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高中数学北师大版必修四学业分层测评:第2章 §1 从位移、速度、力到向量 Word版含解析


学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.若向量 a 与向量 b 不相等,则 a 与 b 一定( A.不共线 C.不都是单位向量 B.长度不相等 D.不都是零向量 )

【解析】 若向量 a 与向量 b 不相等,则说明向量 a 与向量 b 的方向和长度 至少有一个不同.所以 a 与 b 有可能共线,有可能长度相等,也有可能都是单位 向量,所以 A,B,C 都是错误的.但是 a 与 b 一定不都是零向量. 【答案】 D

→ 与DC →的 2. 如图 2-1-4 所示, 梯形 ABCD 为等腰梯形,则两腰上的向量AB 关系是( )

图 2-1-4 → =DC → A.AB → >DC → C.AB 【解析】 【答案】 → |=|DC →| B.|AB → <DC → D.AB → |与|DC → |表示等腰梯形两腰的长度,故相等. |AB B )

3.如图 2-1-5,?ABCD 中,相等的向量是(

图 2-1-5 → 与CB → A.AD → 与BD → C.AC 【解析】 → 与OC → B.OA → 与OB → D.DO → 与OB → 方向相同且长度相等. DO

【答案】

D )

4.下列说法中正确的个数是( (1)单位向量都平行;

(2)若两个单位向量共线,则这两个向量相等; (3)向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量; (4)有相同起点的两个非零向量不平行; (5)方向为南偏西 60° 的向量与北偏东 60° 的向量是共线向量. A.2 C.4 【解析】 B.3 D.5 (1)错误.因为单位向量的方向可以既不相同又不相反.

(2)错误.因为两个单位向量共线,则这两个向量的方向有可能相反. (3)正确.因为零向量与任意向量共线,所以若向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量. (4)错误.有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反,所以有可能 是平行向量. (5)正确.方向为南偏西 60° 的向量与北偏东 60° 的向量的方向是相反的,所 以这两个向量是共线向量. 【答案】 A )

→ =DC → ,且|AD → |=|AB → |,则这个四边形是( 5.设四边形 ABCD 中,有AB A.正方形 C.等腰梯形 B.矩形 D.菱形

→ =DC → 可知四边形 ABCD 为平行四边形,又|AD → =|AB → |,该四 【解析】 由AB 边形为菱形. 【答案】 二、填空题 6.设数轴上有四个点 A,B,C,D,其中 A,C 对应的实数分别是 1 和-3, → =CB → ,CD → 为单位向量,则点 B 对应的实数为________;点 D 对应的实数 且AC → |=________. 为________;|BC 【导学号:66470039】 D

→ 【解析】 由题意知点 C 是线段 AB 的中点, 所以点 B 对应的实数为-7.CD → |=-3-(-7)=4. 为单位向量,所以点 D 对应的实数为-4 或-2,|BC 【答案】 -7 -4 或-2 4

7.如图 2-1-6 所示, 每个小正方形的边长都是 1,在其中标出了 6 个向量, 在这 6 个向量中:

图 2-1-6 (1) 有 两 个 向 量 的 模 相 等 , 这 两 个 向 量 是 ________ , 它 们 的 模 都 等 于 ________. (2) 存在着共线向量,这些共线的向量是 ________ ,它们的模的和等于 ________. 【解析】 → ,AE →, (1)模相等的两个向量是CH

→ |=|AE → |= 12+32= 10. |CH → ,HF →, (2)共线的向量是DG → |+|HF → |=2 2+3 2=5 2. 且|DG 【答案】 → ,AE → (1)CH 10 → ,HF → 5 2 (2)DG

8.给出下列几种叙述: (1)两个向量相等,则它们的始点相同,终点相同; (2)若|a|=|b|,则 a=b; → =DC → ,则 ABCD 是平行四边形; (3)若AB → =DC →; (4)平行四边形 ABCD 中,一定有AB (5)若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中正确的有________(填所有正确说法的序号). 【解析】 (1)错误.两个向量相等,它们的始点和终点都不一定相同.

