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人教A版选修2-1第二章第4课时导学案§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)


§2.2.1
学习目标

椭圆及其标准方程(2)

1.掌握点的轨迹的求法; 2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程.

学习过程
一、课前准备 复习 1:椭圆上 距离是

x2 y 2 ? ? 1 一点 P 到椭圆的左焦点 F1 的距离为 3 ,则 P 到椭圆右焦点 F2 的 25

9 .


复习 2:在椭圆的标准方程中, a ? 6 , b ? 35 ,则椭圆的标准方程是 二、新课导学 ※ 学习探究 问题:圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 的圆心和半径分别是什么? 问题:圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ; 上.

反之,到点 (?3,0) 的距离等于 2 的所有点都在圆

※ 典型例题 例 1 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上 运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?

变式: 若点 M 在 DP 的延长线上,且

DM 3 ? ,则点 M 的轨迹又是什么? DP 2

小结:椭圆与圆的关系:圆上每一点的横(纵)坐标不变,而纵(横)坐标伸长或缩短就 可得到椭圆.

例 2 设点 A, B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0? ,.直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们的斜率之积

4 是 ? ,求点 M 的轨迹方程 . 9

变式:点 A, B 的坐标分别是 ? ?1,0? , ?1,0? ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且直线 AM 的斜率 与直线 BM 的斜率的商是 2 ,点 M 的轨迹是什么?

※ 动手试试 练 1.求到定点 A ? 2,0 ? 与到定直线 x ? 8 的距离之比为
2 的动点的轨迹方程. 2

练 2.一动圆与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆 心的轨迹方程式,并说明它是什么曲线.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. ①注意求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标,然后找出含有该点坐标相关等式; ②相关点法:寻求点 M 的坐标 x, y 与中间 x0 , y0 的关系,然后消去 x0 , y0 ,得到点 M 的 轨迹方程. ※ 知识拓展 椭圆的第二定义: 到定点 F 与到定直线 l 的距离的比是常数 e (0 ? e ? 1) 的点的轨迹. 定点 F 是椭圆的焦点; 定直线 l 是椭圆的准线; 常数 e 是椭圆的离心率.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.若关于 x, y 的方程 x2 sin ? ? y 2 cos ? ? 1 所表示的曲线是椭圆,则 ? 在( ) . A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若 ?ABC 的个顶点坐标 A(?4,0) 、 B(4,0) , ?ABC 的周长为 18 ,则顶点 C 的轨迹方程 为( ) . x2 y 2 y 2 x2 A. ? B. ?1 ? ? 1 ( y ? 0) 25 9 25 9 x2 y 2 x2 y 2 C. ? D. ? ? 1 ( y ? 0) ? 1 ( y ? 0) 16 9 25 9

3.设定点 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) ,动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? m ?

4 (m ? 0) ,则点 P 的轨 m

迹是( ) . A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 2 2 4.与 y 轴相切且和半圆 x ? y ? 4(0 ? x ? 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是 5. 设 F1 , F2 为定点, | F1 F2 |= 6 , 动点 M 满足 | MF1 | ? | MF2 |? 6 , 则动点 M 的轨迹是

. .

课后作业
1.已知三角形△ ABC 的一边长为 6 ,周长为 16 ,求顶点 A 的轨迹方程.

2.点 M 与定点 F (0, 2) 的距离和它到定直线 y ? 8 的距离的比是 1 : 2 ,求点的轨迹方程式, 并说明轨迹是什么图形.


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