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竞赛专题--凸函数和琴生不等式


凸函数和琴生不等式
1..( 02成都模拟试题)若函数y ? sin x在区间(0, ? )上是凸函数,那么在?ABC中, sin A ? sin B ? sin C的最大值为
A

1 2

B

3 2

C

3 2 2

D

>
3 2

分析:

? y ? sin x在(0, ? )上是凹函数,则: 1 A? B ?C 3 (sin A ? sin B ? sin C ) ? sin( ) ? sin 60 ? ? 3 3 2 3 3 sin A ? sin B ? sin C ? 2 当且仅当sin A ? sin B ? sin C时,即A ? B ? C ?

?

3

时,取等号;

2.若a1 , a 2 , ? a n 是一组实数,且a1 ? a 2 ? ? ? a n ? k (k为定值),试求:a1 ? a 2 ? ? ? a n 的
2 2 2

最小值 分析: f ( x) ? x 2 在(??,??)上是凸函数 ? a ? a2 ? ? ? an 2 k 2 1 2 2 2 ? (a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? ( 1 ) ? 2 n n n 2 k 2 2 2 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n 当且仅当a1 ? a 2 ? ? ? a n时,取等号

3.已知xi ? 0, (i ? 1,2,?, n),n ? 2, x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1, 求证: ? (1 1 n 1 1 ) ? (1 ? ) n ? ? ? (1 ? ) n ? n(n ? 1) n x1 x2 xn

1 1 1 1 1 1 1 证: [(1 ? ) n ? (1 ? ) n ? ? ? (1 ? ) n ] ? n (1 ? ) n (1 ? ) n ? (1 ? ) n ? n x1 x2 xn x1 x2 xn
? (1 ?
1

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) x1 x2 xn
1

b b b1 b b b )(1 ? 2 ) ? (1 ? n )] n ? 1 ? ( 1 2 ? n ) n ); a1 a2 an a1 a 2 a n 1 1 1 1 1 n 1 1 ? [(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? )] ? 1 ? ( )n ? 1? n x x ?x x1 x2 xn x1 x 2 ? x n 1 2 n (利用结论: ? [(1
又 ? n x1 x 2 ? x n ? x1 ? x 2 ? ? ? x n 1 ? n n

1 1 1 ? [(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? )] n ? 1 ? n x1 x2 xn ? (1 ? (1 ? 1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ? (n ? 1) n x1 x2 xn

1

1 n 1 1 ) ? (1 ? ) n ? ? ? (1 ? ) n ? n(n ? 1) n x1 x2 xn

4.若P为?ABC内任一点,求证?PAB、?PBC、?PCA中至少有一个小于或等于30?; 证:设?PAB ? ?、?PBC ? ?、?PCA ? ?,且?PAC ? ? '、?PBA ? ? '、?PCB ? ? ' ; PA sin ? ? PB sin ? '? ? 依正弦定理有: sin ? ? PC sin ? '? ? sin ? sin ? sin ? ? sin ? ' sin ? ' sin ? ' PB PC sin ? ? PA sin ? ' ? ? ? (sin ? sin ? sin ? ) 2 ? sin ? sin ? sin ? sin ? ' sin ? ' sin ? '
sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? '? sin ? '? sin ? ' 6 ) 6 ? ? ? ? ? ? ? '? ? '?? ' 1 ? sin 6 ( ) ? ( )6 6 2 ?(

1 ? sin ? sin ? sin ? ? ( ) 3 2 1 2 ?? ? 30 ?, 否则? ? 150 ?时,?、?中必有一个满足? ? 30 ? ? 在?、?、? ,中必有一个角满足sin ? ?

补充练习:

1.若xi ? R ? (1 ? i ? n), ? xi ? 1,求证: 1 ? (x
i ?1

n

1 1 1 1 )( x 2 ? ) ? ( x n ? ) ? (n ? ) n ; x1 x2 xn n
2 xy;

2. 已知x ? 0, y ? 0, x 2 ? y 2 ? 1 ,求证 : x 3 ? y 3 ?

3 3. A、B、C为?ABC的三个内角,求证: A ? cos B ? cosC ? ; cos 2


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