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宁夏银川一中10-11学年度高二上学期期末考试(数学理)


7. 双曲线

2010—2011 学年度高二上学期期末考试
一、选择题(每题 5 分,满分 60 分) 1. 命题 p : a + b < 0(a,b ∈ R);命题q : (a ? 2) + | b ? 3 |≥ 0(a,b ∈ R) ,下列结论正确的
2 2 2

x2 y2 ? = 1 的渐近线方程是( 4 9
9 x 4
B. y = ±

) C. y = ±

A. y = ±

4 x 9

3 x 2


D. y = ±

2 x 3

是(

) B. “p ∧ q”为真 C. “?p”为假 D. “?q”为真 )

8. 已知正数 x、y 满足 A.18

8 1 + = 1 ,则 x + 2 y 的最小值是( x y
B.16
x2 a2

A. “p ∨ q”为真 2.椭圆

C.8
? y2 b2

D.10

x2 y 2 + = 1 上一点 P 到它一个焦点的距离是 7,则 P 到另一个焦点的距离是( 25 16
B. 15 C. 3 D. 1 )高考资源网 yjw D. ( a ? b)c 2 ≥ 0

9.已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0)与双曲线 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( A.
5 +1 2

= 1 有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的交点,且

A. 17

) D.
2 2 +1 2

3.若 a , b, c ∈ R ,且 a > b ,则下列不等式一定成立的是( A. a + c ≥ b ? c
2

B. 3 + 1

C. 2 + 1 )

B. ac > bc

C.

c2 >0 a?b

10.下列有关命题的说法正确的是(

4. 设抛物线 y = 8 x 的焦点为 F , 准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ⊥ l , A 为垂足,如果 直线 AF 斜率为 ? 3 ,那么 PF = ( A.8
+

A.“ x 2 = 1 ”是“ x = 1 ”的充分不必要条件。 B.“ x = ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 = 0 ”的必要不充分条件。 C.命题“ ?x ∈ R , 使得 x 2 + x + 1 < 0 ”的否定是:“ ?x ∈ R ,均有 x 2 + x + 1 < 0 ”。

) C. 4 3 ) B. ( D. 16

B. 8 3

D.命题“若 x = y ,则 sin x = sin y ”的逆否命题为真命题。
2

5.若 a,b∈R ,下列不等式中正确的是(
2 2 A. ( a + b ) 2 ≥ ab ≥ a + b 2 2

a+b 2 a +b ) ≥ ≥ ab 2 2
2
2

11.若点 O 和点 F ( ?2, 0) 分别是双曲线

x2 ? y 2 = 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上 a2
) C. [- , +∞ )

C.

a

2

+ b2 a + b 2 ≥ ( ) ≥ ab 2 2
x2 a2 ? y2 b2

D. a

+ b2 a + b 2 ≥ ab ≥ ( ) 2 2

的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 ( A. [3-2 3, +∞ ) B. [3 + 2 3, +∞ )

uuu uuu r r

7 4

D. [ , +∞) ②“全等三角形是相似三角

7 4

6. 已知双曲线

= 1 的离心率 e ∈ [ 2 ,2] .双曲线的两条渐近线构成的角中,以实轴为角

12.有下列命题:①“若 x 2 + y 2 = 0 ,则 x,y 全是 0”的否命题;

平分线的角记为 θ ,则 θ 的取值范围是(
?π π ? A. ? , ? 6 2 ? ? ?π π ? B. ? , ? 3 2 ? ? ?2

) D. ?
? 2π ? ,π ? ? 3 ?

形”的否命题;③“若 m ≥ 1 ,则 mx 2 ? 2( m + 1) x + m + 3 > 0 的解集是 R”的逆命题;④“若

? π 2π ? C. ? , ?

3 ?

a + 7 是无理数,则 a 是无理数”的逆否命题。其中正确的是(
A.①②③ B.②③④ C.①③④

) D.①④

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分) 13.下列命题中:① ?x ∈ R, ( x ? 3 ) 2 > 0 ;② ?x ∈ R, e > 0 ;③ ?x ∈ Z , lg x = ?6 ;
x

(1)若 a = 1, 且 p ∧ q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 x 的取值范围.

④ ?x ∈ R,3 x ? 6 x + 4 = 0 ;⑤ ?x ∈ R, ( x ? 1) ≤ 0 .
2 2

其中为真命题的是________________. 14.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A(-1,2) ,B(3,4) ,C(4,-2) ,点(x,y)在四 边形 ABCD 的内部,则 z=2x-5y 的取值范围是_____________________; 15.椭圆 y 20.(本小题满分 12 分) 已知直线 l 经过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)若 | AF |= 4 ,求点 A 的坐标; (2)若直线 l 的倾斜角为 45° ,求线段 AB 的长. 21.(本小题满分 12 分) 某工厂用 7 万元钱购买了一台新机器,运输安装费用 2 千元,每年投保、动力消耗 的费用也为 2 千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为 2 千元,第 二年为 3 千元,第三年为 4 千元,依此类推,即每年增加 1 千元. (注:若前 n 年平均费用最小, 则称 n 为最佳使用年限) 。问这台机器最佳使用年限是多少年?并求出年平均费用的最小值. 22. (本小题满分 12 分) 如图, 过椭圆 F
O

A

x y 7 ? = 1(k < ? ) 的焦点坐标为_____________________. 4+ k 3+ k 2

2

2

x B

x2 y2 x2 y2 16. 已知直线 y = kx 与椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 和双曲线 2 ? 2 = 1 依次交于 a b a b
A、 C、 四点, 为坐标原点, 为平面内任意一点, MA + MB + MC + MD = λ MO , B、 D O M 若 则 λ 等于_____________. 三、解答题(共 6 个小题,满分 70 分) 17. (本小题满分 10 分)
an 在数列{an}中,a1=1,an+1= (c 为常数,n∈N*)且 a1,a2,a5 成公比不为 1 的等比数列。 c ? an + 1

(1)求证:数列{ (2)求 c 的值

1 }是等差数列 an

y2 x2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB, 若 a2 b

点 M 在 x 轴上,且使得 MF 为△AMB 的一条内角平分线,则称点 M 为该椭圆的“左特征点”. (1)求椭圆
1 2

x2 + y 2 = 1 的“左特征点”M 的坐标; 5 y2 x2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的“左特征点”M 是一个怎样的 a2 b y
A F B O x

(3)设 bn=an?an+1,数列{bn}的前 n 项和为 Sn ,证明:Sn < 18. (本小题满分 12 分)

(2)试根据(1)中的结论猜测:椭圆 点?不证明你猜测的结论.

已知 a, b 都是正数,并且 a ≠ b,求证: a 5 + b 5 > a 2 b 3 + a 3 b 2 19.(本小题满分 12 分)

? x 2 ? x ? 6 ≤ 0, ? 设 p:实数 x 满足 x ? 4 ax + 3a < 0 ,其中 a > 0 ,命题 q : 实数 x 满足 ? 2 ? x + 2 x ? 8 > 0. ?
2 2

M


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