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复数讲义





i4n+3=-i, i4n=1 ? n ? Z ?
王新敞
奎屯 新疆

2014.5

一、知识点梳理: 1、i 的周期性: i4=1,所以,i4n+1=i, i4n+2=-1,

i 4n ? i 4n?1 ? i 4n?2 ? i 4n?3 ? 0 ? n ? Z ?
2、复数的代数形式:a ? bi ? a, b ? R ? ,a 叫实部,b 叫虚部,实部和虚部都是实数。
C ? ?a ? bi | a, b ? R? 叫做复数集。N Z Q R C.

3、复数相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c且b=d ; a ? bi ? 0 ? a ? 0且b=0
?实数 (b=0) ? 4、复数的分类: 复数Z ? a ? bi ? ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ?

虚数不能比较大小,只有等与不等。即使是 3 ? i, 6 ? 2i 也没有大小。 5 、 复 数 的 模 : 若 向 量 OZ 表 示 复 数 z , 则 称 OZ 的 模 r 为 复 数 z 的 模 ,
z ?| a ? bi |? a 2 ? b 2 ;

积或商的模可利用模的性质 (1) z1 ? 6、复数的几何意义:

zn ? z1 ? z2 ?

(2) ? zn ,

z z1 ? 1 z2 z2

?z

2

? 0?

一一对应 ? 复平面内的点 Z (a, b) 复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? ????

复数Z ? a ? bi ? a, b ? R ?

一一对应

? 平面向量OZ ,
王新敞
奎屯 新疆

7、复平面:这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面,其中 x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 ,实轴上的点都表示实数;除了原点外, 虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算 复数 z1 与 z2 的和:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 复数 z1 与 z2 的差:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义:复数 z1=a+bi,z2=c+di ? a, b, c, d ? R ? ;OZ = OZ 1 + OZ2 =(a,

? a, b, c, d ? R? ? a, b, c, d ? R?

b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i 复 数 减 法 的 几 何 意 义 : 复 数 z1-z2 的 差 (a - c)+(b - d)i 对 应 由 于
王新敞
奎屯 新疆

Z2 Z 1 ? OZ 1?

, 两个复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向 O2 Z

量对应. 9. 特别地, z AB ? zB-zA., z AB ? AB ? z B ? z A 为两点间的距离。

| z ? z1 |?| z ? z2 | z 对应的点的轨迹是线段 Z1Z 2 的垂直平分线;| z ? z0 |? r , z 对应
的点的轨迹是一个圆; | z ? z1 | ? | z ? z2 |? 2a ? Z1 Z2 ? 2 a? , z 对应的点的轨迹是 一个椭圆; | z ? z1 | ? | z ? z2 | ? 2a ? Z1Z 2 ? 2a ? , z 对应的点的轨迹是双曲线。
z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2 z1 ? z2
2 2

10、显然有公式:

?

2

2

?
? a, b, c, d ? R?

11、复数的乘除法运算: 复数的乘法:z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 实数集 R 中正整数指数的运算律,在复数集 C 中仍然成立.即对 z ,z ,z ∈C 及 1 2 3 * m,n∈N 有: 复数的除法: m n m+n z z =z , m n mn (z ) =z , n n n (z z ) =z z . 1 2 1 2

a ? bi ac ? bd bc ? ad z1 ? i = ? (a+bi) ? (c+di)= c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2 z2

? a, b, c, d ? R? ,分

母实数化是常规方法 12、共轭复数:若两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫 互为共轭复数;特别地,虚部不为 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数;

z ? a ? bi, z ? a ? bi ? a, b ? R ? ,两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。
z ?| z |? a 2 ? b 2

z ? z ? a 2 ? b2 ? R, z ? z ? z ? z , z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,

2

2

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,

? z1 ? z1 ? ?? ? z2 ? z2

1 1? i 1? i ?i, ? ?i 13、熟记常用算式: ? ?i , (1 ? i)2 ? 2i , (1 ? i)2 ? ?2i , 1? i 1? i i 14、复数的代数式运算技巧:

(1)① (1 ? i) ? 2i
2

② (1 ? i) ? ?2i
2

1? i ?i ③1? i

1? i ? ?i ④1? i

(2) “1”的立方根

??? ?

