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广东省广州东莞五校2011届高三第二次联考(理数)


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2011 届高三级第二次阶段综合测试五校联考

数学(理科) 数学(理科)试卷
试题说明:本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分. 考试时间为 120 分钟. 试题说明 注意事项:答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和

考号填 注意事项 写在答卷上;选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目选项的答案信息点涂黑,答案不能答在答卷上;非选择题必须用黑 色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须答在各题目指定区域内的相应位 置上,不按以上要求作答的答案无效. 小题, 每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 每小题给出的四个选项中, 选择题: 只有一个选项是符合题目要求的 个选项是符合题目要求的. 只有一个选项是符合题目要求的 1.函数 y = 2 sin x 的定义域为 A ,值域为 B ,则 A∩ B =( A. A B. B C. [1,1] D. 2 A ) )

2. y = f (x) 过点 (a, b) ,则其反函数一定经过点( A. (a, b) B. (b, a ) C. (a, a ) D. (b, b)

r r v v v v v v 3.已知向量 a 、 b 满足 a = 1, b = 4, ,且 a b = 2 ,则 a 与 b 的夹角为(
A.



π
6

B.

π
4

C.

π
3

D.

π
2

π 3 π 4. 已知 α ∈ ( , π ), sin α = , 则 tan(α + ) 等于( ) 2 5 4 1 1 A. B. 7 C. D. 7 7 7 5.函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ′( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则 函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极大值点( ) y y = f ′ (x ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 b D.4 个 O a x
W$w#w.k- s+5=u. c.o*m

6.在 1, 2,3, 4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数 的共有( A.36 个 ) B.24 个 C.18 D.6 个

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7.关于直线 m 、 n 与平面 α 、 β ,有下列四个命题: ① m // α , n // β 且 α // β ,则 m // n ; ③ m ⊥ α , n // β 且 α // β ,则 m ⊥ n ; 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4
W$w#w.k -s+5=u .c.o*m

② m ⊥ α , n ⊥ β 且 α ⊥ β ,则 m ⊥ n ; ④ m // α , n ⊥ β 且 α ⊥ β ,则 m // n .

8.抛物线 y = x 2 上的点到直线 4 x + 3 y 8 = 0 距离的最小值是( A.



4 7 8 B. C. D. 3 3 5 5 小题, 小题, 二、 填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 、填空题: 必做题( w.k*s_5 u.c o_m (一)必做题(9~13 题)w_w w.k*

9.

2 = (1 + i )2 1 6 ) 的展开式中的常数项是 a ,则 a = x .

10. ( x

11. 不等式 x 1 + x + 3 ≥ a 恒成立,则 a 的取值范围是

12.已知 f ( x) = A sin( wx + ) , f (α ) = A, f ( β ) = 0 ,| α β | 的最小值为
则正数 w =

π
3

,

13.如图所示,四个正方体图形中, A, B 为正方形的两个顶点, M , N , P 分别为其所 在棱的中点,能得出 AB // 面 MNP 的图形的序号是 求的图形序号) N D A N A D A M M N B D C P P C B M
① ② ③

.(写出所有符合要
A N P P B C B M C


D

考生只能从中选做一题) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)w_w w.k* 选做题( 14 . 直 角 坐 标 系 下 的 ( 1 , 1 ) 化 成 极 坐 标 系 下 的 坐 标 为 . 15.如图,点 A, B, C 是圆 O 上的,且 AB = 4, , ∠ACB = 30o ,则
圆 O 的面积等于

小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说 解答题:
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明、证明过程和演算步骤. 证明过程和演算步骤 16. 本小题满分 12 分) (本小题满分 . (
1 + cos 2 x + a ( a 为常数) . 2 (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期,并指出其单调减区间;

已知函数 f ( x ) = 3 sin x cos x +

π (2)若函数 f ( x ) 在 0,  上的最大值是 2,试求实数 a 的值. 2
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17. (本小题满分 12 分) 从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A : “取出
的 2 件产品都是二等品”的概率 P ( A) = 0.04 (1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; (2)若该批产品共 10 件,从中任意抽取 2 件,ξ 表示取出的 2 件产品中二等品的 件数,求 ξ 的分布列.

18. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形,∠BAC = 90° , O 为 BC 中点. S (1)证明: SO ⊥ 平面 ABC ; (2)求二面角 A SC B 的余弦值.

