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第一章 1.2.1 第3课时 排列的综合应用(共54张ppt)


幻灯片 1

第 3 课时 排列的综合应用 幻灯片 2

幻灯片 3

类型一 含有“在”与“不在”约束条件的排列问题 【典型例题】 1.(2013·长春高二检测)某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体 育,那么共有______种不同的排课程表的方法. 幻灯片 4 2.乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,派 5 名队员参加比 赛,3 名主力队员安排在第一、三、五位置,其余 7 名队员中 选 2 名安排在第二、四位置上,那么不同的出场安排有______ 种. 3.用 0 到 9 这十个数字,可组成多少个没有重复数字的四位偶 数? 幻灯片 5 【解题探究】 1.题 1 的约束条件是什么?应如何解决? 2.题 2 的约束条件是什么?应如何解决? 3.题 3 的约束条件是什么?应如何解决? 幻灯片 6 探究提示: 1.题 1 的约束条件是“第一节不排体育” ;可以按第一节优先安排,分两步计数,也可以用间接法求解. 2.题 2 的约束条件是:3 名主力队员安排在第一、三、五位置,其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置上,解决方 法:先安排一、三、五位置,再安排二、四位置. 3.约束条件是①没有重复数字,②0 不在首位,③末位为偶数,可按特殊元素优先安排或特殊位置优先安排或间接法 求解. 幻灯片 7 【解析】1.方法一:第一节排其他课有 种,其他 5 节课有 种,所以有 (种). 方法二(间接法):六门课总的排法是 种,其中不符合要求 为体育排在第一节,有 种排法,因此符合条件的排法应是 (种). 答案:600

A1 5

A5 5
5 A1 ? A 5 5 ? 600

A6 6 A5 5
5 A6 ? A 6 5 ? 600
幻灯片 8 2.分两步完成:第一步,安排三名主力队员,有 步安排另 2 名队员,有 种,所以共有 答案:252 种;第二 (种).

A3 3
2 A7

2 A3 3 ? A7 ? 252
幻灯片 9 3.方法一:当个位数字排“0”时,千位,百位,十位上可以 从余下的 9 个数字中任选 3 个来排列,故有 (个); 当个位上从“2,4,6,8”中任选 1 个来排时,则千位上从余 下的 8 个非零数字中任意选 1 个,百位、十位上再从余下的 8 个 数字中任选 2 个来排,按分步乘法计数原理有 (个). 所以没有重复数字的四位偶数有 (个).

A3 9
1 2 A1 ? A ? A 4 8 8 1 1 2 A3 ? A ? A ? A 9 4 8 8 ? 504 ? 1 792 ? 2 296
幻灯片 10 方法二:当个位数字排“0”时,同方法一有 个;当个位 数字是“2,4,6,8”之一时,千位、百位、十位上可从余 下 9 个数字中任选 3 个的排列中减去千位数是“0”的排列数得 (个).所以没有重复数字的四位偶数有 (个).

A3 9
3 2 A1 (A ? A 4 9 8)

1 3 2 A3 9 ? A 4 ? A9 ? A8 ? ? 504 ? 1 792 ? 2 296
幻灯片 11 方法三:千位数上从“1,3,5,7,9”中任选一个,个位数 上从“0,2,4,6,8”中任选一个,百位、十位上从余下的 8 个数字中任选 2 个排列有 (个); 千位数上从“2,4,6,8”中任选一个,个位数上从余下的 4 个偶数中任选 1 个(包括 0 在内),百位、十位从余下的 8 个数字 中任选 2 个排列,有 (个). 所以没有重复数字的四位偶数有 (个).

1 2 A1 5 ? A5 ? A8 1 2 A1 ? A ? A 4 4 8 1 2 1 1 2 2 A1 ? A ? A ? A ? A ? A ? 41A 5 5 8 4 4 8 8 ? 2 296
幻灯片 12 方法四:将没有重复数字的四位数划分为两类:四位奇数和 四位偶数. 没有重复数字的四位数有 (个), 其中四位奇数有 (个). 所以没有重复数字的四位偶数有 (个).

4 3 (A10 ? A9 ) 3 2 A1 (A ? A 5 9 8)
4 3 3 2 A10 ? A9 ? A1 5 ? A9 ? A8 ? ? 2 296
幻灯片 13 【互动探究】在题 1 中,若将约束条件变为“第一节不排体 育,第六节不排数学” ,则结果如何? 【解析】六门课总的排法是 种,其中不符合要求的可分 为:体育排在第一节有 种排法,如图中Ⅰ;数学排在最 后一节有 种排法,如图中Ⅱ;但这两种排法,都包括体 育排在第一节、数学排在 最后一节,如图中Ⅲ,这 种情况有 种排法,因此 符合条件的排法应是: (种).

