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北京市朝阳区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析


北京市朝阳区 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. (5 分)椭圆 A. + =1 的离心率是() B. C. D.

2. (5 分)已知两条不同的直线 a,b 和平面 α,那么下列命题中的真命题是() A.

若 a⊥b,b⊥α,则 a∥α B. 若 a∥α,b∥α,则 a∥b C. 若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b D.若 a∥b,b∥α,则 a∥α 3. (5 分)直线 A. B. 截圆 x +y =4 所得劣弧所对圆心角为() C. D.
2 2

4. (5 分)已知 a,b 是两条不同的直线,且 b?平面 α,则“a⊥b”是“a⊥α”的() A.充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分)已知抛物线 x =4y 上的一点 M 到此抛物线的焦点的距离为 3,则点 M 的纵坐标 是() A.0 B. C.2
2

6. (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为()

A.2

B. 4

C. 8

D.12

7. (5 分)已知双曲线 M 的焦点与椭圆 一条渐近线,那么 M 的方程为()

+

=1 的焦点相同.如果直线 y=﹣

x是M的

A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

8. (5 分)给出如下四个命题: ①已知 p,q 都是命题,若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题; ②命题“若 a>b,则 3 >3 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 3 ≤3 ﹣1”; 2 2 ③命题“对任意 x∈R,x +1≥0”的否定是“存在 x0∈R,x0 +1<0”; 2 ④“a≥0”是“?x∈R,使得 ax +x+1≥0”的充分必要条件. 其中正确命题的序号是() A.①③ B.②③ C.②③④ D.②④ 9. (5 分)已知点 A 的坐标为(1,0) ,点 P(x,y) (x≠1)为圆(x﹣2) +y =1 上的任意 一点,设直线 AP 的倾斜角为 θ,若|AP|=d,则函数 d=f(θ)的大致图象是()
2 2 a b a b

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知 E,F 分别为正方体 ABCD﹣A1B1C1D 的棱 AB, AA1 上的点, 且 AE= AB, AF= AA1,M,N 分别为线段 D1E 和线段 C1F 上的点,则与平面 ABCD 平行的直线 MN 有 () A.1 条

B. 3 条

C. 6 条

D.无数条

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,答案写在答题卡上. 11. (5 分)在空间直角坐标系中,点(4,﹣1,2)与原点的距离是.

12. (5 分)以椭圆

的右焦点为焦点,且顶点在原点的抛物线标准方程为.

13. (5 分)已知 F1,F2 是椭圆 C: N 两点,则△ F2MN 的周长为.

+

=1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆 C 交于 M,

14. (5 分)如图,某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为 4 的正方形,俯视图是等边三 角形,则该三棱柱的侧视图的面积为.

15. (5 分)已知抛物线 C:y =2x 的焦点为 F,抛物线 C 上的两点 A,B 满足 点 T(﹣ ,0) ,则 的值为.

2

=2

.若

16. (5 分)已知等边△ ABC 的边长为 2,沿△ ABC 的高 AD 将△ BAD 折起到△ B′AD,使 得 B′C= ,则此时四面体 B′﹣ADC 的体积为,该四面体外接球的表面积为.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 DD1⊥平面 ABCD, 且 AD=AA1=1,AB=2. (Ⅰ)求证:平面 BCD1⊥平面 DCC1D1; (Ⅱ)求异面直线 CD1 与 A1D 所成角的余弦值.

18. (10 分)在底面是菱形的四棱锥 P﹣ABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=1,PB=PD= , 点 E 在棱 PD 上,且 PE:ED=2:1. (Ⅰ)求证:PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 P﹣AE﹣C 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在点 F,使得 BF∥平面 AEC?若存在,确定点 F 的位置;若不存 在,请说明理由.

19. (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(0,3) ,设圆 C 的半径为,且圆心 C 在直线 l:y=2x﹣4 上. (Ⅰ)若圆心 C 又在直线 y=x﹣1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求此切线的方程; (Ⅱ)若圆 C 上存在点 M,使得|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标的取值范围.

20. (10 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,其短轴的一个端点到它的

左焦点距离为 2,直线 l:y=kx 与椭圆 C 交于 M,N 两点,P 为椭圆 C 上异于 M,N 的点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 PM,PN 的斜率都存在,判断 PM,PN 的斜率之积是否为定值?若是,求出 此定值,若不是,请说明理由; (Ⅲ)求△ PMN 面积的最大值.