O B A

C

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19.(本小题满分 14 分)
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设函数 f ( x) = 2 x 3 3(a + 1) x 2 + 6ax + 8, 其中a ∈ R. (1)若 f ( x)在x = 3 处取得极值,求常数 a 的值; (2)若 f ( x)在(∞,0) 上为增函数,求 a 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) . 本小题满分 已知数列 a1 , a 2 , L , a 30 ,其中 a1 , a 2 , L , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;
a10 , a11 , L , a 20 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ; a 20 , a 21 , L , a 30 是 公 差 为 d 2 的 等 差 数 列

( d ≠ 0 ). (1)若 a 20 = 40 ,求 d ; (2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a 30 , a 31 , L , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,……,依次类推, 把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题( (2)应当作为特例) ,并 进行研究,你能得到什么样的结论?
W$w#w.k- s+5=u. c.o*m

21. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 ( 如图,直线 y = kx + b 与椭圆
x2 + y 2 = 1 交于 A,B 两点,记 △ AOB 的面积为 S . 4
y A

(I)求在 k = 0 , 0 < b < 1 的条件下, S 的最大值; (II)当 AB = 2 , S = 1 时,求直线 AB 的方程.

O B

x

(第 21 题)

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2011 届高三级第二次阶段综合测试五校联考

数学( 数学(理)科答卷
三 题号 分数 二 16 17 18 19 20 21 第Ⅱ 卷得 分 总分

W$w#w.k- s+5=u. c.o*m

小题, 小题, 二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 填空题( ) 学号 9. 12. 14. 10. 13. 15.____________(注意 14、15 只选做一题) 11.

小题, 解答应写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或 解答题: 演算步骤
16. (本小题满分 12 分)


17. (本小题满分 12 分) 18. (本小题满分 14 分)
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姓名

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S
W$w#w.k- s+5=u. c.o*m

O

C A

B

19. (本小题满分 14 分) 本

20. (本小题满分 14 分) 本

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新课标网(http://www.xkbw.com)---最专业的中小学教学资源共享平台 21. (本小题满分 14 分)

y A

O B

x

(第 21 题)

2011 届高三级第二次阶段综合测试五校联考

数学( 数学(理)参考答案
一、选择题
BBCAB BBA
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小题, 小题, 二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 填空题( ) 9. 12. - i
3 2 ( 2,

10. 13.

15 (1)(3)

11.

a≤4

14.

π
4

)

15.___ 16π ____(注意 14、15 只选做一题)

小题, 解答应写出文字说明 文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 解答题: 步骤
16. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)∵ f ( x ) =

3 1 + cos 2 x sin 2 x + +a 2 2


π 1 = sin 2 x + + + a …………2 分 6 2
∴ 最小正周期 T =

2π =π 2

………4 分

π 2π 单调递减区间为 kπ + , kπ + 6 3

( k ∈ Z ) .………6 分

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(Ⅱ)令 u = 2 x +

π
6

………7 分,

则 g ( u ) = sin u +

1 π 7π + a , u ∈ , ………9 分. 2 6 6

3 1 f ( x ) 的最大值为 + a =2 ……11 分. 解得 a= …12 分 2 2
17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设任取一件产品是二等品的概率为 P,依题意有………1 分
W$w#w.k-s+5=u.c. o*m

P( A) = P 2 =0.04 …………3 分
解得 p1 = 0.2,p2 = 0.2 (舍去) …………5 分 . 故该批产品中任取 1 件是二等品的概率为 0.2. ………6 分 (2) ξ 的可能取值为 0,2 .………7 分 1, 若该批产品共 10 件,由(1)知其二等品有 10 × 0.2 = 2 件,………8 分 故 P (ξ = 0) =
2 C8 28 = .…9 分 2 C10 45

P(ξ = 1) =

C1 C1 16 8 2 = .…10 分 2 45 C10

P(ξ = 2) =

C2 1 2 = .…11 分 2 C10 45

所以 ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

28 45

16 45

1 45 ………12 分

18. (本小题满分 14 分)

(Ⅰ)由题设 AB= AC = SB= SC = SA ,连结 OA , △ ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 OA = OB = OC = 2 SA ,且 AO ⊥ BC ,又 △SBC 2

S

为等腰三角形, 故 SO ⊥ BC ,………2 分

O B A

C

2 且 SO = SA , 从 而 OA2 + SO 2 = SA2 . 所 以 2 △SOA 为直角三角形, SO ⊥ AO .……4 分
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又 AO I BO = O .所以 SO ⊥ 平面 ABC .……6 分 (Ⅱ)解法一: 取 SC 中 点 M , 连 结 AM,OM , 由 ( Ⅰ ) 知 SO = OC,SA = AC , 得
OM ⊥ SC,AM ⊥ SC .∴ ∠OMA 为二面角 A SC B 的平面角.……9 分

