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高三函数性质复习1


函数性质复习

4.记住函数的几个重要性质: (1)关于对称性. ①如果函数 y ? f ? x ? 对于 ?x ? R ,都有 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? ,那么 , 函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? a 对称; 如果函数 y ? f ? x ? 对于 ?x ? R ,都有 f ? a ? x ? ? f ?b

? x ? ,那么, 函 a?b 数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 对称; 2 ②如果函数 y ? f ? x ? 对于 ?x ? R ,都有 f ? a ? x ? ? ? f ? a ? x ? ,那么, 都有 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? ? 2b ,那么, 函数 y ? f ? x ? 的图象关于点 ( a, b) 对称; ③函数 y ? f ? x ? 与 y ? f ? ?x ? 的图象关于直线 x ? 0 对称; 函数 y ? f ? x ? 与 y ? ? f ? x ? 的图象关于直线 y ? 0 对称; 函数 y ? f ? x ? 与 y ? ? f ? ? x ? 的图象关于原点 ? 0, 0 ? 对称; ④函数 y ? f ? a ? x ? 与 y ? f ? a ? x ? 的图象关于直线 x ? 0 对称; a?b y ? f ? a ? x ? 与 y ? f ?b ? x ? 的图象关于直线 x ? 函数 对称; 2 ?1 ⑤函数 y ? f ? x ? 与 y ? f ? x ? 的图象关于直线 y ? x 对称;

函数 y ? f ? x ? 的图象关于点 ( a, 0) 对称;如果函数 y ? f ? x ? 对于 ?x ? R ,

(2) 关于奇偶性与单调性的关系. ① 如 果 奇 函 数 y ? f ? x ? 在 区 间 ? 0,??? 上 是 递 增 的 ,那 么 函 数

y ? f ? x ? 在区间 ? ??,0? 上也是递增的; y ? f ? x ? 在区间 ? ??,0? 上是递减的;
② 如 果 偶 函 数 y ? f ? x ? 在 区 间 ? 0,??? 上 是 递 增 的 ,那 么 函 数 (3) 关于复合函数的单调性. 如果函数 y ? f ?u ? , u ? g ? x ? 在区间 D 上定义, ①若 y ? f ?u ? 为增函数, u ? g ? x ? 也为增函数,则 y ? f ? g ? x ? ? 为 ? ? 增函数; ②若 y ? f ?u ? 为增函数, u ? g ? x ? 为减函数,则 y ? f ? g ? x ? ? 为减 ? ? 函数; ③若 y ? f ?u ? 为减函数, u ? g ? x ? 也为减函数,则 y ? f ? g ? x ? ? 为 ? ? 增函数; ④若 y ? f ?u ? 为减函数, u ? g ? x ? 为增函数,则 y ? f ? g ? x ? ? 为减 ? ? 函数;

(5) 关于图象变换. ①函数 y ? f ? x ? a ?? a ? 0? 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的; ②函数 y ? f ? x ? a ?? a ? 0? 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到的; ③函数 y ? f ? x ? ? a ? a ? 0? 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的; ④函数 y ? f ? x ? ? a ? a ? 0? 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 y 轴向下平移 a 个单位得到的.

(6) 关于周期性. ① 若函数满足 f ? a ? x ? ? f ? x ? ,则其周期T ? a ; ② 若函数满足 f ? a ? x ? ? ? f ? x ? ,则其周期 T ? 2a ③ 若函数满足 f ? x ? a ? ? ?

1 (其中 f ? x ? ? 0, a ? 0 ),则其周期 f ? x?