北京市朝阳区 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. (5 分)椭圆 A. + =1 的离心率是() B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆 公式即可得出. + =1,可得 a =25,b =16,利用 c =a ﹣b 可得 c,再利用离心率计算
2 2 2 2 2

解答: 解:由椭圆 ∴a=5,c =a ﹣b =9, 解得 c=3.
2 2 2

+

=1,可得 a =25,b =16,

2

2

∴椭圆的离心率 e= = . 故选:A. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 2. (5 分)已知两条不同的直线 a,b 和平面 α,那么下列命题中的真命题是() A.若 a⊥b,b⊥α,则 a∥α B. 若 a∥α,b∥α,则 a∥b C. 若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b D.若 a∥b,b∥α,则 a∥α 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面垂直的性质以及线面平行即垂直的判定定理解答. 解答: 解:对于 A,若 a⊥b,b⊥α,那么 a∥α 或者 a?α,故 A 错误; 对于 B,若 a∥α,b∥α,则 a,b 可能平行、相交或者异面;故 B 错误; 对于 C,如果 a⊥α,b⊥α,则 a∥b,正确; 对于 D,若 a∥b,b∥α,则 a∥α 或者 a?α,故 D 错误; 故选 C. 点评: 本题考查了线面垂直、线面平行的性质、直线平行的性质,熟练运用定理是关键. 3. (5 分)直线 A. B. 截圆 x +y =4 所得劣弧所对圆心角为() C. D.
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 分析: 先解劣弧所对圆心角的一半,就是利用弦心距和半径之比求之. 解答: 解:圆到直线的距离为: =1,又因为半径是 2,设劣弧所对圆心角的一半为

α,cosα=0.5,∴α=60°,劣弧所对圆心角为 120°. 故选 D. 点评: 直线与圆的关系中,弦心距、半径、弦长的关系,是 2015 届高考考点,本题是基 础题. 4. (5 分)已知 a,b 是两条不同的直线,且 b?平面 α,则“a⊥b”是“a⊥α”的() A.充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可.

解答: 解:若 a⊥b,则 a 不一定垂直于 α,不是充分条件, 若 a⊥α,则 a⊥b,是必要条件, 故选:B. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了直线和平面的判定定理,是一道基础题. 5. (5 分)已知抛物线 x =4y 上的一点 M 到此抛物线的焦点的距离为 3,则点 M 的纵坐标 是() A.0 B. C.2
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求得抛物线 x =4y 的焦点为(0,1) ,准线方程为 y=﹣1,设 M(m,n) ,则由抛 物线的定义可得,可得 n+1=3,即可求得点 M 的纵坐标. 2 解答: 解:抛物线 x =4y 的焦点为(0,1) ,准线方程为 y=﹣1, 设 M(m,n) ,则由抛物线的定义可得, M 到此抛物线的焦点的距离即为 M 到准线的距离, 即有 n+1=3,解得 n=2. 故选 C. 点评: 本题考查抛物线的定义、方程和性质,主要考查定义法的运用,以及准线方程的运 用,属于基础题. 6. (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为()
2

A.2

B. 4

C. 8

D.12

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图判断几何体由两部分组成, 左边部分是四棱锥, 且四棱锥的底面是边长 为 2 的正方形,高为 2;右边部分是三棱锥,且三棱锥的高为 2,底面是直角边长为 2 的等 腰直角三角形,把数据代入棱锥的体积公式计算. 解答: 解: 由三视图知几何体的左边部分是四棱锥, 且四棱锥的底面是边长为 2 的正方形, 高为 2; 几何体的右边部分是三棱锥,且三棱锥的高为 2,底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形, 其直观图如图:

∴几何体的体积 V= ×2 ×2+ × ×2×2×2=4. 故选:B 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积, 判断几何体的形状及三视图的数据所对应的 几何量是解答本题的关键.

2

7. (5 分)已知双曲线 M 的焦点与椭圆 一条渐近线,那么 M 的方程为() A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

+

=1 的焦点相同.如果直线 y=﹣

x是M的

C.



=1

D.



=1

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意可设双曲线的标准方程为 , 由直线 y=﹣ x是M

的一条渐近线, 可得 = 解出即可 .

. 由椭圆

+

=1 的焦点为 (±3, 0) , 可得 c=3, 再利用 c =a +b ,

2

2

2

解答: 解:由题意可设双曲线的标准方程为



∵直线 y=﹣

x 是 M 的一条渐近线,∴ =



椭圆

+

=1 的焦点为(±3,0) ,

∴c=3,

联立

,解得 a =3,b =6.

