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13级:1.2(8)导数计算习题课


1.2.2(8)

导数计算习题课

一、复习回顾
1.函数在点x0处的导数
f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y y? x ? x0 ? f ( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
'

2.导数的意义
(1)物理意义 ----- 瞬时速度,瞬时加速度 瞬时变化率 (2)函数 ----(3)几何意义 ----- 曲线在该点的切线斜率
2

3、导函数
x变化时 f ?(x )是一个函数,称为 f (x) 的导函数 ,
函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?(x )在x= x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x) |x? x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
0

4、以直代曲思想
描述曲线在某点附近的变化状态可以考虑用切线代替 导数大于0

切线斜率大于0

切线递增

函数递增

导数绝对值大(小)
3

曲线在该点变化快(慢)

5.求函数的导数的方法是: (1)求函数的增量?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ; ?x ?x ?y (3)求极限,得导函数y? ? f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x

6.求切线方程的步骤:

(1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).
4

7、常见函数的导数公式.
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x , 则f '( x) ? nx
n n ?1

;

公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a (a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x
5

简单推证下列公式
1 ? 1) log )? ( x ln a
x a

2)(e )? ? e
x
a

x

3)(a )? ? a ? ln
x x
x a

ln x 1 ? 分 :)(log )? ( 析 1 )? ? (ln x)? ln a ln a 1 1 1 ? ? ? ln a x x ln a

2) y ? e ? ln y ? x ? (ln y)? ? x? 由
x
6

例题:简单推证下列公式
1 ? 1) log )? ( x ln a
x a

2)(e )? ? e
x
a

x

3)(a )? ? a ? ln
x x

1 x ? ? y ?x ? 1? y ?x ? y ? e y x 3)y ? a ? ln y ? x ? ln a ? (ln y)? ? (x ? ln a)?

1 x ? ? y ? ? ln a ? y ? ? y ln a ? a ln a y
7

8、求导四则运算法则
法则1:

[ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x).

? 推 : u1 (x) ? u 2 (x) ? ? ? u n (x))? 广 ( ? ? ? u 1 ( x) ? u 2 ( x) ? ? ? u n ( x)
法则2:

(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)
8

特: (cu)’=cu’(c为常数) 推广:f f ?f )? ? f ?f ?f (
1 2 n 1 2

n

? ?

法则三:

f1f 2 f 3 ?f n ? f1f 2 ?f n ?1f n

?

u u ?v ? uv ? ( )? ? ( v ? 0). 2 v v
9

9、复合函数的导数
1).复合函数的概念:

对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y 可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数. 记作y=f(g(x))
函 数
复合函数 内层函数
外层函数
10

定义域 x∈A





y=f(g(x))

y∈B U∈D

u=g(x)
y=f(u)

x∈A U∈D

y∈B

2) 、复合函数求导法则 复合函数 y ? f ? g( x)? 的导数和函数 y ? f (u) 和 u ? g( x ) 的导数间的关系为 y x? ? yu? ? ux? ,即 y 对 x 的导数 等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 若 y ? f ? g( x)? ,则 y? ? ? f ? g( x )? ?? ? f ? ? g( x )? ? g?( x ) ? ?

推广

y ? f (g(u(x)))

y ? fg ? gu ? ux
'

?

?

?

11

二、例题讲解
例1:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( 1 ? x 2 );(3)f(sin2x)+f(cos2x)

解: (1)

y? ? f ?( x )( x )? ? 2xf ?( x )
2 2 2
2

(2) y? ? f ?( 1 ? x ) ?

2x 2 1? x
2

?

x 1? x
2

f ?( 1 ? x )
2

12

说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形 式是把握其结构特征,另一方面要充分运用复 合关系的求导法则.

(3) y? ? [ f (sin x) ? f (cos x)]?
2 2 2

例1:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( 1 ? x 2 );(3)f(sin2x)+f(cos2x)

?(sin 2 x)(sin 2 x)? ? f ?(cos 2 x)(cos 2 x)? ?f ? f ?(sin x) ? 2sin x cos x ? f ?(cos x) ? 2cos x(? sin x)
2

?(sin 2 x) ? f ?(cos 2 x)] ? sin 2 x[ f
例 2.1)求 y=x 的导数 2).函数 f(x)=x(x-1) (x-2)(x-3) …(x-100)在 x=0 处的导数值为 ( ) 2 A. 0 B. 100 C. 200 D. 100!
13

sinx

例 2.1)求 y=x 的导数 2).函数 f(x)=x(x-1) (x-2)(x-3) …(x-100)在 x=0 处的导数值为 ( D ) 2 A. 0 B. 100 C. 200 D. 100!


sinx

1 ? y? ? (sin x)? ? ln x ? sin x ? (ln x)? ? y? ? y sin x sin x sin x y (cos x ? ln x ? ) ? x (cos x ? ln x ? ) x x
14

1)两边同时取对数得:lny=sinx?lnx,两 边对x求导:

练习:已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a, 如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的 公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公 切线段. (Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切 线? 写出此公切线的方程;
(Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切 线段互相平分

(Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2, 曲线C1在点P(x1,x12+2x1)的切线方程是 y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1), 即 y=(2x1+2)x-x12 ①
15

函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2 在点 Q(x2,-x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2). 即y=-2x2x+x22+a . ②

如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和② 式都是l的方程. ?2 x1 ? 2 ? ?2 x2 所以 ? 2 2 , 消去x2得方程:2x12+2x1+1+a=0. ? ? x1 ? x2 ? a 若判别式△=4-4×2(1+a)=0时,即a=-1/2 时解得x1=-1/2,此时点P与Q重合. 即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线, 由①得公切线方程为y=x-1/4.

16

(Ⅱ)证:由(Ⅰ)可知:当a<-1/2时C1和C2有 两条公切线.
设一条公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其 中P在C1上,Q在C2上,则有:
x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2 +a=-1+a.故线段PQ的中点为:( ? 1 , ? 1 ? a ).
1 ?1? a (? , 同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是 2 2 ).

2

2

所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.

17

作业:《红对勾》P15

第8课


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