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河北省石家庄市平山中学2015届高三数学上学期期中试题 文


2014 年秋季高三期中考试试卷数学(文科)试题
温馨提示:卷面整洁,格式规范附加分 2 分。 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题). 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设全集 U

? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1, 2},则 ? U A 等于( A. {3, 4} B. {1, 2} C. {0,3, 4} ) D. {0,1, 2,3, 4} )

2.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点(2,4) ,则 f ( x ) 的解析式( A. f ( x ) ? 2 x B. f ( x) ? x2 C. f ( x) ? 2x

D. f ( x ) ? x ? 2

3. 已知 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S7 ? 14 ,则 a3 ? a5 的值为( ) A.

2

B.

4

C.

7

D.

8

4. ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边边长分别为 a, b, c ,若 a ?

5 b, A ? 2 B ,则 cos B ? ( ) 2

A.

5 3
D.

B.

5 4
甲 8 6 3 6 8 8 9 2 1 0 1 2 3 4 5 5 3 3 3 4 5 乙 的 2 5 1 4 0 5 4 6 1 6 7 9 9

C.

5 5

5 6
) 4 3 3

5. 已知某赛季甲、 乙两名篮球运动员每场比赛得分 茎叶图(如图所示),则 (

A.甲篮球运动员比赛得分更稳定,中位数为 26 B.甲篮球运动员比赛得分更稳定,中位数为 27 C.乙篮球运动员比赛得分更稳定,中位数为 31 D.乙篮球运动员比赛得分更稳定,中位数为 36

6.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示, 则该三棱锥的体积为( A. 4 3 C. 12 3 )

B. 8 3 D. 24 3

侧视图

俯视图 )

7.在△ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,则“ a ? b ”是“ sin A ? sin B ”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

-1-

8.下列各数中,与函数 f ( x) ? x3 ? x ? 3 的零点最接近的是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

)

9.如图所示的程序框图,运行后输出的结果为( A.2 C.8 B.4 D.16

10.已知, l , m 是两条不重合的直线, ? , ? , ? 是三个不重合的 平面,给出下列条件,能得到 ? // ? 的是( A. l // ? , l // ? C. m ? ? , l ? ? , m // ? , l // ? )

B. ? ? ? , ? ? ? D. l ? ? , m ? ? , l // m

11.如图 e1 , e2 为互相垂直的单位向量,向量 a ? b 可表示为( A. ?2e1 ? 4e2 C. 3e2 ? e1 B. e1 ? 3e2 D. 3e1



? e2

12.已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点, PB ? OC ? 2PA ? 0 ,现将一粒黄豆随机撒在 ?ABC 内,则黄 豆 落在 ?PBC 内的概率是 ( A. )

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.复数

2i = 1? i

.

? x ? 0, ? , 则z ? x ? 3 y 的最大值为 14.已知实数 x,y 满足条件 ? y ? x, ?2 x ? y ? 6 ? 0 ?
则 ab 的最大值为 16.下面有三个命题: .

.

15.若直线 l : ax ? by ? 4 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 始终平分圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 1 ? 0 ,

1 的最小值为 2; 2x ? ? ③ 将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 个单位,可以得到函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象; 6 6
① 当 x ? 0 时, 2 ?
x

④ 在 Rt ?ABC 中, AC ? BC, AC ? a, BC ? b ,则 ?ABC 的外接圆半径 r ?

2 2 a ?b 2



类比到空间,若三棱锥 S-ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,且长度分别

-2-

为 a、b 、c,则三棱锥 S-ABC 的外接球的半径 R ?

a 2 ? b2 ? c2 . 2

其中错误 命题的序号为______________(把你认为错误命题的序号都填上) . .. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC中, cos A ? (I)求角 C; (II)设 AB ?

5 3 10 , sin B ? . 5 10

2, 求?ABC 的面积.

18、 (本小题满分 12 分) 已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图 为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形. (I)若 M 为 CB 中点,证明: MA // 平面CNB1 ; (II)求这个几何体的体积.

19. (本小题满分 12 分) 某班 50 名学生在一次数学测试中, 成绩全部介于 50 与 100 之间, 将测试结果按如下方式分成五组: 第一组 ?50,60 ? ,第二组 ?60,70 ? ,?,第五组 [90,100] . 下图是 按上述分组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ)若成绩大于或等 60 且小于 80,认为合格, 求该班在这次数学测试中成绩合格的人数; (Ⅱ)从测试成绩在 ?50,60? ? [90,100] 内的所有学生中 随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为 m、n, 求事件“ | m ? n |? 10 ”概率.