T ? 2a ④ 若函 数满 足 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? 且 f ?b ? x ? ? f ?b ? x ? ,即 函 数

y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? a 对称又关于直线 x ? b 对称( a ? b ), 则 其周期 T ? 2(a ? b)

⑤ 若 偶 函 数 y ? f ? x? 的 图 象 关 于 直 线 x ? a 对 称 , 则 其 周 期
T ? 2a (即④中的 b ? 0 ); ⑥若函数满足 f ? x ? a ? ? f ? x ? b? ( a ? b ),其周期T ? a ? b ;

y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? a 对称又关于点 ? b,0 ? 对称(a ? b ), 则其 周期 T ? 4(a ? b)
⑧ 若 奇 函 数 y ? f ? x? 的 图 象 关 于 直 线 x ? a 对 称 , 则 其 周 期 T ? 4a (即⑦中的 b ? 0 );

⑦若函数满足 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ? 且 f ?b ? x ? ? ? f ?b ? x ? ,即函数

(7) 关于奇偶性. ①若奇函数 y ? f ? x ? 在 x ? 0 处有定义,则 f ? 0? ? 0 ; ②任何一个定义域关于原点对称的函数 F ? x ? ,总可以表示为一个 奇函数 f ? x ? 和一个偶函数 g ? x ? 的和,其中
F ? x? ? F ? ?x? F ? x? ? F ??x? f ? x? ? , g ? x? ? . 2 2

5. 求方程或不等式的解集,或者求定义域,值域时,要按要求写成 集合的形式. 6. 求函数的解析式,特别是解应用题是的函数式,以及求反函数时, 一定要注明定义域. 7. 充要条件的概念要掌握好,特别是会用集合的子集的方法判断 充要条件. 8. 要区分逻辑联结词的不同用法,了解四种命题的相互关系,知道 什么时候用反证法.

10.判断函数的奇偶性,要注意定义域是否关于原点对称? 11.证明函数的单调性的方法为定义法和导数法. b 12.要知道函数 f ? x ? ? ax ? ? a ? 0, b ? 0? 的有关性质: x ①定义域: ? ??,0? ? ? 0, ??? , ②奇偶性:奇函数;

? ? ? b ? b? ? b ③单调性: 在区间 ? ??, ? ? 和 ? , ?? ? 上单调递增,? ? , 0 ? ? ? ? a? ? a ? ? ? a ? ? b? 和 ? 0, ? 上单调递减; ? a? ?

b ④ 在定义域内的极值是 x ? ? 时有极大值, a b x? 时有极小值。在指定的定义域内的极值或最 a 值要根据单调性或图象来判断。 b ⑤ 记住 f ? x ? ? ax ? ? a ? 0, b ? 0? 的图象的草图。 x b b 2 n ? ⑥ 要能够类比得出 f ? x ? ? ax ? 2 , f ? x ? ? ax ? n ? n ? N ? 的有 x x 关性质.

13. 是否掌握了指数函数和对数函数的性质和图象?在解指数函 数和对数函数的有关问题时要注意“底”的要求: a ? 0.a ? 1 ,在解对 数函数的有关问题时,要注意定义域. log c b log a N ? N 和换底公式: log a b ? 14. 要记住对数恒等式: a , log c a 1 1 ? log 1 ? log an bn . 特别是 log a b ? logb a a b

第 2 讲 │ 函数的图象与性质

第2讲

函数的图象与性质

主干知识整合 1、定义域的求法 2、值域的求法 3、函数的单调性的判定方法

(1)定义法

(2)求导法

(3)复合函数法

4、函数奇偶性的判定方法 (1)定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对 称,则为非奇非偶函数;若对称,则再判断或是否定义域上的恒 等式; (2)图象法 5.反函数有关知识

第2讲 │ 主干知识整合
6.三种图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换 (1)平移及伸缩变换 平移变换口诀:“自变量加(减)左(右)移,函数值加 (减)上(下)移”;伸缩变换参照三角函数 y=Asin(ωx+ φ).注意:每一次变换都是对 x 而言,即每一次变换要 把 x 的系数提在括号外面.

特别注意以下两类图象变换: ①函数 y=f(|x|)的图象可以通过作函数 y=f(x)在 y 轴 右方的图象及其与 y 轴对称的图形而得到. ②函数 y=|f(x)|的图象可以通过作函数 y=f(x)的图 象,然后把在 x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方,其余部分保持不变而得到.

