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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第2章 导数的概念及其几何意义 第三课时参考教案


§2

导数的概念及其几何意义
导数的几何意义(二)

第三课时

一、教学目标:掌握切线斜率由割线斜率的无限逼近而得,掌握切线斜率的求法. 二、教学重点,难点: (1)能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方 法; (2)会求曲线上一点处的切线斜率. 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、问题情境 1.情境:设 P 是曲线上的一点,将点 P 附近的曲线放大、再放大,则点 P 附近将 逼近一条确定 的直线 l .

2.问题:怎样找到在曲线上的一点 P 处最逼曲线的直线 l 呢? y (二) 、学生活动 如上图直线 l1 , l2 为经过曲线上一点 P 的两条直线. (1)判断哪一条直线在点 P 附近更加逼近曲线. (2)在点 P 附近能作出一条比 l1 , l2 更加逼近曲线 的直线 l3 吗? (3)在点 P 附近能作出一条比 l1 , l2 , l3 更加逼近曲线的直线 l4 吗? (三) 、建构数学
-1-

l1
l2

P

O

x

1.割线及其斜率:连结曲线 C 上的两点的直线 PQ 叫曲线 C 的割线, 设曲线 C 上的一点 P( x, f ( x)) ,过点 P 的一条割线交曲线 C 于另一点
Q( x ? ?x, f ( x ? ?x)) ,则割线 PQ 的斜率为

kPQ ?

f ( x ? ?x) ? f ( x) f ( x ? ?x) ? f ( x) . ? ( x0 ? ?x) ? x0 ?x

2. 切线的定义:随着点 Q 沿着曲线 C 向点 P 运动,割线 PQ 在点 P 附近越来越逼 近曲线 C 。当点 Q 无限逼近点 P 时,直线 PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直 线 l ,这条直线 l 也称为曲线在点 P 处的切线; 3. 切线的斜率:当点 Q 沿着曲线 C 向点 P 运动,并无限靠近点 P 时,割线 PQ 逼 近点 P 处的切线 l ,从而割线的斜率逼近切线 l 的斜率,即当 ?x 无限趋近于 0 时,
f ( x ? ?x) ? f ( x) 无限趋近于点 P( x, f ( x)) 处的切线的斜率. ?x

(四) 、数学运用 1.例题: 例 1.已知曲线 y ? x2 , (1)判断曲线 P(1,1) 在点 P 处是否有切线,如果有,求切线的斜率,然后写出 切线的方程. (2)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线斜率。 分析: (1)若 Q 是曲线 y ? x2 上点 P 附近的一点,当 Q 沿着曲线 y ? x2 无限接近点
P 时, 割线 PQ 的斜率是否无限接近于一个常数. 若有, 则这个常数是曲线 y ? x2 在

点 P 处的切线的斜率; (2)为求得过点 (2, 4) 的切线斜率,我们从经过点 (2, 4) 的任 意一点直线(割线)入手。 解: (1)在曲线 y ? x2 上点 P 附近的取一点 Q ,设点 Q 的横坐标为 1 ? ?x , 则函数的增量为 ?y ? (1 ? ?x)2 ?1 ? 2?x ? (?x)2 ,

-2-

∴割线 PQ 的斜率为 kPQ ?

?y 2?x ? (?x)2 ? ? 2 ? ?x , ?x ?x

∴当 ?x 无限趋近于 0 时, kPQ ? 2 ? ?x 无限趋近于常数 2, ∴曲线 y ? x 2 在点 P 处有切线,且切线的斜率为 2 , ∴所求切线方程是 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 . (2)设 P(2, 4) , Q(2 ? ?x,(2 ? ?x)2 ) ,则割线 PQ 的斜率为
kPQ ? (2 ? ?x)2 ? 4 ? 4 ? ?x ?x

当 ?x 无限趋近于 0 时, 从而曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, 4) 处 k PQ 无限趋近于常数 4, 切线的斜率为 4 。 例 2.已知 f ( x) ? 2 x2 ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的斜率. 分析:为了求过点 (1, 2) 的切线的斜率,要从经过点 (1, 2) 的任意一条割线入手. 解:设 P(1, 2) , Q(1 ? ?x, 2(1 ? ?x) 2 ? 2) ,则割线 PQ 的斜率:
kPQ 2(1 ? ?x)2 ? 2 ? 2 2(?x 2 ? 2?x) 2?x ? 4 ? ? ? . 2 ?x ?x( 2(1 ? ?x) ? 2 ? 2) 2(1 ? ?x) 2 ? 2 ? 2

当 ?x 无限趋近于 0 时, k PQ 无限趋近于常数 1,∴曲线 y ? f ( x) 在点 P 处有切 线,且切线的斜率为 1 . 例 3.已知曲线方程 y ? 解:设 Q(2 ? ?x,
1 ,求曲线在 P(2, ?1) 处的切线方程. 1? x

1 ) 是点 P 附近的一点, 1 ? (2 ? ?x)

k PQ

1 ?1 ??x 1 1 ? (2 ? ?x) ? ? ? . ?x ?x(?1 ? ?x) 1 ? ?x

当 ?x 无限趋近于 0 时, k PQ 无限趋近于常数 1,∴曲线 y ? f ( x) 在点 P 处有切线, 且切线的斜率为 1 .所求直线方程: x ? y ? 3 ? 0 .
-3-

2.练习:练习 第 1,2,3 题;习题 2-2A 组中 第 3 题. (五) .回顾小结:求切线斜率一般步骤是:①求函数增量与自变量增量的比 ②判断当 ?x 无限趋近于 0 时, (六) .课外作业: 1、补充:判断曲线 y ? 2x2 在点 P(1, 2) 处是否有切线?如果有,求出切线的方程. 2、习题 2-2 中 B 组 1、2 五、教后反思:
?y ; ?x

?y 是否无限趋近于一常数;③求出这个常数. ?x

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