20、 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差大于 0, 其中 a3 , a5 是方程 x 数列

2

? 14 x ? 45 ? 0 的两根,

?b ? 的前 n
n

项和为 S n ,且 Sn
n

?

(Ⅰ)求数列 ?an ? , (Ⅱ)若 cn

? an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和为 T
2

?b ? 的通项公式;

1 ? bn ( n ? N*). 2

n

21、(本题满分 12 分) 已知向量 m ? (2 cos (Ⅰ)求函数

x, 3), n ? (1, sin 2x),函数f ( x) ? m ? n .

f ( x) 的最小正周期及单调增区间;
-3-

(Ⅱ)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 且a

A, B, C 的对边,且 f (C ) ? 3 , c ? 1 , ab ? 2 3 ,

? b ,求 a , b 的值.

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? x ln x . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的图像在点 (1,1) 处的切线方程; (Ⅱ)若 k ? Z ,且 k ( x ?1) ? f ? x ? 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值。

2014 年秋季期中考试试卷数学(文科)答案 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每题 5 分,满分 60 分. 1—5 CBBBD 6—10 AABDD 11-12 BC 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每 题 4 分,满分 16 分. 13. ? 1 ? i 14.8 15.1 16.①③ 三、解答题:本题共 6 大题,共 7 4 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.本题主要考查同角三角函数值、诱导公式、两角和的三角函数、运用正弦定理解决与三角形有关问题 的能力,考查学生的运算能力以及化归与转化的数学思想方法,满分 12 分 解: (I)? cos A ?

5 3 10 ? ?? , sin B ? , A, B ? ? 0, ? , 5 10 ? 2?
????4 分

? sin A ?

2 5 10 , cos B ? 5 10

? sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
由 C ? (0,

?
2

),? C ?

?
4

2 . 2

????5 分 ????6 分
-4-

.

(II)根据正弦定理得

? S ?ABC

AB AC AB ? sin B 6 ? ? AC ? ? , sin C sin B sin C 10 1 6 ? AB ? AC ? sin A ? . 2 5

????10 分 ????12 分

18.本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识,考查空间想象能、逻辑思维能力、 运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想。满分 12 分。 解:(I)证:取 CB1 的中点 P,连 MP, ? 已知 M 为 CB 中点,?MP//BB1 ,且 MP= 由三视图可知,四边形 ABB1N 为直角梯形,? AN//BB1且AN=

1 BB1 2
????2 分 ????4 分 ????6 分

1 BB1 2

? MP//AN且MP=AN ,? 四边形 ANPM 为平行四边形,
? AM//NP ,又 AM ? 平面 CNB1,PN ? 平面 CNB1 ,? AM// 平面 CNB1
(II)? 该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,

? BA,BC,BB1 两两垂直
? BC ? BA,BC ? B1B且BB1 与 BA 相交于 B,

? BC ? 平面 AB1BN ,BC 为三棱锥 C-ABN 的高 ????8 分
取 BB1 的重点 Q ,连 QN ,? 四边形 ABB1N 的直角梯形且

1 AN= BB1 =4 ,四边形 ABQN 为正方形, NQ ? BB1 , 2
又 BC ? 平 面 ABB1N ,? QN ? 平面 ABB1N ? BC ? NQ , ????10 分 且 BC 与 BB1 相交于 B,? NQ ? 平面 C1B1BC

1 1 NQ 为四棱锥 N-CBB1C1 的体积 V ? VC ? ABN ? VK ?CBB1C1 ? CB ?S ?ABN ? NQ ?S BCC B 1 1 3 3 1 1 1 160 . ????12 分 ? ? 4? ? 4? 4 ? ? 4? 4?8 ? 3 2 3 3
19.本题主要考查在实际背景下,将统计与概率相结合,考查了样本的频数的计算,以及求随机事件的概 率,考查了归纳推理、 应用数学知识解决实际问题的能力,满分 12 分。 解: (I)由直方图知,成绩在 ?60,80? 内的人数为:50×10×(0.18+0.040)=29. 所以该班在这次数学测试中成绩合格的有 29 人. ??????3 分 (II)由直方图知,成绩在 ?50,60? 内的人数为:50×10×0.004=2, 设成绩为 x、y ????????5 分 成绩在[90,100]的人数为 5 0×10×0.006=3,设成绩为 a、b、c, ??????6 分 若 m, n ? ?50,60?时, 只有xy 一种情况, ??????7 分 若 m, n ? [90,100]时,有ab,bc,ac 三种情况, 若 m, n分别在?50,60? 和 [90,100] 内时,有 ??????8 分

a x
y

b
xb

c xc
yc
-5-

xa
ya

yb

共有 6 种情况,所以基本事件总数为 10 种,

??????9 分 ??????10 分

事件“ | m ? n |? 10 ”所包含的基本事件个数有 6 种

? P(| m ? n |? 10) ?