A6 6 A5 5

A5 5

A4 4
5 4 A6 6 ? 2A5 ? A4 ? 504
幻灯片 14 【拓展提升】含有“在”与“不在”约束条件排列问题的求解原则和常用方法 (1)求解原则:排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排 在某个位子上,或某个位子不排某些元素,解决该类排列问题的原则主要是按“优先”原则,即按优先排特殊元素或 优先满足特殊位子的分步计数,若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨论. 幻灯片 15 (2)常用方法:①直接法:直接根据约束条件分步或分类计数;②间接法:问题的正面分的情况较多,或计算较复杂, 而反面情况数较少或计算简单时选用间接法. 幻灯片 16 【变式训练】用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字? (1)六位奇数; (2)个位数字不是 5 的六位数; (3)不大于 4 310 的四位偶数. 幻灯片 17 【解析】(1)第一步,排个位,有 种排法; 第二步,排十万位,有 种排法; 第三步,排其他位,有 种排法. 故共有 个六位奇数.

A1 3 A1 4

A4 4
1 4 A1 A 288 3 4 A4=
幻灯片 18 (2)方法一(直接法): 十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同,因此需 分两类. 第一类,当个位排 0 时,有 个; 第二类,当个位不排 0 时,有 个. 故符合题意的六位数共有 (个).

A5 5

1 4 A1 A 4 4 A4
1 1 4 A5 + A 504 5 4 A4 A4=
幻灯片 19 方法二(排除法): 0 在十万位和 5 在个位的排列都不对应符合题意的六位数,这 两类排列中都含有 0 在十万位和 5 在个位的情况. 故符合题意的六位数共有 (个).

5 A6 +A4 504 6 ? 2A5 4=
幻灯片 20 (3)①当千位上排 1,3 时,有 个. ②当千位上排 2 时,有 个. ③当千位上排 4 时,形如 40××,42××的各有 形如 41××的有 个; 形如 43××的只有 4 310 和 4 302 这两个数. 故共有 (个).

个;

1 2 A1 A 2 3 A4
2 A1 A 2 4

A1 3
1 A1 A 2 3

1 2 1 2 1 1 1 A1 A A + A A + 2A + A +2= 110 2 3 4 2 4 3 2 A3
幻灯片 21 类型二 含有“相邻”与“不相邻”约束条件的排列问题 【典型例题】 1.(2012·辽宁高考)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) A.3×3! B.3×(3!)3 C.(3!)4 D.9! 幻灯片 22 2.(2013·天津高二检测)省内某电视台连续播放 6 个广告,3 个不同的商业广告,2 个不同的亚运宣传广告,1 个公益 广告,要求最后播放的不能是商业广告,且亚运宣传广告与公益广告不能连续播放,2 个亚运宣传广告也不能连续播 放,则不同的播放方式有( ) A.48 种 B.98 种 C.108 种 D.120 种 幻灯片 23 3.3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法的种数. (1)全体站成一排,男、女各站在一起. (2)全体站成一排,男生必须站在一起. (3)全体站成一排,男生不能站在一起. (4)全体站成一排,男、女都不相邻. 幻灯片 24 【解题探究】 1.题 1 中应如何处理才能保证排座时每家人坐在一起? 2.解决题 2 中问题的入手点是什么? 3.对于“相邻”与“不相邻”问题,常用的处理方法是什么? 幻灯片 25

探究提示: 1.题 1 中把每一家人“捆绑”在一起,看成一个整体就可保证排座时每家人坐在一起. 2.解决题 2 中问题的入手点是最后播放的广告是什么,以此讨论求解. 3.对于“相邻”问题常利用捆绑法,对于“不相邻”问题常利用插空法. 幻灯片 26 【解析】1.选 C.(捆绑法) 分步完成,先将每家“绑在一起” ,看成 3 个元素,全排列, 共有 种排法;然后每个家 3 口人,再各自全排列,则有 种排法; 据分步乘法计数原理,共有 种方法. 2.选 C.(插空法) 分两类,第一类,最后一个播公益广告,则有 第二类,最后一个播亚运宣传广告,则有 据分类加法计数原理,共有 (种).

A3 ! 3 ?3
3 3 A3 A 3 3 A 3 ? ? 3!? 3

3 3 3 A3 A 3 3 A 3 A 3 ? ? 3!?