2

2

∴M 的方程为:



故选:C. 点评: 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质等基础知识与基本技能, 考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 8. (5 分)给出如下四个命题: ①已知 p,q 都是命题,若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题; a b a b ②命题“若 a>b,则 3 >3 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 3 ≤3 ﹣1”; 2 2 ③命题“对任意 x∈R,x +1≥0”的否定是“存在 x0∈R,x0 +1<0”; 2 ④“a≥0”是“?x∈R,使得 ax +x+1≥0”的充分必要条件. 其中正确命题的序号是() A.①③ B.②③ C.②③④ D.②④ 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: ①根据复合命题之间的关系进行判断; ②根据否命题的定义进行判断”; ③根据全称命题的否定是特称命题进行判断; ④根据充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:①已知 p,q 都是命题,若 p∧q 为假命题,则 p,q 至少有一个为假命题,故 ①错误; a b a b ②命题“若 a>b,则 3 >3 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 3 ≤3 ﹣1”;故②正确, 2 2 ③命题“对任意 x∈R,x +1≥0”的否定是“存在 x0∈R,x0 +1<0”;故③正确, 2 2 ④若 a<0, 则判别式△ =1﹣4a<0, 此时 ax +x+1≥0 有解, 即“a≥0”是“?x∈R, 使得 ax +x+1≥0” 的充分必要条件错误,故④错误, 故正确的命题为②③, 故选:B 点评: 本题主要考查命题的真假判断, 根据复合命题, 四种命题之间的关系以及含有量词 的命题的否定,充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键. 9. (5 分)已知点 A 的坐标为(1,0) ,点 P(x,y) (x≠1)为圆(x﹣2) +y =1 上的任意 一点,设直线 AP 的倾斜角为 θ,若|AP|=d,则函数 d=f(θ)的大致图象是()
2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 分析: 分两种情况考虑, 当直线 OP 过第一象限与当直线 OP 过第四象限, 画出函数图象, 即可得到结果. 解答: 解:当直线 OP 过第一象限时,如图:

由于 AB 为直径,故 θ= 得到 d=f(θ)=2cosθ(0≤θ<

, ) , <θ≤π) ,

当直线 OP 过第四象限时,同理可得到 d=f(π﹣θ)=2cos(π﹣θ)=﹣2cosθ( 函数 d=f(θ)的大致图象:

故选:D. 点评: 此题考查了圆的标准方程,利用了数形结合的思想,弄清题意是解本题的关键.

10. (5 分)已知 E,F 分别为正方体 ABCD﹣A1B1C1D 的棱 AB, AA1 上的点, 且 AE= AB, AF= AA1,M,N 分别为线段 D1E 和线段 C1F 上的点,则与平面 ABCD 平行的直线 MN 有 () A.1 条

B. 3 条

C. 6 条

D.无数条

考点: 直线与平面平行的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 取 BH= BB1,连接 FH,在 D1E 上任取一点 M,过 M 在面 D1HE 中,作 MG 平行 于 HO,其中 O 满足线段 OE= D1E ,再过 G 作 GN∥FH,交 C1F 于 N,连接 MN,根据线 面平行的判定定理,得到 GM∥平面 ABCD,NG∥平面 ABCD,再根据面面平行的判断定 理得到平面 MNG∥平面 ABCD,由面面平行的性质得到则 MN∥平面 ABCD,由于 M 是任 意的,故 MN 有无数条. 解答: 解:取 BH= BB1,连接 FH ,则 FH∥C1D 连接 HE,在 D1E 上任取一点 M, 过 M 在面 D1HE 中,作 MG∥HO,交 D1H 于 G, 其中 O 为线段 OE= D1E 再过 G 作 GN∥FH,交 C1F 于 N,连接 MN, 由于 GM∥HO,HO∥KB,KB?平面 ABCD, GM?平面 ABCD, 所以 GM∥平面 ABCD, 同理由 NG∥FH,可推得 NG∥平面 ABCD, 由面面平行的判定定理得,平面 MNG∥平面 ABCD, 则 MN∥平面 ABCD. 由于 M 为 D1E 上任一点,故这样的直线 MN 有无数条. 故选 D.

点评: 本题考查空间直线与平面的位置关系, 主要是直线与平面平行的判断和面面平行的 判定与性质,考查空间想象能力和简单推理能力. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,答案写在答题卡上. 11. (5 分)在空间直角坐标系中,点(4,﹣1,2)与原点的距离是 .