6 3 ? . 10 5

??????12 分

20.(本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)因为 a2 ? a1 ? d ? 5 , a4 ? a1 ? 3d ? 13 所以 a1 ? 1, d ? 4 ,所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 4n ? 3 ????..2 分 因为

3 3 bn ?1 1 ? , b3 ? b1q 2 ? ,解得 b1 ? 8 2 bn 2

3 1 n ?1 1 ? ( ) ? 3( ) n ?????.4 分 2 2 2 12n ? 9 (II) cn ? an ? bn = 2n 12(n ? 1) ? 9 12n ? 9 21 ? 12n cn ?1 ? cn ? ? ? ?????6 分 2n ?1 2n 2n ?1
所以 bn ? 所以 n ? 1 时, c2 ? c1 ,当 n ? 2 时, cn?1 ? cn ????8 分 (Ⅲ) pn ? b2 n ? 3( )

1 2

2n

?

3 ??????9 分 4n

an 4n ? 3 (4n ? 3) ? 4n 1 2 3 n ? ? ,令 Tn ? (1? 4 ? 5 ? 4 ? 9 ? 4 ? ? ? (4n ? 3) ? 4 ) 3 3 pn 3 n 4
1 4Tn ? (1? 42 ? 5 ? 43 ? 9 ? 44 ? ? ? (4n ? 7) ? 4n ? (4n ? 3) ? 4 n ?1 ) ?????10 分 3 1 2 3 4 n n ?1 所以 ?3Tn ? (4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 9 ? 4 ? ? ? 4 ? 4 ? (4n ? 3) ? 4 ) 3

1 64(1 ? 4n?1 ) ?3Tn ? (4 ? ? (4n ? 3) ? 4n?1 ) 3 1? 4
则 Tn ?

(12n ? 9)4n?1 ? 52 ? 4n? 2 ?????12 分 27

21、解: (1) f ( x) ? m ? n ? (2cos2 x , 3) ? (1, sin 2x ) ? 2cos2 x ? 3sin 2 x

??? ? ???

--2 分

? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 2? ∴函数 f ( x ) 的最小周期 T ? ??
2
由 2k? -

?

------4 分 -----5 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )得 :

-6-

单调增区间为 ?k? (2) f (C ) ? 2 sin( 2C ?

? ?

?
3

, k? ?

??

,k ? Z 6? ?
? sin( 2C ? ? ) ? 1
6

----------6 分

?
6

) ?1 ? 3

? C 是三角形内角,∴ 2C ?
∴ cosC ?

? ? ? ? 即: C ? 6 2 6
即: a 2 ? b 2 ? 7 .

-------8 分 -------9 分

b2 ? a2 ? c2 3 ? 2ab 2

2 将 ab ? 2 3 代入可得: a ?

12 ? 7 ,解之得: a 2 ? 3或4 2 a
---- --11 分 -------12 分

∴a ?

3或2 ,? b ? 2或 3

? a ? b ,∴ a ? 2 , b ? 3 .

22.解: (Ⅰ)因为 f ? ? x ? ? ln x ? 2 ,所以 f ? ?1? ? 2 , 函数 f ? x ? 的图像在点 (1,1) 处的切线方程 2 x ? y ? 1 ? 0 ;4 分 (Ⅱ)解: k ( x ?1) ? f ? x ? 对任意 x ? 1 恒成立,即 k ? 令 g ? x? ?

x ? x ln x 对任意 x ? 1 恒成立, x ?1

x ? x ln x x ? ln x ? 2 ,则 g ? ? x ? ? ,6 分 2 x ?1 ? x ? 1?
1 x ?1 ? ? 0 ,8 分 x x

令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? 1 ? 所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,

因为 h ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ? 3, 4? ,10 分 显然函数 g ? x ? ? 所以 ? ? g ? x ?? ?

x ? x ln x 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增, x ?1

min

? g ? x0 ? ?

x0 ?1 ? ln x0 ? x0 ?1 ? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? ? 3, 4 ? ,12 分 x0 ? 1 x0 ? 1
14 分

故k ? ? ? g ? x ?? ? min ? x0 ? ? 3, 4 ? .故整数 k 的最大值是 3

-7-


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