1 2

3 i 2 的性质:

①? ? 1
3

②? ? ?
2

③1 ? ? ? ? ? 0
2



??

1

?

? ?1

1

⑤?

??

15、实系数一元二次方程的根问题: (1)当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时,方程有两个实根 x1 , x 2 。 (2)当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时,方程有两个共轭虚根,其中 x1 ? x2 。 此时有
x1
2

? x2

2

? x1 x 2 ?

c ? b ? ? ?i 且 x1, 2 ? 。 a 2a

注意两种题型:(1)x1 ? x2

(2)x1 ? x2

虚系数一元二次方程有实根问题:不能用判别式法,一般用两个复数相等求解。 但仍然适用韦达定理。 已知 x2 ? x1 是实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根,求 x2 ? x1 的方法:
2 (1)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,

x 2 ? x1 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?
2 (2)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,

b 2 ? 4ac a

x 2 ? x1 ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

4ac ? b 2 a

已知 x1,x 2 是实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根,求 x 2 ? x1 的方法: (1)当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时, c b ① x1 ? x2 ? 0, 即 ? 0 ,则 x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? a a ② x1 ? x2 ? 0, 即
c ? 0 ,则 x 2 ? x1 ? x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? a

b 2 ? 4ac a

2 (2)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,

x2 ? x1 ? 2 x1 ? 2 x1 ? x2 ? 2
二、典例分析: (1+i)2 例 1. (1)复数 等于( 1-i A.1-i

c a

) C.-1+ i D.-1-i

B.1+i

解析: 复数

(1+i)2 2i ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i ,选 C. = 1-i 1? i
? ?

( 2 ) 若 复 数 z 同 时 满 足 z - z = 2 i , z = iz ( i 为 虚 数 单 位 ) ,则 z = . 解:已知 ? Z ? iZ ? 2i ? Z ? 2i ? i ?1 ; 1? i (3)设 a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A.ad-bc=0 B.ac-bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 解析: (1)a, b, c ? R, 复数 (a ? bi)(c ? di) = (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i 为实数, ∴ ad ? bc ? 0 , 选 D; (4)已知 -i 解析:
m ? 1 ? ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m ? ni ? ( 1? i (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i

) (D)2

?1 ? n ? 0 m ? 1 ? ni ? m ? ?1 ? n ? ? ?1 ? n ?i ,由 m 、 n 是实数,得 ? , 1? i ?1 ? n ? m

?n ? 1 ∴? ? m ? ni ? 2 ? i ,故选择 C。 ?m ? 2
(5)设 x, y 为实数,且 解析: 而
x y 5 ? ? ,则 x ? y ? 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i



x y x(1 ? i ) y (1 ? 2i) x y x 2y ? ? ? ? ( ? ) ? ( ? )i , 1 ? i 1 ? 2i 2 5 2 5 2 5

5 5(1 ? 3i) 1 3 x y 1 x 2y 3 ? ? ? i 所以 ? ? 且 ? ? ,解得 x=-1,y=5, 1 ? 3i 10 2 2 2 5 2 2 5 2

所以 x+y=4。 点评:本题考查复数的运算及性质,基础题。
? 2? ? ?? 例 2: (1)计算: ? 1 ? i 1 ? 2 3i ? ? ? 答案: ? 1 ? i ?2 3 ?i
1996

(2)设复数 z 满足关系 z ? | z |? 2 ? i ,求 z; 解:设 z=a+bi(a,b 为实数) ,由已知可得 a ? bi ? a 2 ? b 2 ? 2 ? i
? 3 3 ?a ? a 2 ? b 2 ? 2 由复数相等可得: ? ,解得 a ? , b ? 1 ,所以 z ? ? i 4 4 ? ?b ? 1

设 z=a+bi-x+yi(a,b 为实数)复数问题实数化。

(3)若 x ? C ,解方程 | x |? 1 ? 3i ? x 解:设 x=a+bi (a,b∈R)代入条件得: a 2 ? b 2 ? 1 ? a ? (3 ? b)i ,由复数相等的 定义可得:

? a2 ? b2 ? 1 ? a ,∴a=-4,b=3,∴x=-4+3i。 ? ?3 ? b ? 0

例 3:(1)复数 z 满足 | z ? i |2 ? | z ? i |2 ? 1 ,则 z 对应的点在复平面内表示的图形 为(A) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 2 2 2 2 解:令 z=x+yi(x,y∈R) ,则 x +(y+1) -[x +(y-1) ]=1,∴y=1/4。故选 A。 (2)设复数 z 满足: | z ? 3 ? 3i |? 3 ,求|z|的最大值与最小值; 解:|z|的最大值为 3 3 ,最小值为 3 ; (3)已知 z∈C,|z-2|=1 且复数 z-2 对应的点落在直线 y=x 上,求 z。 解:设 z-2=a+ai,∵|z-2|=1,∴ a ? ?
2 , 2

∴z?2?

2 2 2 2 ? i或z ?2? ? i。 2 2 2 2

【思维点拨】从整体出发利用条件,可简化运算,本题也可设 z=a+bi 再利用条 件,但运算复杂。 (4) 设 z ? C,1 ?| z |? 2 , 则 复 数 u ? z(1 ? i) , 在 复 平 面 内 对 应 的 图 形 面 积 为 _______。 解: ∵|u|=| z |? |1+i|= 2 |z|, ∴ 2 ≤|u|≤2, 故面积 S= ? [22 ? ( 2 ) 2 ] ? 2? 。 【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。 例 4:已知 z=1+i,a,b 为实数, (1)若ω=z2+3 z -4,求|ω|; (2)若
z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求 a,b 的值。 z2 ? z ?1

解: (1)ω=(1+i)2+3(1-i)-4=―1―i,∴ | ? |? 2 。 (2)由条件

?a ? ?1 (a ? b) ? (a ? 2)i ? 1 ? i ,∴ (a ? b) ? (a ? 2)i ? 1 ? i ,∴ ? 。 i ?b?2

【思维点拨】利用复数的充要条件解题。

例 5:设 z ? C , 且

z 是纯虚数,求 | z ? i | 的最大值。 z ?1
z z x2 ? y2 ? x y ,∵ 是纯 ? ? 2 2 2 2 z ? 1 ( x ? 1) ? y z ?1 ( x ? 1) ? y
y O P 1/2 x

解:令 z=x+yi(x,y∈R) ,则 虚数,

2 1 1 ? 2 ∴ ? x ? y ? x ? 0 ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ( y ? 0) ,由数形 y?0 2 4 ?

-1 1 1 结合可知本题是求圆 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ( y ? 0) 上的点到 A(0, 2 4

-1)的最大距离。∴ | z ? i | max=|PA|=

5 ?1 。 2

练习: 1.已知复数z与( z ? 2) 2 ? 8i均是纯虚数,则 z ? ______ Z ? ?2i 2..若(a ? 2i ) i ? b ? i ,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则a 2 ? b 2 =( D ) A.0 B.2 C. 5 D.5
2

3.设复数ω=- 1 + 3 i,则 1+ω=( ) C 2 2 2 (A)–ω (B)ω (C) ? 1 (D) 12
?
?

4.复数 z ? 1 1? i A. 1 ? 1 i
2 2

的共轭复数是(B ) B. 1 ? 1 i
2 2

C. 1 ? i

D. 1 ? i

5.若复数 z 满足方程 z 2 ? 2 ? 0 ,则 z 3 ? ( ) D A. ?2 2 B. ?2 2 C. ?2 2i D. ?2 2i 6. 设 a 、 b 、 c 、 d ? R ,若 a ? b i 为实数,则
c?di (B) bc ? ad ? 0

( C

) (D) bc ? ad ? 0

(A) bc ? ad ? 0 (C) bc ? ad ? 0 2 7.如果复数 (m ? i)(1 ? mi) 是实数,则实数 m ? ( ) B A. 1 8. ( B. ?1 C. 2 ( ) A D. ? 2

1 ? i 2005 ) ? 1? i

A. i B.- i C. 2 2005 D.- 2 2005 9.满足条件 | z ? i| ?|3 ? 4i| 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( )C A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 8 z 10.若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且 1 为纯虚数,则实数 a 的值为 .a ? 3 z2 11.已知 m ? 1 ? ni,其中 m,n是实数, i是虚数单位,则 m ? ni ?
1? i

