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初高中数学衔接课程教案18-子集与推出关系


初高中数学衔接课程教案 18 子集与推出关系 一、知识点梳理 1、子集与推出关系: 设 A ? ?a | a具有性质?? , B ? ?b | b具有性质??,则 A ? B 与 ? ? ? 等价. 2、子集与推出关系的各种表述形式: 已知集合 A ? ?a | a具有性质?? , B ? ?b | b具有性质?? (1)若 A ? B ,则 ? 是 ? 的充分条件; (2)若 A ? B ,则 ? 是 ? 的充分非必要条件; (3)若 A ? B ,则 ? 是 ? 的必要条件; (4)若 A ? B ,则 ? 是 ? 的必要非充分条件; (4)若 A ? B ,则 ? 是 ? 的充要条件. 3、 推出关系具有传递性: 若? ? ? , 则? ? ? , 若? ? ? , 则? ? ? , ? ?? , ? ?? , 称 ? 与 ? 等价. 设 A ? a | a具有性质? , B ? b | b具有性质? ,则集合 A 、 B 之间的关系与 ? 、 ? 之 间的关系,可用下表表示:

?

?

?

?

集合 A, B 之间 的关系

? 与 ? 之间的推出
关系

? 是? 的
什么条件 充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分又非必 要条件

原命题“若

? ,则 ? ”的
真假 真命题 假命题 真命题

逆命题“若 ? 、 则

? ”的真假
假命题 真命题 真命题

A? ? B

? ? ? ,? ? / ?

A? ? B
A?B

? ? ? ,? ? / ?

? ??
?? / ? ,? ? / ?

A, B 不满足以
上三种情况

假命题

假命题

二、典型例题 例 1、试用子集与推出关系判断 ? 是 β(甲是乙)的什么条件: (1) ? : x ? 2 ; ? : x ? 2 (2) ? : x ? 1 ; ? : x ? 1
2

(3)甲: x2 ? y 2 ? 0 ,乙: x ? 0, y ? 0 (4)设 A ? {x x ? 2}, B ? {x x ? 6} ,甲: x ? A或x ? B ,乙: x ? A ? B 解:(1)设 A ? x x ? 2 , B ? x x ? 2 , ∵ A ? B,∴ α 是 β 的充分非必要条件.
2 (2) 设 A ? x x ? 1 , B ? x x ? 1 ,

?

?

?

?

?

?

?

?

∵A?? 1,?1?, B ? ? 1? ,A ? B,∴ α 是 β 的必要非充分条件. (3)甲是乙的充分必要条件 (4)甲是乙的必要不充分条件

例 2、利用子集与推出关系的等价性,写出下列语句的相关条件. 写出 ?3 ? x ? 1 的充分条件 写出 ?3 ? x ? 1 的必要条件 写出 ?3 ? x ? 1 的充要条件 解:答案不唯一

* 例 3、判断集合 A ? n n ? 5k , k ? N , B ? n n的个位数是5,n ? Z 之间的关系.

?

?

?

?

解:设 ? : n ? 5k , k ? N , ? : n是个位数是5 的整数 ,
*

? ? ? ? ,∴ B ? A .

例 4、设集合 M ? {x 0 ? x ? 3}, N ? {x 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的() A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案:B
2 例 5、“ ?2 ? x ? 2 ”是“ x ? x ? 6 ? 0 ”的()

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案:A

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

例 6、设 ? :1 ? x ? 3, ? : m ?1 ? x ? 2m ? 4, m ? R , ? 是 ? 的充分条件,求 m 的范围. 解:设 A ? ?x |1 ? x ? 3? , B ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ? 4? 因为 ? 是 ? 的充分条件,即 ? ? ? ,所以 A ? B

由右图可得 ?

?m ? 1 ? 1 1 ,解得 ? ? m ? 0 2 ?3 ? 2m ? 4
1 ? m ? 0. 2

m ?1 1

3 2m ? 4

x

所以 m 的取值范围是 ?

例 7、设 ? : 2 ? x ? 3, ? : x ? m ? 1或x ? m ? 1, m ? R , ? 是 ? 的充分条件,求 m 的范围. 解:设 A ? ?x | 2 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? m ?1或x ? m ? 1, m ? R?

? 是 ? 的充分条件,即 ? ? ? ,? A ? B
画数轴分析可得 m ? 1 ? 3 或 m ? 1 ? 2 ,解得 m ? 4 或 m ? 1 所以 m 的取值范围是 m ? 4 或 m ? 1 .