考点: 专题: 分析: 解答:

空间两点间的距离公式. 空间位置关系与距离. 根据空间两点间的距离公式进行求解即可. 解:根据两点间的距离公式得点(4,﹣1,2)与原点的距离是 = = ,

故答案为: 点评: 本题主要考查空间两点间的距离公式的计算,比较基础.
2

12. (5 分) 以椭圆

的右焦点为焦点, 且顶点在原点的抛物线标准方程为 y =4

x.

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 依题意,可求得椭圆 解答: 解:∵椭圆
2

+y =1 的右焦点,利用抛物线的简单性质即可求得答案. ,0) ,
2

2

+y =1 的右焦点 F(

∴以 F( ,0)为焦点,顶点在原点的抛物线标准方程为 y =4 x. 2 故答案为:y =4 x. 点评: 本题考查抛物线的标准方程,考查椭圆与抛物线的简单性质,属于中档题.

13. (5 分)已知 F1,F2 是椭圆 C: N 两点,则△ F2MN 的周长为 8.

+

=1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆 C 交于 M,

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的定义可知|F1M|+|F2M|和|F1N|+|F2N|的值,进而把四段距离相加即可求得 答案. 解答: 解:利用椭圆的定义可知,|F1M|+|F2M|=2a=4,|F1N|+|F2N|=2a=4, ∴△MNF2 的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=4+4=8. 故答案为:8. 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.解题的关键是利用椭圆的定义. 14. (5 分)如图,某三棱柱的正视图中的实线部分是边长为 4 的正方形,俯视图是等边三 角形,则该三棱柱的侧视图的面积为 8 .

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由正视图与俯视图可知:该三棱柱是直三棱柱、高与底边边长都为 4.即可得出. 解答: 解:由正视图与俯视图可知:该三棱柱是直三棱柱、高与底边边长都为 4. ∴该三棱柱的侧视图的面积 =8 . 故答案为:8 . 点评: 本题考查了正三棱柱的三视图及其侧面积,属于基础题.
2

15. (5 分)已知抛物线 C:y =2x 的焦点为 F,抛物线 C 上的两点 A,B 满足 点 T(﹣ ,0) ,则 的值为 2.

=2

.若

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 A( ,m) ,B( ,n) ,y =2x 的焦点为 F( ,0) ,求得向量 AF,FB 的坐
2

标,运用向量共线的坐标表示,解方程可得 m,n,进而得到 A,B 的坐标,再由两点的距 离公式计算即可得到. 解答: 解:设 A(
2

,m) ,B(

,n) ,

y =2x 的焦点为 F( ,0) , =( ﹣ 由 =2 ,
2 2

,﹣m) ,

=(

﹣ ,n) ,

则有 m=﹣2n,m +2n =3, 解得 m=﹣ ,n= ,或 m= ,n=﹣ ) ) . ,

即有 A(1,﹣ 或 A(1,

) ,B( ,

) ,B( ,﹣

|TA|= 则

=

,|TB|=

=



的值为 2.

故答案为:2. 点评: 本题考查抛物线的方程和性质, 主要考查抛物线的方程的运用, 同时考查向量共线 的坐标表示和两点的距离公式的运用,属于中档题. 16. (5 分)已知等边△ ABC 的边长为 2,沿△ ABC 的高 AD 将△ BAD 折起到△ B′AD,使 得 B′C= ,则此时四面体 B′﹣ADC 的体积为 ,该四面体外接球的表面积为 π.

考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;球. 分析: 由题意可得,三棱锥 B﹣ACD 的三条侧棱 BD⊥AD、DC⊥DA,底面是等腰直角 三角形,可得 AD⊥底面 BCD,由三棱锥的体积公式计算即可得到;它的外接球就是它扩展 为三棱柱的外接球,求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离,就是球的半径,然 后求球的体积即可. 解答: 解:根据题意可知三棱锥 B﹣ACD 的三条侧棱 BD⊥AD、DC⊥DA, 由 BD=CD=1,B′C= ,则底面是等腰直角三角形, 则 AD⊥底面 BCD,AD= , 即有四面体 B′﹣ADC 的体积为 × ×1×1= ;

它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球, 求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离,就是球的半径, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的中,底面边长为 1,1, , 由题意可得:三棱柱上下底面中点连线的中点,到三棱柱顶点的距离相等, 说明中心就是 外接球的球心, ∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的外接球的球心为 O,外接球的半径为 r, 球心到底面的距离为 , , = r=
3

底面中心到底面三角形的顶点的距离为 ∴球的半径为 r= 四面体 ABCD 外接球体积为: 故答案为: , π.

