x2? x1-x2 而 x1-x2<0,0<x1x2<1? <0. 1-x1x2 又 x1-x2 (1+x1)(1-x2) -(-1)= >0, 1-x1x2 1-x1x2 x1-x2 <0, 1-x1x2

故-1<

? x1-x2 ? ?>0, 则 f? ?1-x1x2? 即当 0<x1<x2<1 时,f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,1)上单调递减. 1 1 ? - ? ?1? ?1? ?1? ? 1? ? 2 5 ? ?1? ?. (3)由于 f?2?-f?5?=f?2?+f?-5?=f 1 ?=f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3? ?1-2×5? ?1? ? 1 ? ?1? 同理,f?3?-f?11?=f?4?, ? ? ? ? ? ? ?1? ? 1 ? ?1? f?4?-f?19?=f?5?, ? ? ? ? ? ? ?1? ? 1 ? ? 1 ? ∴f?2?-f?11?-f?19? ? ? ? ? ? ? 1 ?1? =2f?5?=2×2=1. ? ?
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