7.函数的周期性的定义及常用结论 一般地,对于函数f(x),如果对于定义域中的任意一个 x的值. 1.若f(x+T)=f(x)(T≠0),则f(x)是周期函数,T是它的 一个周期; 2.若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)是周期函数,|b-a| 是它的一个周期; 3.若f(x+a)=-f(x)(a≠0),则f(x)是周期函数,2a是它 的一个周期; 4.若f(x+a)=1/f(x)(a≠0且f(x)≠0),则f(x)是周期函数, 2a是它的一个周期; 5.若f(x+a)=1+f(x)/1-f(x)(a≠0且f(x)≠1),则f(x)是 周期函数,4a是它的一个周期.

第2讲 │ 主干知识整合
8.有关对称性的几个重要结论 一般地,对于函数 f(x),如果对于定义域内的任意一 个 x 的值. 若 f(x+a)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x a+b = 对称.特别地,若 f(a+x)=f(a-x),则函数 f(x) 2 的图象关于直线 x=a 对称; 若 f(a+x)=- f(b-x),则 函数 f(x) 的图 象关于 点

(

a?b ,0) 中心对称.特别地,若 f(a+x)=-f(a-x),则 2

函数 f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.

9.对称性与周期性之间的关系 周期性与对称性是相互联系、紧密相关的. (1)一般地,若f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b), 则f(x)必为周期函数,且2|b-a|是它的一个周期; (2)若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则f(x) 必为周期函数,且2|b-a|为它的一个周期; (3)若f(x)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心 (b,0)(a≠b),则f(x)为周期函数,且4|b-a|是它的一个周期.

第 2 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 函数的概念与反函数的有关问题

例1 (

?cosπx,x<0, ? 已知函数 f(x)= ? ? f?x-1?+1,x≥0, ?

?1 ? 则 f? ?的值为 ?3 ?

) 2 1 1 A.- B. C. D.0 3 2 3

第 2 讲 │ 要点热点探究
?1 ? ?1 ? ? 2? ∵f? ?=f? -1 ?+1=f?- ? +1= ?3? ?3 ? ? 3?

例 1

B

【解析】

? 2π ? ?1 ? 1 1 cos?- ?+1= ,∴f? ?= ,选 3? 2 ? ?3 ? 2

B.

【点评】 分段函数在中学乃至在大学数学专业课中都 是一项十分重要的内容,它形式特殊,内涵丰富,在实际 生活中有广泛应用.从 2000 年起高考试题中分段函数的比 重明显增加,之后分段函数就成为函数命题的一个方向.

第 2 讲 │ 要点热点探究

ax [2010· 江西卷] 若函数 y= 的图象关于直线 y 1+x =x 对称,则 a 为( ) A.1 B.-1 C.± 1 D.任意实数

第 2 讲 │ 要点热点探究
例 1 变式题 B 【解析】 考查反函数,因为图象本 身关于直线 y=x 对称, 故可知原函数与反函数是同一函数, 所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案.或利用反 ? ? a? ?a 函数的性质,依题知 ?1, ?与? ,1 ?皆在原函数图上,故可 2? ?2 ? ? 得 a=-1.

【点评】 此类型的题需注意不要通过求反函数解析 式,再求函数值,而是要充分利用原函数与反函数的关系 来解决.

1.(2005浙江) 设f (x) ?

1 A. ; 2

?| x ? 1 | ?2,| x |? 1, ? ? 1 ?1 ? x 2 , | x |? 1 ?

? 1 ? 则f ? f ( )? ? ? 2 ?

4 B. ; 13

9 C. ? ; 5

25 D. ; 41

2.(2009天津)函数y ?

x 2 ? 1 ? 1( x ? 0)的反函数为

A. y ? x2 ? 2x ( x ? 0);
C. y ? x ? 2x ( x ? 2);
2

B. y ? ? x2 ? 2x ( x ? 0); D. y ? ? x2 ? 2x ( x ? 2);

3.(2008 四川文理)函数f ( x)满足f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13 ,若f (1) ? 2,则f (99) ?

A.13;

B.2;

13 C. ; 2

2 D. ; 13

第 2 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点二 函数的图象及其应用
)

例2 [2010· 山东卷] 函数 y=2x-x2 的图象大致是(

图 1-2-1

第 2 讲 │ 要点热点探究
A 【解析】 因为当 x=2 或 4 时,2x-x 2=0, 1 x 2 所以排除 B、C;当 x=-2 时,2 -x = -4<0,故排除 4 D,所以选 A. 例2

【点评】 由解析式判断函数图象一般应研究它的性 质,比如定义域、值域、奇偶性、单调性等,然后再选图 象,或由变换法选图,也可以通过验证特征点(图象和坐标 轴的交点、极值点等)来判断图象.

第 2 讲 │ 要点热点探究

若函数 f(x)=(k-1)ax-a x(a>0,a≠1)在 R 上 既是奇函数,又是减函数,则 g(x)=loga(x+k)的图象是 ( )



图 1-2-2

第 2 讲 │ 要点热点探究

例 2 变式题 A 【解析】 奇函数,所以 f(0)=0?k= 2, f(x)=ax-a-x 为减函数, 又 所以 0<a<1, 所以 g(x)=loga(x +2)定义域为 x|x>-2 ,且递减,选 A.
? ? ? ? ? ?

【点评】 若一个函数是奇函数,且在 x=0 处有定义, 则一定有 f(0)=0, 对于偶函数问题, 应用好关系式 f(x)=f(|x|) 可以回避讨论.

1.(2007全国) 函数 y ? 1 y
y

1 的图像是 x -1
y
y 1

1 O 1
O

1
1

x

1

x

-1

-1

O

x

O

x

(A)

(B)

(C)

(D)

第 2 讲 │ 教师备用题
教师备用题

(选题理由:1.考查识图能力:图象的对称性;2.定义域 与值域的关系;3.考查研究抽象函数的方法)
1.函数 f(x)、g(x)的图象如图,则函数 y=f(x)· g(x)的图 象可能是( )

第 2 讲 │ 教师备用题

【解析】 A 函数

由函数的图象可知,函数 f(x)是偶函数,

g(x)是奇函数;则函数 y=f(x)· g(x)是奇函数;且在 (0,+∞)上单调递增,再结合奇偶性选 A.
【点评】 本题主要考查函数图象问题;给出函数的图 象,常见有两种思考问题的途径:其一,利用函数的图象 求出函数的解析式; 其二, 由图象找性质, 再用性质解题. 本 题也可用先求解析式,再解不等式的思路,但这种解法显 然不够简洁.

第 2 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点三 函数的性质及其应用

例 3 [2010· 江西卷] 给出下列三个命题: 1 1-cosx x ①函数 y= ln 与 y=lntan 是同一函数; 2 1+cosx 2 ②若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象关于直线 y=x 对称, 1 则函数 y=f(2x)与 y= g(x)的图象也关于直线 y=x 对称; 2 ③若奇函数 f(x)对定义域内任意 x 都有 f(x)=f(2-x), 则 f(x)为周期函数. 其中真命题是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.②

第 2 讲 │ 要点热点探究
例 3 C 【解析】 考虑定义域不同,①错误;排除 A、B,验 证②,因为函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象关于直线 y=x 对称,则 y=f(x)与 y=g(x)互为反函数;若点(2x,y)在 y=f(x)的图象上, 1 则点(y,2x)在 y=g(x)的图象上, 2x=g(y), 即 ∴x= g(y), 所以 y=f(2x) 2 1 与 y= g(x)的图象也关于直线 y=x 对称. 验证③, f(-x)=f[2-(-x)] 2 =f(2+x),又通过奇函数得 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是周期为 4 的周 期函数,选择 C. 【点评】 是否是同一函数我们需从定义域、对应关系两方面考虑; 注意对应关系是否相同不能只看表面, 而应看本质, 即通过化简来看, 特别是三角函数式;有时它的实质就是考查三角函数的化简问题.当 然问题②的研究是难点.