. ×( )=
3

π.

点评: 本题考 查线面 垂直的判定定理和三棱锥的体积公式和球的体积公式的运用,同时 考查空间想象能力, 计算能力; 三棱柱上下底面中点连线的中点, 到三棱柱顶点的距离相等, 说明中心就是外接球的球心,是本题解题的关键,仔细观察和分析题意,是解好数学题目的 前提. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分)在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 DD1⊥平面 ABCD, 且 AD=AA1=1,AB=2. (Ⅰ)求证:平面 BCD1⊥平面 DCC 1D1; (Ⅱ)求异面直线 CD1 与 A1D 所成角的余弦值.

考点: 异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)由线面垂直得 DD1⊥BC,由矩形性质得 DC⊥BC.由此能证明 BC⊥平面 DCC1D1,从而得到平面 BCD1⊥平面 DCC1D1. (Ⅱ)取 DA,DC,DD1 所在的直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 D﹣xyz,由 = 的余弦值. 解答: (本题满分 10 分) (Ⅰ)证明:在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,DD1⊥平面 ABCD, ∴DD1⊥BC.…(2 分) ∵底面 ABCD 是矩形,所以 DC⊥BC. 又 DD1∩DC=D,∴BC⊥平面 DCC1D1. 又 BC?面 BCD1,∴平面 BCD1⊥平面 DCC1D1.…(5 分) (Ⅱ)解:取 DA,DC,DD1 所在的直线为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系 D﹣xyz,如图所示, ∵AD=AA1=1,AB=2,则 D(0,0,0) ,C(0,2,0) ,D1(0,0,1) ,A1(1,0,1) ,… (7 分) ∵ =(0,﹣2,1) , =(1,0,1) , ,利用向量法能求出异面直线 CD1 与 A1D 所成角



=

=

=

.…(9 分)

∴异面直线 CD1 与 A1D 所成角的余弦值是

.…(10 分)

点评: 本题考查面面垂直的证明,考查异面直线所成角的求法,是中档题题,解题时要注 意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用,注意空间思维能力的培养. 18. (10 分)在底面是菱形的四棱锥 P﹣ABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=1,PB=PD= , 点 E 在棱 PD 上,且 PE:ED=2:1. (Ⅰ)求证:PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 P﹣AE﹣C 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在点 F,使得 BF∥平面 AEC?若存在,确定点 F 的位置;若不存 在,请说明理由.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)根据线面垂直的判定定理即可证明 PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角 P﹣AE﹣C 的余弦值; (Ⅲ)利用向量法,结合线面平行的判定定理进行求解即可. 解答: 证明: (Ⅰ)因为底面 ABCD 是菱形,且∠ABC=60°, 所以△ ABC 是等边三角形,所以 AB=AD=AC=PA=1. 在△ PAB 中,PA=AB=1,PB= , 2 2 2 所以 PB =PA +AB ,即 PA⊥AB. 同理可证 PA⊥AD,且 AB∩AD=A, 所以 PA⊥平面 ABCD. …(3 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 PA⊥平面 ABCD,取 CD 中点 G,连接 AG. 由已知条件易知 AB⊥AG,如图以 A 为原点建立空间直角坐标系.…(4 分) 因为 PA⊥平面 ABCD,PA?平面 PAD, 所以平面 ABCD⊥平面 PAD.平面 ABCD∩平面 PAD=AD, 取 AD 中点 H,连接 HC,则 HC⊥AD. 所以 HC⊥平面 PAD. 所以 是平面 PAD 的法向量,也是平面 PAE 的法向量.

A(0,0,0) ,D(﹣ , ) ,P(0,0,1) , B(1,0,0) , =( , ,0) ,

,0) ,H(



,0) ,C( ,

,0) ,E(





=( ,

,0) ,

=(



, ) ,…(5 分)

设平面 AEC 的法向量为 =(x,y,z) ,

所以

,则



令 x=

,则 =(

,﹣1,2

) ,…(6 分)

所以 cos< ,

>=

=

= .