4

2 A3 3 A3,

3 2 A1 2 A3A3,
2 1 3 2 A3 3A3 ? A2 A3A3 ? 108
幻灯片 27 3.(1)男生必须站在一起是男生的全排列,有 种排法. 女生必须站在一起是女生的全排列,有 种排法. 全体男生、女生各视为一个元素,有 种排法.由分步乘法 计数原理知,共有 种排队方法. (2)三个男生全排列有 种方法,把所有男生视为一个元 素,与 4 名女生组成 5 个元素全排列,有 种排法.故有 种排队方法.

A3 3 A4 4 A2 2
4 2 A3 A 3 4 A2 ? 288

A3 3

A5 5
5 A3 ? A 3 5 ? 720
幻灯片 28 (3)先安排女生,共有 种排法;男生在 4 个女生隔成的 5 个 空中安排,共有 种排法, 故共有 种排法. (4)排好男生后让女生插空,共有 种排法.

A4 4
3 A5 3 A4 4 ? A5 ? 1 440

4 A3 3 ? A4 ? 144
幻灯片 29 【拓展提升】含有“相邻”与“不相邻”约束条件的排列问题的解法 1.相邻问题捆绑法 对于要求某几个元素相邻的排列问题,可将相邻的元素“捆绑”起来,看作一个“大”元素,与其他元素一起排列, 然后再对捆绑元素内部进行排列. 幻灯片 30 2.不相邻问题插空法 对于要求有几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,然后将不相邻的元素插入在已排好的元素之间及两端 空隙处. 幻灯片 31 【变式训练】1.(2013·重庆高二检测)由 1,2,3,4,5, 6 组成没有重复数字且 1,3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数 是( ) A.72 B.96 C.108 D.144 【解析】选 C.第一步,先选一个偶数排个位,有 3 种方法. 第二步,①若 5 在十位或十万位,则 1,3 有三个位置可排, 共 (个);②若 5 排在百位、千位或万位,则 1,3 只有两个位置可排,共 (个),故按要求的所有排 列数共有 3×(24+12)=108(个).

2 2 2A3 A2 ? 24 2 3A2 A 2 2 ? 12
幻灯片 32 2.有 5 盆菊花,其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆,现 把它们摆放成一排,要求 2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不 能相邻,则这 5 盆花的不同摆放种数是( ) A.12 B.24 C.36 D.48 【解析】选 B.利用相邻问题捆绑法,间隔问题插空法得:

2 2 A2 2 A2 A3 ? 24.
幻灯片 33

固定顺序的排列问题 【典型例题】 1.由 1,2,3,4,5 五个数字组成各位数字不同的五位数,使 2 必须在 4 的右边(可以不相邻)有______种排法. 2.7 人站成一排. (1)甲、乙、丙排序一定时,有多少种排法? (2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法?

幻灯片 34 【解析】1.设所求的排法有 x 种,这种对于符合条件的每一排 法,不改变 2,4 的位置,只改变 2,4 的顺序,有 种排法. 由分步乘法计数原理,五个数字的全排列有 种方法,而 五个数字的全排列有 种方法,所以 得 =60 种. 答案:60

A2 2 xA2 2
A5 5 x? 2 A2
5 xA2 2 ? A5,

A5 5
幻灯片 35 2.(1)方法一:7 人的所有排列方法有 种,其中甲、乙、丙 的排序有 种,又对应甲、乙、丙只有一种排序,所以甲、 乙、丙排序一定的排法共有 种. 方法二:(插空法)7 人站定 7 个位置,只要把其余 4 人排好,剩 下的 3 个空位,甲、乙、丙就按他们的顺序去站,只有一种站 法,故 种.

A7 7 A3 3
A7 7 ? 840 A3 3
4 A7 =7 ? 6 ? 5 ? 4= 840
幻灯片 36 (2)甲在乙的左边的 7 人排列数与甲在乙的右边的 7 人排列数

相等,而 7 人排列数恰好是这二者之和,因此满足条件的有 种.

幻灯片 37 【拓展提升】固定顺序的排列问题的解法 这类问题的解法是采用分类法:n 个不同元素的全排列有 种排法,m 个元素的全排列有 种排法.因此 种排法中, 关于 m 个元素的不同分法有 类,而且每一分类的排法数是 一样的.当这 m 个元素顺序确定时,共有 种排法.

