当前位置:首页 >> 数学 >>

立体几何中空间角求法的思考


立体几何中空间角求法的思考 立体几何是高考重点考察的部分, 其中的线面关系知识经常以解答题的形式 出现,具体有两类问题:一是关于线面的定性问题,如平行、异面、垂直等;二 是关于线面的定量问题,如线线、线面、面面之间所成的角和距离问题。 立体几何部分的空间角主要有异面直线所成的角、 直线和平面所成的角及二 面角这三种空间角。求解这三种空间角的总体思想是先把空间角转化为平面角, 再通过解三角形达到求角的值。其一般步骤是:①找出或作出有关的平面角;② 证明它符合定义; ③化归到某一三角形中进行计算。 在空间向量引入高中教材后, 向量法也提供了解决问题的另一种途径。通过建立基底或空间直角坐标系,利用 向量的基本运算便可轻松地求出空间角。 所以求解三种空间角的基本方法可分为 两类:距离法以及利用空间向量的基底法与坐标法。 一、距离法 线线角抓平行线。 要求异面直线夹角, 关键是将两条直线平移到同一平面上, 将空间角转化为平面角。 异面直线所成的角求法:①平移法;②割补法。 线面角抓面垂线(定射影) 。要求直线与平面所成的角,关键是找到直线在 此平面上的射影,为此,必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面 的垂线。 斜线与平面所成的角求法:定义法。 面面角抓棱垂线。要求二面角,关键是找到二面角的平面角,使得平面角的 顶点在棱上,两边分别在两个半平面上,且两边与棱垂直。 二面角的求法: ①定义法 (点在棱上) ; ②垂线法 (点在面上) ; ③垂面法 (点 在角内) 另外,注意“无棱的二面角问题”。 例: (2012 年高考(山东理) )在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等 腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60° ,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 AED; (Ⅱ)求二面角 F-BD-C 的余弦值. 解析: (Ⅰ)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60° ,CB=CD, 由余弦定理可知 BD2=CD2+CB2-2CD· CB· cos(180° -∠DAB)=3CD2, 即 BD=CD=AD,在△ABD 中,∠DAB=60° ,BD=AD,则△ABD 为直角三角形, 且 AD⊥DB.又 AE⊥BD,AD 平面 AED,AE 平面 AED,且 AD∩AE =A,故 BD ⊥平面 AED; (Ⅱ)取 BD 的中点 G,连接 CG1,FG,由于 CB=CD,因此 CG⊥BD,又 FC⊥平 ABCD,BD 平面 ABCD,所以 FC ⊥BD 由于 FCCG=C,FC,CG 平面 FCG,所以 BD⊥平面 FCG 故 BD⊥FG, 所以∠FGC 为二面角 F-BD-C 的平面角.在等腰三角形 BCD 中, 由于∠BCD=120° ,因为 CG=CB,又 CB=CF,所以 GF==CG, 故 cos∠FGC=, 因此二面角 F-BD-C 的余弦值为. 评: 把空间线面角和二面角的求解转化为空间距离的有关计算,可以避开空 间线面关系的逻辑推理, 直接根据相应的公式进行求解,而在这两种角的求解中 都涉及点到平面的距离的计算, 我们通常利用等体积变换进行求解。在二面角中 还需要求解点到棱的距离,可以利用等面积变换法进行求解。 二、向量法 1.求解异面直线成角:设、分别是 l1、l2 两异面直线的方向向量,l1 与 l2 所成角为 ,由,及,得,进而确定 的值。 2.求解直线与平面成角:设斜线 l 的方向向量为,平面 的法向量为,直线 l 与平面 所成的角为 ,结合图形有,再根据确定的值 。 3.求解二面

相关文章:
立体几何中空间角的求法
立体几何中空间角的求法 立体几何是高中数学的核心内容之一,在高考中占有很大的比 重。考查的知识点、题型等相对稳定,但对学生的空间概念、逻辑 思维能力、空间...
10-4空间向量在立体几何中的应用(求角)2
10-4空间向量在立体几何中的应用(求角)2_数学_高中教育_教育专区。§ 3.2 ...用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是: ⑴如何把已知的几何条件(...
立体几何专题——空间角
立体几何专题——空间角_数学_高中教育_教育专区。立体几何立体几何专题:空间角第...求法: 几何法 公式法 问量法 (1)几何法:作出斜线与射影所成的角,论证所...
...立体几何8.8立体几何中的向量方法(二)__求空间角和...
2018版高考数学一轮复习第八章立体几何8.8立体几何中的向量方法(二)__求空间角...|n | 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (...
3.2立体几何中的空间向量-空间角000
3.2立体几何中的空间向量-空间角000_数学_高中教育...培养学生勇于探索和勤于思考的科学精 神,引导学生...角,即求斜线的方向向量与 平面的法向量所成的角,...
浅谈立体几何中空间角和距离问题
1.空间中夹角的向量求法立体几何中,空间的角有:异面直线所成的角,直线和平面所成的角,平 面和平面所成的角即二面角。俗称线线角,线面角、面面角。我们...
§3.2.3空间角的求法
§3.2 空间向量在立体几何中的应用 第三节:空间角及其求法 空间角及其求法 ...l ? β 的平面角,思考:平面角大小与点 O 的位置有关吗?因此,二面角的...
立体几何中角的向量求解
向量解决立体几何问题的三步曲. 知识点 利用空间向量求空间角 思考 1 空间角...反思与感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时,用向量法求解...
...轮复习第八章立体几何与空间向量8.8立体几何中的向...
立体几何与空间向量8.8立体几何中的向量方法(二)__求空间角和距离试题理_数学_...|n| 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1...
第44讲 立体几何中的向量方法二——空间角与距离的求解
在研究立体几何问题中 的应用. 知识梳理一、 用向量法求空间的角 1.求异面...B. 归纳总结 ①异面直线的夹角与向量的夹角有所不同,应注意思考它们的区别与...
更多相关标签: