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3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式


5.3 平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式
要点透视: 1.要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无 关,只与其相对位置有关. 2.遇到共线向量与平行有关问题,一般应考虑运用向量平行的充要条件. 3.线段的定比分点公式,要注意求定比分点 A 的值,以便顺利求出分点坐 标. 活题解析: 例 1.(2002 年天津卷)平面直角坐标系中, O 是坐标

原点,已知两点 A(3, ??? ? ??? ? ??? ? 1),B(-1,3),若点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB ,其中 α,β∈R,且 α+β=1,则点 C 的轨迹方程是( ) A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=25 C.2x-y=0 D.x+2 y-5=0 ??? ? ??? ? ??? ? 要点精析:I 设 OC =(x,y), OA =(3,1), OB =(-1,3), ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? OA α· =(3α,α),β OB =(-β,3β),又 α OA +β OB =(3α-β,α+3β), ? x ? 3? ? ? ∴ (x,y)=(3α-β,α+3β),∴ ? , ? y ? ? ? 3? 又 α+β=1,因此得 x+2y=5,所以选 D. 思维延伸:本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法. ? ? 例 2.(2003 年江苏卷)已知常数 a>0,向量 c =(0,a), i =(1,0),经过原点 ? ? ? ? O 以 c +λ i 为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)以 i -2λ c 为方向向量的直线相 交于点 P,其中 λ∈R,试问是否存在两个定点 E,F,使得|PE|+|PF|为定值?若 存在,求出 E,F 的坐标;若不存在,说明理由. 要点精析:本题考查平面向量的概念和计算、求轨迹的方法、椭圆的方程和 性质、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综 合解题能力. 解: 根据题没条件, 首先求出点 P 满足的方程, 据此再判断是否存在两定点, 使得 P 到两定点的距离之和为定值. ? ? 因为 i =(1,0), c =(0,a), ? ? ? ? 所以 c +λ i =(λ,a), i -2λ c =(1,-2λa). 因此直线 OP 和 AP 的方程分别为 λy=ax 和 y-a=-2λax, 消去参数 λ,得点 P(x,y)的坐标满足 y(y-a)=-2a2x2, a ( y ? )2 2 x 2 ?1 整理得 ? ① 1 a 2 ( ) 8 2 因为 a>0,所以得 2 (1)当 a= 时,方程① 表示圆,故不存在合乎题意的定点 E 和 F; 2 1 1 a 1 1 a 2 (2) 0<a< 当 时, 方程① 表示椭圆, 焦点 E( F(- ? a 2 , ), ? a2 , ) 2 2 2 2 2 2 2

为合乎题意的两个定点; (3)当 a>

1 1 2 时,方程① 表示椭圆,焦点 E(0, (a ? a 2 ? ) )和 F(0, - 2 2 2

1 1 (a ? a 2 ? ) )为合乎题意的两个定点。 2 2 例 3.如图所示,平行四边形 ABCD 顶点 A 的 坐标为(-2,1),一组对边 AB,CD 的中点分别是 M(3,0),N(-1,-2),求其余顶点坐标. 要点精析:抓住平行四边形是中心对称图形, 用中点坐标即可求解. 解法 1:设其余三个顶点 B,C,D 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3), 因为 M 是 AB 的中点, ? ?2 ? x1 ? 2 ?3 ? x1 ? 8 ? , 解得 ? , 所以 B(8,-1). ? 1 ? y1 ? y1 ? ?1 ? ?0 ? 2 ? MN 的中点为 P(1,-1),且 P 是 AC 中点,可得 C(4,-3). 再由 N 为 CD 中点,可得 D(-6,-1). 所求顶点坐标为 B(8,-1),C(4,-3),D(-6,-1). ???? ? ???? 解法 2:设 B 点坐标(x,y),则 AM = MB ,即(5,-1)=(x—3,y), ?x ? 3 ? 5 ? x ?8 解得 ? ,所以 B(8,-1). ? ? y ? ?1 ? y ? ?1 同理,由 AM=DN=NC,求得 C(4,-3),D(-6,-1). 思维延伸: 本题的两种解法体现了线段的定比分点坐标公式与向量坐标运算 的统一性.同时,还体现了向量坐标运算的优越性.







一、选择题 1.已知平行四边形三个顶点的坐标为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四点的 坐标为( ) A.(1,5)或(5,-5) B.(1,5)或(-3,-5) C.(5,-5)或(-3,-5) D.(1,5)或(-3,-5)或(5,-5) ???? ??? ? ??? ? ???? ? ? 2.在梯形 ABCD 中,AB//CD,且| AB |=λ| DC |(λ≠0).若 AB = a , AD = b , ??? ? 则 AC 等于( ) ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? A.λ a + b B. a +λ b C. a + b D. a + b ? ? ? ? ? ? ? ? 3.已知 a =(-2,5),| b |= 2| a |.若 b 与 a 反向,则 b 等于( ) 5 5 A.(-4,10) B.(4,-10) C.(-1, ) D.(1.- ) 2 2 ???? ? 1 4.设点 P( 2,3)分有向线段 PP 所成之比为 ,点 P1 的坐标为(1,2),则 P2 的 1 2 2 坐标是( )

A.(2,3) B.(5,4) C.(4,5) D.(5,6) 5.已知△ABC 的三个顶点 A(0,3),B(3,3),C(2,0).若直线 x=a 将△ABC 分割成面积相等的两部分,则实数 a 的值为( ) 3 2 2 A. 3 B.1+ C.1 D. 2 2 3 1 6.在△ABC 中,A( 0,7),B(-4,5),重心 G(0, ),则△ABC 为( ) 3 A.锐角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 二、填空题: ? ? ? ? ? ? 7.已知两个向量 a =(3,4),b =(2,-1),若 a +x b 与 a - b 平行,则 x= . ??? ? 8.已知 A(-3,2), AB =( 8,0),则线段 AB 中点的坐标为 . ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? 9.设 a ,b 是不共线的两个向量,已知 AB =2 a +k b , BC = a + b ,CD = a -2 b , 若 A,B,D 三点共线,则 k 的值为 . 10.已知三点 A(1,1),B(2,-4),C(x,-9)共线,则 x 的值是 . 三、解答题: ? ? ? ?? 11.已知向量 a =(8,2), b =(3,3), c =(6,12), p =(6,4).问:是否存在实数 ?? ? ? ? x,y,z,同时满足下列两个条件:① p =x a +y b +z c ,② x+y+z=1?如果存在, 请求出 x,y,z 的值;如果不存在,请说明理由. 12.如图所示,已知三点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3, ??? ? 1 y3),D 点分 AB 的比是 ,E 在 BC 上,且使△BDE 的 3 面积是△ABC 的一半,求向量 DE 的坐标.

13 . 如 图 所 示, 已 知四 边 形 ABCD 是 正方 形 , ??? ??? ? ? BE // AC ,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于 F 点,求证 AF=AE。

2? 4? 6? ? cos ? cos 的值。 7 7 7 ? ??? ? ??? ??? ? 15.已知点 O( 0,0),A( 1,2),B( 4,5)及 OP = OA +t AB ,试问: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 的值;若不 能,请说明理由。

14.运用向量的观点求 cos


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