(2)错误.若|a|=|b|,则 a 与 b 方向未必相同,故 a 与 b 不一定相等. → =DC → ,则 A,B,C,D 四个点有可能在同一条直线上,所以 (3)错误.若AB ABCD 不一定是平行四边形. → 与DC →方 (4)正确.平行四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=DC 且有向线段AB → =DC →. 向相同,所以AB (5)错误.若 a∥b,b∥c,b=0,则 a 与 c 不一定平行. 【答案】 三、解答题 9.已知 O 是正方形 ABCD 对角线的交点,在以 O,A,B,C,D 这 5 点中 任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出: → 相等的向量; (1)与BC → 长度相等的向量; (2)与OB → 共线的向量. (3)与DA 【解】 → 相等的向量为AD →. (1)由图可知,BC=AD,所以与BC (4)

→ (2)由 O 是正方形 ABCD 对角线的交点, 可知 OB=OD=OA=OC, 所以与OB → ,OC → ,CO → ,OA → ,AO → ,OD → ,DO →. 长度相等的向量有BO → 共线的向量有AD → ,BC → ,CB →. (3)与DA → =DC → ,N,M 分别是 AD, 10.如图 2-1-7 所示,四边形 ABCD 中,AB → =MA →. BC 上的点,且CN → =MB →. 求证:DN

图 2-1-7

【证明】

→ → → → ∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且 AB∥CD,

∴四边形 ABCD 是平行四边形, → |=|CB → |,且 DA∥CB. ∴|DA → 与CB → 的方向相同,∴CB → =DA →. 又∵DA → =NA →. 同理可证,四边形 CNAM 是平行四边形,∴CM → |=|DA → |,|CM → |=|NA → |,∴|MB → |=|DN → |, ∵|CB → 与MB → 的方向相同,∴DN → =MB →. 又∵DN [能力提升] 1.如图 2-1-8 所示,△ABC 的三边均不相等,E,F,D 分别是 AC,AB, → 的模相等的向量共有( BC 的中点,则与EF )

图 2-1-8 A.6 个 C.4 个 【解析】 B.5 个 D.3 个 ∵E,F,D 分别是边 AC,AB 和 BC 的中点,

1 1 ∴EF=2BC,BD=DC=2BC. → 的模相等的向量是FE →, →, →, →, 又∵AB, BC, AC 均不相等, 从而与EF BD DB DC →. CD 【答案】 B

→ ∥CD → 且|AB → |≠|CD → |,则四边形 ABCD 的形状是 2.在四边形 ABCD 中,AB ________. 【导学号:66470040】 【解析】 → ∥CD → 且|AB → |≠|CD → |, ∵AB

∴AB∥DC,但 AB≠DC,∴四边形 ABCD 是梯形. 【答案】 梯形

→ 3.已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60° ,则|BD|=________. 【解析】 易知 AC⊥BD,且∠ABD=30° ,设 AC 与 BD 交于点 O,则 AO

1 → |= 3,∴|BD → |=2|BO → |=2 3. =2AB=1.在 Rt△ABO 中,易得|BO 【答案】 2 3

4.如图 2-1-9 所示, 平行四边形 ABCD 中, O 是两对角线 AC, BD 的交点, → |M,N∈S,且 M,N 不重合}, 设点集 S={A,B,C,D,O},向量集合 T={MN 试求集合 T 中元素的个数.

图 2-1-9 【解】 由题可知, 集合 T 中的元素实质上是 S 中任意两点连成的有向线段, → ,AC → ,AD → ,AO →, 共有 20 个,即AB → ,BC → ,BD → ,BO → ,CA → ,CB → ,CD → ,CO → ,DA → ,DB → ,DC → ,DO → ,OA → ,OB →, BA → ,OD → .由平行四边形的性质可知,共有 8 对向量相等,即AB → =DC → ,AD → =BC →, OC → =CB → ,BA → =CD → ,AO → =OC → ,OA → =CO → ,DO → =OB → ,OD → =BO → .又集合元素具有 DA 互异性,故集合 T 中的元素共有 12 个.


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