C (D)2- i

(A)1+2i

(B) 1-2i

(C)2+i

12、复数 (1 ? i)3 的虚部为 (A)3
3

(B)-3

(C)2

(D)-2

解析:复数 ?1 ? i ? = 1 ? 3i ? 3 ? i ? ?2 ? 2i ,所以它的虚部为-2,选 D. 13、在复平面内,复数
1? i 对应的点位于 i (B)第二象限

(A)第一象限 (C)第三象限 ( D)第四 象限 1? i ( i 1+i) = =1-i 故选 D; 解: i -1 点评:复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点,属于比较基本的题 目,主要考察复数的的分类和几何性质。 3?i 2 14、求满足条件: z ? ( z ? z )i ? (i 为虚数单位)的复数 z 2?i [解]原方程化简为 z ? ( z ? z )i ? 1 ? i , 设 z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
1 3 ∴x2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=- 且 y=± , 2 2
2

∴原方程的解是 z=-

1 3 ± i. 2 2

15、 已知 z1 ? x 2 ? x 2 ? 1 ? i ,z 2 ? ( x 2 ? a)i 对于任意的 x∈R 均有|z1|>|z2|成立, 试求实数 a 的取值范围。 解:∵|z1|>|z2|,∴ x 4 ? x 2 ? 1 ? ( x 2 ? a) 2 ,∴ (1 ? 2a) x 2 ? (1 ? a 2 ) ? 0 ,对 x ? R 成立。 当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?
1 时,不等式成立; 2

1 ? 2a ? 0 ? 1 1 ? ?1 ? a ? 。综上得 a ? ( ?1, ] 。 当 1 ? 2a ? 0 时 ? 2 2 2 ?? 4(1 ? 2a)(1 ? a ) ? 0
【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。 1.复数的概念 例 1.实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是(1)实数?(2)虚数?(3) 纯虚数?(4)对应的点 Z 在第三象限? 解:复数 z=m+1+(m-1)i 中,因为 m∈R,所以 m+1,m-1 都是实数,它们分别 是 z 的实部和虚部, ∴ (1)m=1 时,z 是实数; (2)m≠1 时,z 是虚数;

?m ? 1 ? 0 ? (3)当 ?m ? 1 ? 0 时,即 m=-1 时,z 是纯虚数; ?m ? 1 ? 0 ? (4)当 ?m ? 1 ? 0 时,即 m<-1 时,z 对应的点 Z 在第三象限。
例 2.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x, y∈R,求 x, y.

? 2x ?1 ? y 5 ? 1 ? ? (3 ? y ) 解:根据复数相等的意义,得方程组 ? ,得 x= 2 , y=4.
例 3. 已知 x 与 y 实部相等, 虚部互为相反数, 且(x+y)^2-3xyi=4-6i, 求 x, y. 解:由题意设 x=a+bi,y=a-bi (a, b∈R),则代入原式得

? 4a 2 ? 4 ?a ? ?1 ?a ? 1 ? a ? 1 ? ? ? ? 2 2 (2a)2- 3(a2+b2)i=4 -bi ? ??3(a ? b ) ? ?6 , ? ?b ? 1 或 ?b ? ?1 或 ? b ? 1 或
?a ? ?1 ? x ? 1 ? i ? x ? 1 ? i ? x ? ?1 ? i ? x ? ?1 ? i ? ? ? ? ? ?b ? ?1 ,∴ ? y ? 1 ? i 或 ? y ? 1 ? i 或 ? y ? ?1 ? i 或 ? y ? ?1 ? i .
2m2 ? 3m ? 2 2 例 4.当 m 为何实数时,复数 z= m ? 25 +(m2+3m-10)i; (1)是实数; (2)

是虚数; (3)是纯虚数. 解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法.

