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必修四向量单元测试卷 (1)


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高一数学必修四第二章平面向量单元检测卷
命题人:朱心伟 审题人:赵传庆 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则| +2 |=( ) A. B. C.4 D.12 ,则 等于( )

2.已知向量 与 的夹角为 120°, A.5 B.4 C.3 D.1

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

3. 已知 O 为 ?ABC 所在平面内一点, 且满足 OA ? BC ? OB ? CA ? OC ? AB , 则 O 点的轨迹一定通过 ?ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 4. 平面内有三个向量 且 , 其中 ,若 D.垂心 与 夹角为 120°, 与 的夹角为 30°, )

??? ? 2 ??? ?2

??? ? 2 ??? ?2

??? ? 2 ??? ?2

, (λ ,μ ∈R)则(

A.λ =4,μ =2

B.

C.

D.

5.如图, AB ? 2 , O 为圆心, C 为半圆上不同于 A, B 的任意一点,若 P 为半径 ? C 上的动点,则 PA ? PB ? PC 的最小值等于(

?

??? ? ??? ? ??? ?

?



A. ?

1 2

B. ?2

C. ?1

D. ?

1 4


6. 若非零向量 a, b 满足 a ? A.

? ?

?

? ? ? ? ? ? 2 2 ? 且 (a ? b) ? (3a ? 2b) , 则 a 与 b 的夹角为 ( b, 3

? B.

?
2

C.

3? ? D. 4 4

7.已知 O 为坐标原点,向量 为( A. )

??? ? ??? ? OA ? ?1,3? OB ? ? 3, ?1?
,

,且 AP ? 2 PB ,则点 P 的坐标

??? ?

??? ?

7 1 4 ?2, 4? ? 2, ?4? B. ( 2 , ? ) C. ( , ) D . ?

3

3

3 3

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8.设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? ( A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 10 9.已知 a ? (1,2), b ? ( ?3,2) , ka ? b 与 a ? 3b 平行,则 k 的值为( A.3 B.



?

?

? ?
1 2

?

?

) …

1 3

C.

D. ?

1 3
|(λ ∈R)的最小值为( )

10.已知向量 =(2,1) , =(1,2) ,则| A. B. C. D.

值为 ( A. ?

) B. ?

12 . 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 , A, B, C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

??? ? ??? ? ??? ? ? AB ? ? OP? OA ? ? ? ??? | A B | ?
A.外心 B.内心

???? AC ? ???? ? , ? ? [0, ??) .则 P 点的轨迹一定通过 ?ABC 的( | AC ? |
C.重心 D.垂心



14. 已知直线 ax+by+c=0 与圆: x +y =1 相交于 A、 B 两点, 且 15.向量 a ? 1 , b ? 16.给出下列命题: ①若 ,则 ;

2

2

? ? ? ?? ? ? ? AO ? B =. , 则O

2 , (a ? b) ? (2a ? b) ,则向量 a 与 b 的夹角为.

②若 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则



③已知

是三个非零向量,若

; ,则
1

; +λ
2

也不共线; ⑤ 与 共线? 其中正确命题的序号是. . … …

三.解答题:本大题共 7 小题,每题 10 分,共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.

试卷第 2 页,总 4 页







④已知 λ 1>0,λ 2>0,

是一组基底, =λ

,则 与

不共线, 与











二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ? ? ? ? ? 13.已知向量 a ? (?1,1) ,向量 b ? (3, t ) ,若 b / /(a ? b) ,则 t ? .

线





3 11

11 3

C.

1 2

D.

3 5

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

11.已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ?1, 0 ? , c ? ? 3, 4 ? ,若 ? 为实数, b ? ? a ? c ,则 ? 的 …

?

?

?

?

?

?

?

?









?

?

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… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

17.设











线









,若 A、B、D 三点共线,求 k 的值.

18.已知向量

满足:

,且

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

(1)求向量 与 的夹角;

? ? ? (2)求 a ? a ? 3b 及

?

?



19.已知三个点 A(2,1) 、B(3,2) 、D(﹣1,4) . (Ⅰ)求证: ;

(Ⅱ)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标,并求矩形 ABCD 两对角线所夹锐角的余 弦值.

20.在△OAB 的边 OA,OB 上分别有一点 P,Q,已知 OP:PA=1:2,OQ:QB=3:2,连接 AQ,BP,设它们交于点 R,若 (1)用 与 表示 ; = , = .

(2)若| |=1,| |=2, 与 夹角为 60°,过 R 作 RH⊥AB 交 AB 于点 H,用 , 表示 .

试卷第 3 页,总 4 页



21.已知向量 (1)若 (2)若

是同一平面内的三个向量,其中 ,且向量 与向量 反向,求 的坐标; ,且



,求 与 的夹角 θ . …

22.设平面内的向量 线 OM 上,且 (1)求 的坐标; .