第 2 讲 │ 要点热点探究

函数 f(x)的定义域为 R, f(x+1)与 f(x-1)都是 若 奇函数,则( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数

第 2 讲 │ 要点热点探究

例 3 变式题 D 【解析】 由题意得 f(-x+1)=-f(x +1),f(-x-1)=-f(x-1),∴f(1-x)+f(1+x)=0,f(-1 -x)+f(-1+x)=0, ∴f(x)关于点(1,0)和(-1,0)中心对称. 故 f(x)的一个周期为 4,则 f(x)=f(x-4),所以 f(x+3)=f(x-1) =-f(-x-1)=-f(-x+3),则 f(x+3)是奇函数.

(山东)已知定义在 上的奇函数满足 ( x ? 2) ? ? f ( x),则f (6)的值 R f 为

A. ? 1

C .1 D .2 ? 0? (2005 重庆) f ( x)是定义在R上的偶函数,在- ?,上是减函数,且 (2) f
B .0
? 0, 则使得f ( x) ? 0的x的取值范围是

A.?? ?,2? B.?2,???

C.?? ?,?2? ? ?2,???

D.?? 2,2?

第 2 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点四 函数的综合问题

? 已知函数f ( x)的定义域为 x x ? 1? f ( x ? 1)为奇函数,当 ? 1 , x
时,f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 1, 则当x ? 1时,的f ( x)递减区间为
?5 ? A.? ,?? ? ?4 ?
? 5? B.?1, ? ? 4?

?7 ? c.? ,?? ? ?4 ?

? 7? D.?1, ? ? 4?

第 2 讲 │ 教师备用题

2.已知函数 f(x)=log 1(4x-2x+ 1+1)的值域是[0, +
2

∞),则它的定义域可以是( A.(0,1] B.(0,1) C.(-∞,1] D.(-∞,0]

)

【解析】 A 令 t=4x-2x+1+1=(2x-1)2 由 f(x)的值 域是[0,+∞)知 t∈(0,1],∴x∈(0,1],选 A.

第 2 讲 │ 教师备用题
3.已知函数 f(t)是奇函数且是 R 上的增函数,若 x,y 满足不等式 f(x2-2x)≤-f(y2-2y),则 x2+y2 的最大值是 ( ) A. 3 B.2 2 C.8 D.16
【解析】C 由 f(x)为奇函数得 f(x2-2x)≤f(2y-y2). 又 f(x)为增函数,有 x2-2x≤2y-y2,即(x-1)2+(y-1)2≤2, 它表示圆心在(1,1),半径为 2的圆的内部(包括边界),故到 原点最远的点为(2,2),从而 x2+y2 的最大值为 8.

第 2 讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.深刻理解函数的概念的内涵,不仅包括准确理解函 数的概念,而且包含了函数的灵活应用.函数图象是函数 的直观反映,是数形结合的基础,因此必须熟练掌握函数 图象的作法,并能灵活运用图象来分析解决问题. 2.讨论函数的性质必须坚持定义域优先原则,对于函 数实际问题,注意挖掘隐含实际中的条件,避免忽略实际 意义对定义域的影响.运用函数性质解题时,应注意:① 数形结合,扬长避短;②等价转化,迅速破解;③含参变 量,分类讨论,全面考虑.

第 2 讲 │ 规律技巧提炼

3.函数的图象与性质是高考考查的重点内容.根据函 数单调性和奇偶性的定义,能判断函数的奇偶性,以及函 数在某一区间的单调性,从数形结合的角度认识函数的单 调性和奇偶性, 掌握求函数最大值和最小值的常用方法. 函 数的图象是函数性质的直观载体,能够利用函数的图象归 纳函数的性质.对于抽象函数问题,也要尽量画出函数的 大致图象,利用数形结合讨论函数的性质.


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