?m 2 ? 3m ? 10 ? 0 ? 2 (1)z 为实数,则虚部 m2+3m-10=0,即 ? m ? 25 ? 0 ,
解得 m=2,∴ m=2 时,z 为实数。

?m 2 ? 3m ? 10 ? 0 ? 2 (2)z 为虚数,则虚部 m2+3m-10≠0,即 ? m ? 25 ? 0 ,
?2m2 ? 3m ? 2 ? 0 ? 2 ?m ? 3m ? 10 ? 0 ? m2 ? 25 ? 0 解得 m≠2 且 m≠±5. 当 m≠2 且 m≠±5 时,z 为虚数. ? ,
1 1 解得 m=- 2 , ∴当 m=- 2 时,z 为纯虚数.

诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件, 还应特别注意分母不为零这一要求. 例 5.计算:i+i^2+i^3+??+i^2005.

解:此题主要考查 in 的周期性. i+i^2+i^3+??+i^2005=(i+i^2+i^3+i^4)+??+(i^2001+i^2002+ i^2003+ i^2004)+i^2005 =(i-1-i+1)+ (i-1-i+1)+??+(i-1-i+1)+i =0+0+??+0+i=i. 或者可利用等比数列的求和公式来求解(略) 诠释:本题应抓住 in 的 周期及合理分组. 例 6 . 使 不 等 式 m^2 - (m^2 - 3m)i < (m^2 - 4m + 3)i + 10 成 立 的 实 数 m = . 解:此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法. ∵ m^2-(m^2-3m)i<(m^2-4m+3)i+10, 且虚数不能比较大小,

? m2 ? 10 ? | m |? 10 ? 2 ? ?m ? 3m ? 0 ?m ? 0或 m ? 3 ? 2 ? m ? 4m ? 3 ? 0 ∴? ,解得 ?m ? 3或 m ? 1 ,∴ m=3.
当 m=3 时,原不等式成立. 诠释:本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。
x? y 例 7.已知 z=x+yi(x,y∈R),且 2 ? i log2 x ? 8 ? (1 ? log2 y)i ,求 z.

解:本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法.

? 2x? y ? 8 ? 0 ?x ? y ? 3 ? ? x? y ∵ 2 ? i log2 x ? 8 ? (1 ? log2 y)i ,∴ ?log 2 x ? 1 ? log 2 y ,∴ ? xy ? 2 ,
?x ? 2 ? x ? 1 ? ? 解得 ? y ? 1 或 ? y ? 2 , ∴ z=2+i 或 z=1+2i.
诠释:本题应抓住复数相等的充要条件这一关键,正确、熟练地解方程(指数, 对数方程) 例 10.已知 x 为纯虚数,y 是实数,且 2x-1+i=y-(3-y)i,求 x、y 的值. 解:本题主要考查复数的有关概念,实数与 i 的运算,复数相等的充要条件,方 程组的解法. 设 x=ti (t∈R,且 t≠0) ,则 2x-1+i=y-(3-y)i 可化为 2ti-1+i=y-(3-y)i,即(2t+1)i-1=y-(3-y)i,

?2t ? 1 ? ?(3 ? y) 5 5 ? ? 1 ? y ∴? , ∴y=-1, t=- 2 , ∴ x=- 2 i.
2.复数的四则运算 例 1.计算:

(1 ? i ) 2 n 2( n ?1) (1) (1 ? i ) ,n∈N+;
1 3 3 ?i 6 ? 3 ?i 6 ( ) ?( ) 2 (2)若ω=- 2 + 2 i,ω^3=1,计算 2 ;

(3) ; (4)S=1+2i+3i2+4i3+??+100i99.

( 3 ? 2i)( 5 ? 2i)( 5 ? 3i) 2 ( 2 ? 3i)( 2 ? 5i)

(1 ? i ) 2 n (1 ? i)2 n 2i n [ ] ? (1 ? i)2 ? ( ) ? (?2i) ? (?1) n?1 ? 2i 2( n ?1) 2 ?2i 解: (1) (1 ? i ) = (1 ? i)

? 2i n ? 2k ? 1, k ? N ? ? n ? 2k , k ? N ? . = ??2i
( 3 ?i 6 ? 3 ?i 6 ?1 ? 3i 6 ?1 ? 3i 6 6 ) ?( ) (?i ? ) ? (?i ? ) ? i ? [? 6 ? (? 2 )6 ] 2 2 2 2 =

(2)

=-2.