由图可知,二面角 P﹣AE﹣C 的平面角为钝角,所以其余弦值为﹣ . …(7 分) ( III)存在,点 F 是棱 PC 的中点. 设 则 =λ = = λ( , ,﹣1) ,…(8 分) ,﹣1)=(﹣1+ λ, ,﹣1,2 , ,﹣1,2 )= (﹣1+ ) λ+2 (1﹣λ) ) . λ,1﹣λ) ,

=(﹣1,0,1)+λ( ,

由( II)知平面 AEC 的法向量为 =( 由已题知 BF∥平面 AEC,等价于 即(﹣1+ λ, =0. 解得 . …(9 分) , λ,1﹣λ)?(

所以点 F 是棱 PC 的中点.…(10 分)

点评: 本题主要考 查线面平行和垂直的判定,以及二面角的求解,建立空间坐标系,利 用向量法是解决二面角的常用方法.考查学生的运算和推理能力. 19 . (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(0,3) ,设圆 C 的半径为,且圆心 C 在直线 l:y=2x﹣4 上. (Ⅰ)若圆心 C 又在直线 y=x﹣1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求此切线的方程; (Ⅱ)若圆 C 上存在点 M,使得|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标的取值范围. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)联立两直线方程求得圆心 C 的坐标,则圆的方程可得,设出切线方程,利 用点到直线的距离求得 k,则直线的方程可得. (Ⅱ)设出圆心 C 的坐标,表示出圆的方程,进而根据|MA|=2|MO|,设出 M,利用等式关 系整理求得 M 的轨迹方程,进而判断出点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上,且圆 C 和圆 D 有交点.进而确定不等式关系求得 a 的范围. 解答: M 解: (Ⅰ) 由
2

得圆心 C 为(3,2) ,因为圆 C 的半径为 1,
2

所以圆 C 的方程为: (x﹣3) +(y﹣2) =1. 显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y=kx+3,即 kx﹣y+3=0. 所以 =1,解得 k=0 或﹣ .

则所求圆 C 的切线方程为:y=3 或 3x+4y﹣12=0. (Ⅱ)因为圆 C 的圆心在直线 y=2x﹣4 上,所以设圆心 C 为(a,2a﹣4) , 2 2 则圆 C 的方程为: (x﹣a) + =1. 又|MA|=2|MO|,设 m 为(x,y) ,则
2 2

=2



整理得:x +(y+1) =4,设该方程对应的圆为 D, 所以点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上,且圆 C 和圆 D 有交点.则|2﹣ 1|≤ 由 5a ﹣12a+8≥0,得 a∈R.
2

≤|2+1|.

由 5a ﹣12a≤0 得 0≤a≤

2

.所以圆心 C 的横坐标的取值范围为.

点评: 本题主要考查了直线与圆的方程的应用.考查了学生的分析推理和基本的运算能 力.

20. (10 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,其短轴的一个端点到它的

左焦点距离为 2,直线 l:y=kx 与椭圆 C 交于 M,N 两点,P 为椭圆 C 上异于 M,N 的点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 PM,PN 的斜率都存在,判断 PM,PN 的斜率之积是否为定值?若是,求出 此定值,若不是,请说明理由; (Ⅲ)求△ PMN 面积的最大值. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由已知, = ,且 a=2,所以 c=1,b= ,即可求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)若直线 PM,PN 的斜率都存在,利用点差法,即可得出 PM,PN 的斜率之积是定值; (Ⅲ)求出点 P 到直线 l:y=kx 的距离最大值, |MN|,即可求△ PMN 面积的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)由已知, = ,且 a=2,所以 c=1,b= .

所以椭圆 C 的方程为

.…(3 分)

(Ⅱ)设 P(x0,y0) ,M(x1,y1) ,n(﹣x1,﹣y1) , 则 M,P 的坐标代入椭圆方程,两式作差得 =﹣ .

所以,当 PM,PN 的斜率都存在时,PM,PN 的斜率之积是定值﹣ .…(6 分) (Ⅲ)过点 P 作与平行且与椭圆的相切的直线,设切线方程为 y=kx+t, 2 2 2 代入椭圆方程,得(3k +4)x +8ktx+4t ﹣12=0. 令△ =0,得|t|= .…(8 分)

这时,直线 y=kx+t 与直线 l:y=kx 的距离就是点 P 到直线 l:y=kx 的距离最大值. 所以,点 P 到直线 l:y=kx 的距离最大值 d= .

又由 y=kx 与椭圆方程,解得|x1|=



所以|MN|=2

|x1|=



所以,△ PMN 面积的最大值为

=2

…(10 分)

点评: 本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查点差法的运用,考查学生分 析解决问题的能力,属于中档题.


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