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立体几何中空间角求法的思考


立体几何中空间角求法的思考 立体几何是高考重点考察的部分, 其中的线面关系知识经常以解答题的形式 出现,具体有两类问题:一是关于线面的定性问题,如平行、异面、垂直等;二 是关于线面的定量问题,如线线、线面、面面之间所成的角和距离问题。 立体几何部分的空间角主要有异面直线所成的角、 直线和平面所成的角及二 面角这三种空间角。求解这三种空间角的总体思想是先把空间角转化为平面角, 再通

过解三角形达到求角的值。其一般步骤是:①找出或作出有关的平面角;② 证明它符合定义; ③化归到某一三角形中进行计算。 在空间向量引入高中教材后, 向量法也提供了解决问题的另一种途径。通过建立基底或空间直角坐标系,利用 向量的基本运算便可轻松地求出空间角。 所以求解三种空间角的基本方法可分为 两类:距离法以及利用空间向量的基底法与坐标法。 一、距离法 线线角抓平行线。 要求异面直线夹角, 关键是将两条直线平移到同一平面上, 将空间角转化为平面角。 异面直线所成的角求法:①平移法;②割补法。 线面角抓面垂线(定射影) 。要求直线与平面所成的角,关键是找到直线在 此平面上的射影,为此,必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面 的垂线。 斜线与平面所成的角求法:定义法。 面面角抓棱垂线。要求二面角,关键是找到二面角的平面角,使得平面角的 顶点在棱上,两边分别在两个半平面上,且两边与棱垂直。 二面角的求法: ①定义法 (点在棱上) ; ②垂线法 (点在面上) ; ③垂面法 (点 在角内) 另外,注意“无棱的二面角问题”。 例: (2012 年高考(山东理) )在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等 腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60° ,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 AED; (Ⅱ)求二面角 F-BD-C 的余弦值. 解析: (Ⅰ)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60° ,CB=CD, 由余弦定理可知 BD2=CD2+CB2-2CD· CB· cos(180° -∠DAB)=3CD2, 即 BD=CD=AD,在△ABD 中,∠DAB=60° ,BD=AD,则△ABD 为直角三角形, 且 AD⊥DB.又 AE⊥BD,AD 平面 AED,AE 平面 AED,且 AD∩AE =A,故 BD ⊥平面 AED; (Ⅱ)取 BD 的中点 G,连接 CG1,FG,由于 CB=CD,因此 CG⊥BD,又 FC⊥平 ABCD,BD 平面 ABCD,所以 FC ⊥BD 由于 FCCG=C,FC,CG 平面 FCG,所以 BD⊥平面 FCG 故 BD⊥FG, 所以∠FGC 为二面角 F-BD-C 的平面角.在等腰三角形 BCD 中, 由于∠BCD=120° ,因为 CG=CB,又 CB=CF,所以 GF==CG, 故 cos∠FGC=, 因此二面角 F-BD-C 的余弦值为. 评: 把空间线面角和二面角的求解转化为空间距离的有关计算,可以避开空 间线面关系的逻辑推理, 直接根据相应的公式进行求解,而在这两种角的求解中 都涉及点到平面的距离的计算, 我们通常利用等体积变换进行求解。在二面角中 还需要求解点到棱的距离,可以利用等面积变换法进行求解。 二、向量法 1.求解异面直线成角:设、分别是 l1、l2 两异面直线的方向向量,l1 与 l2 所成角为 ,由,及,得,进而确定 的值。 2.求解直线与平面成角:设斜线 l 的方向向量为,平面 的法向量为,直线 l 与平面 所成的角为 ,结合图形有,再根据确定的值 。 3.求解二面

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