3 ? 2i ?i (3)由于 2 ? 3i ,

5 ? 2i ?i 2 ? 5i ,

2 2 2 = | i ? i ? ( 5 ? 3i) |?| ( 5 ? 3i) |? ( 5 ? 3) =8. (4)S=1+2i+3i^2+4i^3+??+100i^99 =(1+2i+3i^2+4i^3)+(5i^4+6i^5+7i^6+8i^7)+ ? ? +(97i^96+98i^97+99i^98+100i^99) =(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+??+(97+98i-99-100i) =25(-2-2i)=-50-50i.



( 3 ? 2i)( 5 ? 2i)( 5 ? 3i) 2 ( 2 ? 3i)( 2 ? 5i)

4 例 2.已知复数 z 满足|z-2|=2,z+ z ∈R,求 z.

解:设 z=x+yi, x, y∈R,则
4z 4( x ? yi ) 4x 4y 4 ? x ? yi ? 2 ? x? 2 ? (y ? 2 )i 2 2 x ?y x ?y x ? y2 , z+ z =z+ zz 4y 4 y? 2 x ? y 2 =0, 又|z-2|=2, ∴ (x-2)^2+y^2=4, ∵ z+ z ∈R,∴

联立解得,当 y=0 时, x=4 或 x=0 (舍去 x=0, 因此时 z=0),

? ? x ?1 ? ? y ? ? 3 , z=1± 3 , 当 y≠0 时, ?

∴ 综上所得 z1=4,z2=1+ 3 i,z3=1- 3 i.
1 例 3.设 z 为虚数,求证:z+ z 为实数的充要条件是|z|=1.

证明:设 z=a+bi (a, b∈R,b≠0),于是
1 1 a ? bi a b ? a ? bi ? 2 ? (a ? 2 ) ? (b ? 2 )i 2 2 a ?b a ?b a ? b2 , z+ z =(a+bi)+ a ? bi 1 b 2 2 所以 b≠0, (z+ z )∈R ? b- a ? b =0 ? a^2+b^2=1 ? |z|=1. z ?1 例 4.复数 z 满足(z+1)( z +1)=| z |^2,且 z ? 1 为纯虚数,求 z.

解:设 z=x+yi (x, y∈R),则
1 (z+1)( z +1)=| z |^2+z+ z +1=| z |^2,∴ z+ z +1=0,z+ z =-1,x=- 2 .
2 2 2 z ? 1 ( z ? 1)( z ? 1) ? | z | ? z ? z ? 1 x ? y ? x ? yi ? x ? yi ? 1 | z ? 1|2 | z ? 1|2 z ? 1 = ( z ? 1)( z ? 1) = 为纯虚数,

1 1 3 3 3 ∴ x2+y2-1=0, y=± 2 , ∴ z=- 2 + 2 i 或 z=- 2 - 2 i.

例 5.复数 z 满足(1+2i)z+(3-10i) z =4-34i,求 z. 解:设 z=x+yi (x, y∈R),则(1+2i)(x+yi)+(3-10i)(x-yi) =4-34i, 整理得(4x-12y)-(8x+2y)i=4-34i.

? 4 x ? 12 y ? 4 ?x ? 4 ? ? ∴ ?8 x ? 2 y ? 34 , 解得 ? y ? 1 , ∴ z=4+i.
1 例 6.设 z 是虚数,ω=z+ z 是实数,且-1<ω<2, 1? z (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; (2)设 u= 1 ? z ,求证 u 为 纯虚数;

(3)求ω-u2 的最小值。 解: (1)设 z=a+bi (a, b∈R, b≠0),则 ω=
(a ? a b ) ? (b ? 2 )i 2 a ?b a ? b 2 ,由于ω是实数且 b≠0,∴ a2+b2=1,
2

1 即|z|=1,由ω=2a, -1<ω<2, ∴ z 的实部 a 的的取值范围是(- 2 , 1).
2 2 1 ? z 1 ? a ? bi ? 1 ? a ? b ? 2bi ? ? 2bi 1 2 2 (1 ? a) ? b a ? 1 ,由于 a∈(- 2 , 1), b≠0, (2)u= 1 ? z = 1 ? a ? bi