,点 P 在直

(2)求∠APB 的余弦值; (3)设 t∈R,求 的最小值.

23.已知点 O(0,0)A(1,2)及 B(4,5)及

=

+t

,试问:

试卷第 4 页,总 4 页













(1)当 t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上?点 P 在第三象限? (2)四边形 OABP 是否能构成平行四边形?若能,求出 t 的值;若不能,说明理由.

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ … … … … 线 … … …







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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:根据向量的坐标求出向量的模,最后结论要求模,一般要把模平方,知道夹角就 可以解决平方过程中的数量积问题,题目最后不要忘记开方. 解:由已知|a|=2, 2 2 2 |a+2b| =a +4a?b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12, ∴|a+2b|= . 故选:B. 考点:向量加减混合运算及其几何意义. 2.B 【解析】 试题分析:本题是对向量数量积的考查,根据两个向量的夹角和模之间的关系,用数量积列 出等式,再根据和的模两边平方,联立解题,注意要求的结果非负,舍去不合题意的即可. 解:∵向量 与 的夹角为 120°,
? ? ? ? 3? ∴ a ? b ? a ? b ? cos120? ? ? b , 2



∵ ∴ ∴ =﹣1(舍去)或 , =4,



故选 B. 考点:数量积表示两个向量的夹角;向量的模. 3.D 【解析】 试 题 分 析 : 由 已 知 可 得

OA ? OB ? CA ? BC


2

2

2

2



即 有

(OA ? OB )( OA ? OB ) ? (CA ? BC )( CA ? BC )



BA ? (OA ? OB ) ? BA ? (CA ? CB ) ? BA ? (OA ? OB ? CA ? CB ) ? 0 , 又 因 为

OA ? CA ? OC , OB ? CB ) ? OC ,所以有 2BA ? OC ? 0 ,即 BA ? OC ,同理可
证得 CA ? OB ,又垂心的性质可知 O 点的轨迹一定通过 ?ABC 的垂心.故本题正确选项 为 D. 考点:向量的运算,三角形的垂心. 【思路点睛】本题主要考察向量的运算以及三角形的四心的概念,首先要对已知条件

OA ? BC ? OB ? CA 进行化简,在花间的过程中要正确运用向量的加减法,能够得出
说明 BA ? OC , 即点 O 三角形 AB 边的高上, 三个连等式可列三个等式, 2BA ? OC ? 0 ,
答案第 1 页,总 10 页

2

2

2

2

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只要证明 O 两条边的高上即可. 4.C 【解析】 试题分析: 如图所示, 过点 C 作 CD∥OB, 交直线 OA 与点 D, 由题意可得∠OCD=90°. 在 Rt△OCD 中,利用边角关系求得| 且| |=μ | |=2,| |=4,再由| |=λ | |,

|,求得 λ 、μ 的值.

解:如图所示,过点 C 作 CD∥OB,交直线 OA 与点 D. ∵中 与 夹角为 120°, |=| = |=λ | |,且| 与 的夹角为 30°,∴∠OCD=90°. × =2,| |= =4,

在 Rt△OCD 中,| 由 可得|

|tan30°=2 , |=μ |

|,即 4=λ ×2,且 2=μ × .

解得 λ =2,且 μ = , 故选:C.

考点:数量积表示两个向量的夹角;平面向量的基本定理及其意义. 5.A 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 O 为 AB 中 点 , 所 以 必 有 PA ? PB ? 2PO , 则

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? 1 1 ( PA ? PB) ? PC ? 2 PO ? PC ? ?2 PO ? PC ? ?2 PO ? (1 ? PO ) ? 2 PO ? 2 PO ? 2( PO ? ) 2 ? 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 ,当且仅当 PO ? 时, ( PA ? PB) ? PC 可取得最小值为 ? ,故本题正确选项为 A. 2 2
考点:向量的运算. 6.D 【解析】 试 题 分 析 : (a ? b) ? (3a ? 2b) ? 3 a ? a ? b ? 2 b ? 3 a ? a ? b cos? ? 2 b
2 2 2 2

,因为

? ? ? ? ? ? 2 2 (a ? b) ? (3a ? 2b) ,所以有 3 a ? a ? b cos? ? 2 b ? 0 ,其中 ? 为 a 与 b 的夹角,将

答案第 2 页,总 10 页

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? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ,故本题的正确选项为 D. a ? b 代入前式中,可求得 cos? ? 2 4 3
考点:向量的运算. 7.C 【解析】 试题分析: 可设 P( x, y) , 则O P ? xy (, )

??

, 由已知得 AP ? ( x ?1, y ? 3) , PB ? (3 ? x, ?1 ? y) ,

??? ?

??? ?