1 7 A 7=2 520 2

An n
An n Am m Am m
An n Am m
幻灯片 38

【规范解答】排列的综合应用 【典例】

【条件分析】 幻灯片 39 【规范解答】(1)先考虑老师有 种站法,再考虑其余 6 人全 排,故不同站法总数为: (种).????????????????3 分 (2)2 名女生站在一起有 种站法,视为一种元素与其余 5 人 全排,有 种排法,所以有不同站法: (种). ???????????????6 分

A1 3

6 A1 A 3 6 ? 2 160

A2 2
A6 6
6① A2 ? A ? 1 440 2 6
幻灯片 40 (3)先站老师和女生,有 种站法,再在老师和女生站位的 间隔(含两端)处插入男生,每空一人,则插入方法 种,所 以共有不同站法: (种). ????????????????9 分 (4)7 人全排列中,4 名男生不考虑身高顺序的站法有 种, 而由高到低有从左到右和从右到左的不同,所以共有不同站 法: (种). ????????????????12 分

A3 3

A4 4
4② A3 ? 144 3 ? A4

A4 4
A7 2? 7 A4 4


? 420

幻灯片 41 【失分警示】

幻灯片 42 【防范措施】 1.“分类”与“分步”的意识 在解有约束条件的排列应用题时, 切记根据约束条件特殊位置安排情况或特殊元素当选情况分类,按安排先后顺序分步, 如本例(1)(2)(3)均用到了分步的方法. 2.两个关注 在用“捆绑法”时,要关注大元素中各个元素间的顺序;在用“插空法”时要关注谁去插空,有几个空要插,如本例 中的第(2)(3)题的求解. 幻灯片 43 【类题试解】某次文艺晚会上共演出 8 个节目,其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目,求分别满足下列条件的排节 目单的方法: (1)一个唱歌节目开头,另一个压台. (2)2 个唱歌节目不相邻. (3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻. 幻灯片 44 【解析】(1)先排唱歌节目有 种排法,再排其他节目有 种排法,所以共有 (种)排法. (2)先排 3 个舞蹈节目,3 个曲艺节目有 种排法,再从其中 7 个空(包括两端)中放 2 个排唱歌节目,有 种插空方法,所 以共有 (种)排法.

A2 2
A6 6
6 A2 ? A 2 6 ? 1 440

A6 6
2 A7

2 A6 ? A 6 7 ? 30 240
幻灯片 45 (3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素,与 3 个曲艺节目排列

共 种排法,再将 3 个舞蹈节目插入,共有 种插空法,最 后将 2 个唱歌节目互换位置,有 种排法,由分步乘法计数 原理,符合要求的排法共有: (种).

3 A5

A4 4 A2 2
3 2 A4 ? A ? A 4 5 2 ? 2 880
幻灯片 46

1.有 5 个不同的红球和 2 个不同的黑球排成一列,其中红球甲 和黑球乙相邻的排法有( ) A.720 B.768 C.960 D.1 440 【解析】选 D.两个元素相邻的问题,一般用捆绑法,把红球 甲和黑球乙看作一个元素,则问题变成 6 个元素在 6 个位置进 行排列,红球甲和黑球乙两个元素之间还有一个排列共有 故选 D.

2 A6 A 6 2 ? 1 440.
幻灯片 47 2.用数字 1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位偶数的个 数( ) A.8 B.24 C.48 D.120 【解析】选 C.个位数有 种排法,十位、百位、千位有 种排法,从而共有 个不同的四位偶数.

A1 2 A3 4
3 A1 A 2 4 ? 48
幻灯片 48 3.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其 中程序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 B 和 C 实施时必须 相邻,请问实验顺序的编排方法共有______种. 【解析】实验顺序编排的方法共有 (种). 答案:96

4 2 A1 2 A4 A2 ? 96
幻灯片 49 4.在数字 1,2,3 与符号?,λ 五个元素的所有全排列中, 任意两个数字都不相邻的全排列个数是______.

【解析】符号?,λ 只能在两个数之间,这是间隔排列,排 法有 种. 答案:12

2 A3 A 3 2 ? 12
幻灯片 50 5.如图,将 1,2,3 填入 3×3 的方格中,要求每行、每列都没 有重复数字,如图是一种填法,则不同的填写方法共有_____ 种. 1 2 3 1 2 3 幻灯片 51 【解析】只需要填写第一行和第一列,其余即确定了.因此共 有 (种). 答案:12

3 2 1

2 A3 3A2 ? 12
幻灯片 52 6.将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字母互不 相同,每列的字母也互不相同,求不同的排法的种数. 【解析】先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有 种不同的排法. 再排第二列,其中第二列第一行的字母共有 种不同的排 法,第二列第二、三行的字母只有 1 种排法. 因此共有 (种)不同的排列方法.

A3 3 A1 2
1 A3 ? A 3 2 ?1 ? 12
幻灯片 53

幻灯片 54


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