∴ u 是纯虚数。

b2 1 ? a2 a ?1 2 ? 2 a ? ? 2a ? ? 2a ? 1 ? 2 2 (1 ? a) a ?1 a ?1 (3)ω-u2=2a+ (1 ? a)
2[(a ? 1) ? 1 ]?3 a ?1 ,

=

1 由于 a∈(- 2 , 1),∴ a+1>0,则ω-u2≥2×2-3=1, 1 当 a+1= a ? 1 , 即 a=0 时,上式取等号,所以ω-u2 的最小值为 1.

i?z 例 7.证明: i ? z =1.

解:此题考查复数的运算、模的定义,共轭复数的性质等. 设 z=a+bi,(a, b∈R),则
2 2 i ? z i ? a ? bi ? a ? (1 ? b)i ? a ? (1 ? b) ? 1 ?a ? (1 ? b)i a 2 ? (1 ? b)2 i ? z = i ? a ? bi .

?(i ? z ) i ? z ?i ? z ? ?1 i?z 解 2:∵ i ? z ? i ? z ? ?i ? z ,∴ i ? z = i ? z .

诠释:此题抓住模的定义或共轭复数的性质来求解. 例 8.(2002 年高考)已知复数 z=1+i,求实数 a,b 使 az+2b z =(a+2z)2. 解:此题主要考查共轭复数,复数的四则运算,复数的相等. ∵ z=1+i,∴az+2b z =(a+2b)+(a-2b)i, (a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.

?a ? ?2 ?a ? ?4 ? a ? 2b ? a 2 ? 4a 或? ? ? b ? ? 1 a ? 2 b ? 4( a ? 2) ?b?2 . ∴ ? ,解得 ?
1 ? ti 例 9.若复数 z 满足 z= 1 ? ti (t∈R),求 z 的对应点 Z 的轨迹方程.

解:此题主要考查复数的四则运算,点的轨迹方程的求法等.

(1 ? ti)2 1? t 2 2t 1 ? ti ? ? i 2 2 设 z=x+yi,(x, y∈R),∵ z= 1 ? ti = (1 ? ti)(1 ? ti) 1 ? t 1 ? t ,

? 1? t2 x ? ? ? 1? t2 ? ? y ? 2t ? 1 ? t 2 ,消去参数 t,得 x2+y2= 1,且 x≠-1. ∴ ?

∴ 所求方程为 x2+y2=1(x≠-1) . 诠释:解此题应抓住复数相等的充要条件,从而得到参数方程,消去参数, 或者利用模的定义和性质,求出|z|即可. 例 10.已知复数 z 满足|z|=5,且(3+ 4i)z 是纯虚数,求 z. 解:此题主要考查复数的有关概念,复数的运算,模的定义及计算. 设 z=x+yi(x, y∈R), ∵|z|=5, ∴x2+y2=25, 又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i 是纯虚数,

? x ? 4 ? x ? ?4 ?3 x ? 4 y ? 0 或? ? ? y ? 3 ? y ? ?3 ∴ ?4 x ? 3 y ? 0 , 联立三个关系式解得 ? , ∴ z=4+3i 或 z=-4-3i. 诠释: 解此题应抓住纯虚数的定义和模的定义而得到方程组, 正确解方程组即可.
z 例 11.设 z ? 1 是纯虚数,求复数 z 对应的点的轨迹方程.

解: 此题主要考查复数的有关概念及性质, 四则运算和点的轨迹方程的求法.
z z z z z ? ?0 ( )? ?0 ∵ z ? 1 是纯虚数,∴ z ? 1 z ? 1 ,即 z ? 1 z ? 1 ,

2z ? z ? z ? z ?0 ( z ? 1)( z ? 1) ∴ ,∴ 2z z +z+ z =0,(z≠0,z≠-1),

设 z=x+yi,(x,y∈R),2(x2+y2)+2x=0(y≠0)
1 1 ∴ (x+ 2 )2+y2= 4 (y≠0) .它为复数 z 对应点的轨迹方程.

诠释: 解此题应抓住虚数的定义和共扼复数的性质, 利用运算法则进行求解。


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