由 AP ? 2 PB 得 x ? 1 ? 2 ? (3 ? x), y ? 3 ? 2 ? (?1 ? y) 得 x ? 考点:向量的坐标运算. 8.B 【解析】

??? ?

??? ?

7 1 , y ? .故选 C. 3 3

试题分析: 由题意得, 解得 x ? 2 , 则a ?b ?3 a ? b ? a ? b ? 0 ? x ?1 ? 1? (?2) ? 0 , ( ,1 )? 所以 a ? b ? 32 ? (?1) 2 ? 10 ,故选 B. 考点:向量的运算. 9.D 【解析】

?

?

? ?

? ?



? ?

b 试题分析: 由 a ? (1, 2), b ? (?3, 2) 得 ka ? b ? (k ? 3,2k ? 2) ,a ? 3b ? (10,?4) , 由 ka ?
与 a ? 3b 平行得 (k ? 3) ? (?4) ? 10? (2k ? 2) ? 0 ,解得 k ? ? 考点:平面向量共线的坐标表示、向量的坐标运算. 10.C 【解析】 试题分析:先将向量 性质 将 , 将 坐标化,即 转化为数量积

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

1 .故选 D. 3

=(2+λ ,1+2λ ) ,再利用向量数量积运算 , 最后由数量积的坐标运算,

写成关于 λ 的函数,求最小值即可 =(2+λ ,1+2λ )
2 2

解:∵ =(2,1) , =(1,2)∴ ∴ ∴
2

=(2+λ ) +(1+2λ ) =5λ +8λ +5=



故选 C 考点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 11.A 【解析】

答案第 3 页,总 10 页

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试题分析:因为 b ? ? a ? (1 ? ?, 2? ) , c ? ? 3, 4 ? 且 b ? ? a ? c ,所以 b ? ? a ? c ? 0 ,即

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

3(1 ? ? ) ? 8? ? 0 ,所以 ? ? ?

3 ,故选 A. 11

考点:1、向量的加法乘法运算;2、向量垂直的性质. 12.B 【解析】 试题分析:

AB

AC AB AC 是分别与 AB、 AC 同向的单位向量,则 ? ( 、 ? ) 的终点在 AB AC AB AC

??? ? ???? ??? ? ??? ? ? AB AC ? ? ? ???? ? 得 P 在 AB、 AB、 AC 的角平分线上,由 OP ? OA ? ? ? ??? AC 的角平分线上, ? | AB | | AC | ?
所以点 P 轨迹一定通过 ?ABC 的内心.故选 B. 考点:向量加法的平行四边形法则、向量的数乘的几何意义. 13. 3 【解析】 试题分析: a ? b ? (2,1 ? t ) ,? 2t ? 3(1 ? t ) ? 0 ,? t ? ?3 . 考点:向量共线的坐标表示. 14. 【解析】 试题分析: 直线与圆有两个交点,知道弦长、 半径, 不难确定∠AOB 的大小, 即可求得 的值. 解:依题意可知角∠AOB 的一半的正弦值, 即 sin 所以:∠AOB=120° 则 × =1×1×cos120°= . . = ×

? ?

故答案为:

答案第 4 页,总 10 页

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考点:向量在几何中的应用. 15.

? 2
题 分 析 :

【解析】 试

? ? ? ? (a ? b) ? (2a ? b) , ? (a ? b) ? (2a ? b) ? 0 , 即 ? 2? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? cos a 2a ? a ? c b o s a ?, b ,? ?b 0, b ? 0 ,即向量 a 与 b 的夹角为 .
?
2

考点:向量的乘积运算. 16.①③④ 【解析】 试题分析:对 5 个命题分别判断;利用向量模的平方等于向量的平方判断出①的正误;利用 向量的坐标公式判断出②的正误 利用向量的运算律判断出③的正误;通过向量的数量积判断出⑤的正误. 解:对于① ,∴ ∴ 故①正确;

②∵

,故②错;

对于③∵

;∴



∴ ,故⑤错.

故③正确;

⑤当 与 反向时,

故答案为:①③④ 考点:向量的共线定理;平面向量的正交分解及坐标表示. 17.-8 【解析】 试题分析:利用向量的运算法则求出 ;将三点共线转化为两个向量共线;利用向量共线

的充要条件列出方程;利用平面向量的基本定理列出方程,求出 k 的值. 解:∵ 若 A,B,D 三点共线,则 ∴ 即 由于 不共线可得: 共线,

答案第 5 页,总 10 页

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故 λ =2,k=﹣8 考点:向量的共线定理. 18. (1) (2)16,2

【解析】 试题分析: (1)由向量垂直的条件:数量积为 0,运用向量的夹角的余弦公式,计算即可得 到所求夹角; (2)运用向量的平方即为模的平方,计算即可得到所求值. 解: (1) ⊥ , = ﹣ , 可得( ﹣ )× =0, 即为 = × =4,
? ? a?b 可得 cos< , >= ? ? = a?b
2

= ,

由 0≤< , >≤π ,可得向量 与 的夹角为



? ? ? 2 (2) a ? a ? 3b = +3 × =4+3×4=16;

?

