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高二文科


典型例题一
例 1 求经过两点 A(2,1),B(m,2)(m ? R)的直线 l 的斜率,并求出其倾斜角及其取值 范围. 分析:斜率公式成立的条件是 x1 ? x2 ,所以应先就 m 的值是否等于 2 进行讨论. 说明:通过讨论确定直线的斜率存在与不存在是解决直线斜率问题常用的方法.

典型例题二
例 2 已知两点 A(-3,4),B(3,2),过点 P(2,-1)的直线 l 与线段 AB 有公共点. (1)求直线 l 的斜率的取值范围. (2)求直线 l 的倾斜角的取值范围. 分析:如图 1,为使直线 l 与线段 AB 有公共点,则直线 l 的倾斜角应介于直线 PB 的倾 斜角与直线 PA 的倾斜角之间,所以,当 l 的倾斜角小于 90°时,有 k ? k PB ;当 l 的倾斜角 大于 90°时,则有 k ? k PA . 说明:学生常错误地写成-1 ? k ? 3,原因是与倾斜 角分不清或误以为正切函数在 ?0, ? ? 上单调递增.

A

y B

x

典型例题三
例 3 判断下列命题是否正确: ①一条直线 l 一定是某个一次函数的图像; ②一次函数 y ? kx ? b 的图像一定是一条不过原点 图1

P

的直线; ③如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解, 那么这个方程叫做这条直线的方 程; ④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上, 那么这条直线叫做这个 方程的直线. 说明:直线方程概念中的两个条件缺一不可,它们和在一起构成充要条件.

典型例题四
例 4 设直线的斜率为 k,且 ? 3 ? k ?

3 ,指出直线倾斜角 ? 的范围. 3

分析:倾斜角与斜率有关,根据公式 k ? tan ? 和正切函数的单调性,由斜率的范围可 以得到倾斜角的范围,可以画图,利用数形结合来帮助解决问题. 说明:注意正切函数在 ?0, ? ? 范围的单调性,最好结合图形,不容易出错.

典型例题五
例 5 已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半, 求直线 l 的斜率.

说明:这里应考虑角的取值范围及函数值的取舍,解2计算更容易.

典型例题六
例 6 已知 a、b、m 都是正数,且 a ? b ,试用解析法证明:

a?m a > b?m b

说明:本题与前边不等式的证明联系紧密,此处提供了一种新颖的证明,有助于学生对 解析法的理解. 同时本题为构造性证明, 不易想到. 事实上, 把分式看成斜率是常用的方法.

典型例题七
例 7 设直线 l 过原点,其倾斜角为 ? ,将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45°,得 到直线 l1 ,则直线 l1 的倾斜角为( ) .

A. ? ? 45? B. ? ? 135? C. 135? ? ? D.当 0? ? ? ? 135? 时为 ? ? 45? ,当 135? ? ? ? 180? 时为 ? ? 135? 说明:在求直线的倾斜角时,应该重视的是:(1)注意角的取值范围;(2)数形结合是一 种常用而有效的方法.

典型例题八
例 8 若三点 A (?2, 3) , B (3, ? 2) , C ( , m) 共线,求 m 的值. 分析:若三点共线,则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在. 说明:由三点共线求其中参数 m 的方法很多,如两点间的距离公式,定比分点坐标公 式,面积公式等,但用斜率公式求 m 的方法最简便.

1 2

典型例题九
例9 (1)直线 l 过点 A(?2, ? 1) 和点 B(6 , ? 5) ,求 l 的斜率和倾斜角; (2)若直线过 O(0, 0) , H (cos ? , sin? ) 两点,且 ?

?
2

? ? ? 0 ,求此直线的倾斜角.

(3)已知直线 l 过点 A(1, 2) 和 B (a , 3) ,求 l 的倾斜角和斜率. 分析:(1)中直线 l 上两点 A 与 B 均为已知点,故 l 是确定的,其斜率和倾斜角自然也是 确定的,直接利用斜率公式求解即可;(2)中的直线 l 上的点 O 是已知的,点 H 的横纵坐标 与角 ? 有关,应注意条件中 ? 地取值范围;(3)中的直线 l 上的点 A 是已知的,而点 B 的横坐 标 a 不确定,它的取值将影响直线的斜率及倾斜角,应对类讨论,以直线 l 的斜率是否存在 为分类的标准.根据倾斜角和斜率的概念进行求解. 说明:由斜率求倾斜角时,要注意倾斜角的取值范围是 ?0, ? ? .当倾斜角不是特殊角而 必须用反正切表示时,应注意 ?

?

2 2 (1)当直线的倾斜角是 ? (? ? 90?) 时, 斜率是 tan ? . 但反过来, 当直线的斜率是 tan ? 时, 直线的倾斜角不一定是 ? .
(2)在用公式 k ?

? arctan a ?

?



y 2 ? y1 时,要注意两点: x2 ? x1

①斜率公式与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时颠

倒. ②当 x1 ? x 2 , y1 ? y2 (即直线和 x 轴垂直)时,不能用此公式,此时倾斜角是 90 ? , 直线没有斜率. (3)解答本题易出错的地方是对参数未进行讨论或讨论不完整.


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