由 AO ⊥ BC,AO ⊥ SO,SO I BC = O 得 AO ⊥ 平面 SBC .……11 分
3 SA , 所以 AO ⊥ OM ,又 AM = 2
故 sin ∠AMO =

z

S
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AO 2 6 = = …13 分 AM 3 3
O

M C A
y

3 …14 分 所以二面角 A SC B 的余弦值为 3
解法二:

x

B

以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空间直角 坐标系 O xyz .设 B (1 0, ,则 C (1 0,,A(0,0) S (0,1) . , 0) , 0) 1 ,, 0,

r r 1 uuur 1 1 uuu 1 1 uuuu 1 SC 的中点 M , , MO = , , = , , = (1 0, 1) . 0, 0, MA 1 , SC , 2 2 2 2 2 2 uuuu uuu r r uuur uuu r ∴ MO SC = 0, = 0 . MA SC
uuuu uuur r 故 MO ⊥ SC,MA ⊥ SC,< MO, MA > 等于二面角 A SC B 的平面角. uuuu uuur r uuuu uuur r MO MA 3 cos < MO, >= uuuu uuur = MA , r 3 MOMA 所以二面角 A SC B 的余弦值为
19. (本小题满分 14 分) 本

3 . 3

(Ⅰ) f ′( x) = 6 x 2 6(a + 1) x + 6a = 6( x a )( x 1). ……2 分 因 f ( x)在x = 3 取得极值, 解得 a = 3. ……6 分 经检验知当 a = 3时, x = 3为f ( x) 为极值点. ……7 分
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所以 f ′(3) = 6(3 a )(3 1) = 0. ……4 分

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(Ⅱ)令 f ′( x) = 6( x a)( x 1) = 0得x1 = a, x2 = 1. ……9 分 当 a < 1时, 若x ∈ (∞, a) U (1,+∞), 则f ′( x) > 0, 所以f ( x)在(∞, a) 和 (1,+∞) 上为增函 数,故当 0 ≤ a < 1时, f ( x)在(∞,0) 上为增函数. ……11 分 当 a ≥ 1时, 若x ∈ (∞,1) U (a,+∞), 则f ′( x) > 0, 所以f ( x)在(∞,1)和(a,+∞) 上为增函 数,从而 f ( x)在(∞,0] 上也为增函数. ……13 分 综上所述,当 a ∈ [0,+∞)时, f ( x)在(∞,0) 上为增函数……14 分
20. (本小题满分 14 分) 本 (1) a10 = 10. ……2 分 a20 = 10 + 10d = 40, ∴ d = 3 ……4 分 (2) a 30 = a 20 + 10d 2 = 10 1 + d + d 2

当 d ∈ ( ∞, 0 ) U ( 0, + ∞ ) 时, a30 ∈ [ 7.5, 10) ∪ (10 + ∞ ) . ……8 分

(

)

(d ≠ 0) …… 6 分

(3)所给数列可推广为无穷数列 { a n } ,其中 a1 , a 2 , L , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数 列,当 n ≥ 1 时,数列 a10 n , a10 n +1 , L , a10 ( n +1) 是公差为 d n 的等差数列. 研究的结论可以是:由 a 40 = a 30 + 10d 3 = 10 1 + d + d 2 + d 3 , ……10 分 研究的问题可以是:试写出 a10 ( n +1) 关于 d 的关系式,并求 a10 ( n +1) 的取值范围.……12 分

(

)

1 d n +1 10 × , d ≠ 1, 依次类推可得 a10 ( n +1) = 10 1 + d + L + d = 1 d 10(n + 1), d = 1. 当 d > 0 时, a10 ( n +1) 的取值范围为 ( 10, + ∞ ) 等.

(

n

)

……14 分

21. (本小题满分 14 分)

21(Ⅰ)解:设点 A 的坐标为 ( x1,b) ,点 B 的坐标为 ( x2,b) ,……1 分
x2 由 + b 2 = 1 ,解得 x1, = ±2 1 b 2 ,……3 分 2 4 1 所以 S = b x1 x2 = 2b 1 b 2 ≤ b 2 + 1 b 2 = 1 .…5 分 2

当且仅当 b =

2 时, S 取到最大值 1 .…6 分 2

y = kx + b, (Ⅱ)解:由 x 2 ……7 分 2 + y = 1, 4 1 得 k 2 + x 2 + 2kbx + b 2 1 = 0 , = 4k 2 b 2 + 1 ,①……8 分 4
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| AB |= 1 + k 2 | x1 x1 | = 1 + k 2

4k 2 b 2 + 1 = 2 .② 1 2 +k 4

…9 分

设 O 到 AB 的距离为 d ,则 d = 所以 b 2 = k 2 + 1 ,……10 分 代入②式并整理,得 k 4 k 2 + 故 直 线 AB 的 方 程 是 y =

2S |b| = 1 ,又因为 d = , | AB | 1+ k 2

1 1 3 = 0 ,解得 k 2 = ,b 2 = ,代入①式检验, > 0 , 4 2 2
2 6 2 6 2 6 x+ 或 y= x 或 y= x+ ,或 2 2 2 2 2 2

y=

2 6 x .……14 分(一条直线 1 分) 2 2

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