?

=

=

= =2 . 考点:平面向量数量积的运算. 19. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) . 【解析】 试题分析: (I)运用平面向量的数量积得出 (II) = >0. 解(Ⅰ)证明:A(2,1) ,B(3,2) ,D(﹣1,4) . ∴ 又∵ ∴ (Ⅱ)∵ =(1,1) , =(﹣3,3) . . =1×(﹣3)+1×3=0,求解即可.

,坐标得出点 C 的坐标为(0,5) .再运用数量积求解得出 cosθ =

=1×(﹣3)+1×3=0, . ,若四边形 ABCD 为矩形,则 .

设 C 点的坐标为(x,y) ,则有(1,1)=(x+1,y﹣4) ,
答案第 6 页,总 10 页

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即 ∴点 C 的坐标为(0,5) . 由于 ∴ =(﹣2,4) , =(﹣4,2) , =2 = >0. .

=(﹣2)×(﹣4)+4×2=16,

设对角线 AC 与 BD 的夹角为 θ ,则 cosθ =

故矩形 ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值为 . 考点:平面向量数量积的运算. 20. (1) 【解析】 试题分析: (1)由题意知 ( = , = ,从而由 A,R,Q 三点共线可得 = = + = +m = + . (2) = + .

﹣ )=(1﹣m) + m ,同理化简可得 =λ

+(1﹣n) ,从而解得; =(λ ﹣ ) +( ﹣λ ) ,结合

(2)由 A,H,B 三点共线可得 ? =0 解得即可. = = , =

+(1﹣λ ) ,

解: (1)

, =m ﹣ . )

由 A,R,Q 三点共线,可设 故 = + = +m = +m(

= +m(

﹣ )=(1﹣m) + m . =n .

同理,由 B,R,P 三点共线,可设 故 = + = +n( ﹣ )=

+(1﹣n) .

由于 与 不共线,则有

解得



=

+



答案第 7 页,总 10 页

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(2)由 A,H,B 三点共线,可设 则 = 又 =λ ﹣ ⊥ +(1﹣λ ) ,





=(λ ﹣ ) +( ﹣λ ) . ,∴ ? =0.

∴[(λ ﹣ ) +( ﹣λ ) ]?( ﹣ )=0. 又∵ ? =| || |cos 60°=1, ∴λ = , ∴ = + .

考点:平面向量的基本定理及其意义. 21. (1) 【解析】 试题分析: (1)令 (2)将 解 :( 1 ) 设 ,∴ (2)∵| |= ∵ ,
2

. (2)



,根据模长关系列方程解出 λ ; 展开求出 ,代入夹角公式计算. ∵ . ,∴ =5, = . ,∴2 +3
2 2



﹣2 =

2

+3

=

,∴





,∴



考点:平面向量数量积的运算;平面向量的坐标运算. 22. (1) .

(2)



(3) 【解析】

的最小值为



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试题分析: (1)根据 P,O,M 三点共线可设 (2)计算 (3)计算 的模长,代入向量夹角公式计算;
2

,利用数量积公式列方程解出;

得到关于 t 的二次函数,求出函数的最小值即可.

解: (1)∵点 P 在直线 OM 上,设 ∴ ∴ ∴ (2) . , , , ,解得 ,





(3) ∴ 当 t=2 时, ( ∴ +t

, =2(t﹣2) +2. ) 取得最小值 2, .
2 2

的最小值为

考点:平面向量数量积的运算;平面向量的坐标运算. 23. (1)即 t<﹣ 时,点 P 在第三象限; (2)不存在 t 使四边形 OABP 构成平行四边形. 【解析】 试题分析: (1)利用向量的坐标运算得到点 p 的坐标,据 x 轴上的点纵坐标为 0;y 轴上的 点横坐标为 0;第三象限的点横、纵坐标小于 0 得 t 的范围 (2)据平行四边形的对边对应的向量相等,再据相等向量的坐标对应相等列出方程组,求 解. 解: =(1+4t,2+5t)

(1)点 P(1+4t,2+5t) 当 2+5t=0 即 t=﹣ 时,点 P 在 x 轴上; 当 1+4t=0 解得 t=﹣ 时,点 P 在 y 轴上;



时即 t<﹣ 时,点 P 在第三象限

答案第 9 页,总 10 页

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(2)若能构成平行四边形,则有 即(1,2)=(3﹣4t,3﹣5t) ∴ 无解

故不存在 t 使四边形 OABP 构成平行四边形. 考点:平面向量的坐标运算;平行向量与共线向量;相等向量与相反向量.

答案第 10 页,总 10 页


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