例 8、若命题 ? 是命题 ? 的充要条件,命题 ? 是命题 ? 的必要非充分条件,则命题 ? 是命 题 ? 的______条件. 解:设命题 ? 对应的集合为 A,命题 ? 对应的集合为 B,命题 ? 对应的集合为 C

? 是 ? 的充要条件,? A ? B
又 ? 是 ? 的必要非充分条件,? C ? B

A=B

C

? C ? A , ? ? ? ,所以 ? 是 ? 的充分非必要条件.

例 9、设 A、B、C 三个集合,A A.充分条件 C.充要条件 答案:A B.必要条件

B是A

(B∪C)的()

D.既不充分也不必要条件

分析可以结合图形分析.请同学们自己画图.

∴A

(B∪C).

但是,当 B=N,C=R,A=Z 时, 显然 A (B∪C),但 A B” “A “A B”. B 不成立, (B∪C)”,而

综上所述:“A “A 即“A (B∪C)” B”是“A

(B∪C)”的充分条件(不必要).

三、巩固练习 1.若非空集合 M ? N ,则“ a ? M 或 a ? N ”是“ a ? M ? N ”的条件. 答案:必要非充分 2.一个整数的末位数字是 2,是这个数能被 2 整除的() A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案:A
2 3.如果 a, b, c 都是实数,那么 p : ac ? 0 ,是 q :关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 有一个正

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

根和一个负根的() A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案:C 4. p 是 q 的充要条件的是:() A. p : a ? 1 , q :二元一次方程组 ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x ? y ?1 有唯一解 ?ax ? y ? 1

B. p :两条对角线互相垂直平分, q :四边形是正方形 C. p : 3 x ? 2 ? 5 , q : ? 3 x ? 2 ? ?5 D. p :两个三角形相似, q :两个三角形面积之比等于对应的高之比 答案:C 5.若 A 是 B 成立的充分条件,D 是 C 成立的必要条件,C 是 B 成立的充要条件,则 D 是 A 成立的() A.充分条件 C.充要条件 答案:B
2 6.命题“ 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 ”的一个必要不充分条件是( )

B.必要条件 D.既不充分也不必要条件

A. ? 答案:B

1 ? x?3 2

B. ?

1 1 ? x ? 4 C. ?3 ? x ? 2 2

D. ?1 ? x ? 2

7.(1)“ ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 有实根”是“ ac ? 0 ”的_____________;
2

(2)“ △ ABC ≌△ A?B?C ? ”是“ △ ABC ∽△ A?B?C ? ”的_____________. 答案:(1)必要不充分条件,(2)充分不必要条件 8.已知 A 是 B 的充分条件, B 是 C 的充要条件, ? A 是 E 的充分条件, D 是 C 是必要条 件,则 D 是 ? E 的_____________条件. 答案:必要不充分条件 9.判断下列集合 A 与 B 的关系. (1) A={x | x 是 12 的约数},B={x | x 是 36 的约数}; (2) A={x | x>3},B={x | x>5}; (3) A={x | x 是矩形},B={x | x 是有一个角为直角的平行四边形}. 解:(1) 因为 x 是 12 的约数 ?x 是 36 的约数,所以 A?B. (2) 因为 x>5 ?x>3,所以 B?A. (3) 因为 x 是矩形 ?x 是有一个角为直角的平行四边形,所以 A?B.

10.已知 A={x | x 是等腰三角形},B={x | p(x)},试确定一个集合 B,使 A?B. 解:因为 A?B,则 x 是等腰三角形 ?x 具有性质 p(x), p(x):x 是三角形,所以 B={x | x 是三角形}.

11.试用子集与推出的关系来说明 ? 是 ? 的什么条件. (1) ? : x ? 1 且 y ? 2 ; ? : x ? y ? 3 (2) ? : a ? b ? 0 ; ? : a ? 0, b ? 0 (3) ? : xy ? 0 ; ? : x ? y ? x ? y 解:(1)充分非必要条件;(2)必要非充分条件;(3)充分非必要条件

12.设 ? :1 ? x ? 4 , ? : x ? m , ? 是 ? 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 解: m ? 4

13.设 α,β 是方程 x2-ax+b=0 的两个实根,试分析 a>2 且 b>1 是两根 α,β 均大于 1 的什么条件? 解: (1) 由 ? ∴q p.

?α >1 得a=α +β > 2 ,b=α β >1, ?β >1

(2)举反例,取 ? ? 4, ? ?

1 2

上述讨论可知:a>2,b>1 是 α>1,β>1 的必要但不充分条件.


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