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考点28 随机事件的概率、古典概型、几何概型


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考点 28

随机事件的概率、古典概型、几何概型
2 3 和 , 3 4


1.(2010·辽宁高考理科·T3)两个实习生每人

加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( (A)

1 2

(B)

5 12

(C)

1 4

(D)

1 6

【命题立意】本题考查独立事件同时发生的概率. 【思路点拨】恰有一个一等品,包含两类情况. 【规范解答】选 B.所求概率为

2 1 1 3 5 ? ? ? = . 3 4 3 4 12

【方法技巧】1.要准确理解恰有一个的含义. 2.事件 A,B 相互独立,则 P(AB)=P(A)·P(B)

p p= ? 1? 3.本题也可用对立事件的概率来解决.所求概率

2 3 1 1 5 ? ? ? ? 3 4 3 4 12 .

2.(2010·北京高考文科·T3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b, 则 b>a 的概率是( (A) ) (B)

4 5

3 5

(C)

2 5

(D)

1 5

【命题立意】本题考查古典概型,熟练掌握求古典概型概率的常用方法是解决本题的关键. 【思路点拨】先求出基本事件空间包含的基本事件总数 n ,再求出事件“ b ? a ”包含的基本事件数 m , 从而 P ( A) ?

m . n

【规范解答】选 D. ? ? {(a, b) | a ?{1, 2,3, 4,5}, b ?{1, 2,3}} ,包含的基本事件总数 n ? 15 .事件“ b ? a ” 为 {(1, 2),(1,3),(2,3)} ,包含的基本事件数为 m ? 3 .其概率 P ?

3 1 ? . 15 5

【方法技巧】列古典概型的基本事件空间常用的方法有: (1)列举法; (2)坐标网格法; (3)树状图等. 3.(2010·湖南高考文科·T11)在区间[-1,2]上随即取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为 【命题立意】以非常简单的区间立意,运算不复杂,但能切中考查几何概型的要害. 【思路点拨】一元几何概型→长度之比.
-1-

.

圆学子梦想 铸金字品牌 【规范解答】[-1,2]的长度为 3,[0,1]的长度为 1,所以概率是

1 . 3

【方法技巧】一元几何概型→长度之比,二元几何概型→面积之比,三元几何概型→体积之比. 4. (2010·福建高考理科·T13)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续回 答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个问题的回 答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 【命题立意】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率的求解. 【思路点拨】 分析题意可得:该选手第一个问题可以答对也可以答错,第二个问题一定回答错误,第三、 四个问题一定答对,进而求解“相互独立事件同时发生的概率”. 【规范解答】依题意得:该选手第一个问题可以答对也可以答错,第二个问题一定回答错误,第三、四个 问题一定答对,所以其概率 P ? 1? 0.2 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.128 . 【答案】0.128 5. (2010·天津高考理科·T11)甲、乙两人在 10 天中每 天加工零件的个数用茎叶图表示如下图, 中间一列的数字表示 零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 . .

【命题立意】本题考查了统计中的平均数、茎叶图的基础知识,考查了学生的识图能力. 【思路点拨】计算 10 个数的平均数. 【规范解答】选甲日加工零件的平均数为:

1 240 ? (18 ? 19 ? 20 ? 22 ? 23 ? 21 ? 20 ? 35 ? 31 ? 31) ? ? 24 , 同理可得乙日加工零件的平均数为 23. 10 10
【答案】24 23

6.(2010·安徽高考理科·T15)甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白 球和 3 个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A 1, A 2和A 3 表示由甲罐取出的球是红球,白球 和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的 是________(写出所有正确结论的编号). ① P ? B? ?

2 ; 5 5 ; 11

② P ? B | A1 ? ?

③事件 B 与事件 A 1 相互独立;
-2-

圆学子梦想 铸金字品牌 ④ A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件; ⑤ P ? B? 的值不能确定,因为它与 A1 , A2 , A3 中哪一个发生有关. 【命题立意】本题主要考查概率的综合问题,考查考生对事件关系的理解和条件概率的认知水平. 【思路点拨】根据事件互斥、事件相互独立的概念,条件概率及把事件 B 的概率转化为

P(B) ? P ? A1 ? B? ? P ? A2 ? B? ? P ? A3 ? B ? 可辨析此题.
【规范解答】显然 A1 , A2 , A3 是两两互斥的事件, 有 P ? B | A1 ? ?

5 4 4 , P ? B | A2 ? ? , P ? B | A3 ? ? , 11 11 11

而 P(B) ? P ? A 1 ? B? ? P ? A 2 ? B? ? P ? A 3 ? B?

? P( A1 ) P( B | A1 ) ? P( A2 )P(B | A2 ) ? P( A3 )P(B | A3 )
5 5 2 4 3 4 9 ? ? ? ? ? ? , 10 11 10 11 10 11 22 5 5 9 9 ? ? 且 P ? A1 ? B ? ? , P ? A1 ? P ? B ? ? ,有 P ? A 1 ? B? ? P ? A 1 ? P ? B? . 22 10 22 44 ?
可以判定②④正确,而①③⑤错误. 【答案】②④ 7. (2010·辽宁高考文科·T13)三张卡片上分别写上字母 E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好 排成英文单词 BEE 的概率为 .

【命题立意】本题考查了古典概型,考查了计数原理,和排列组合. 【思路点拨】 所有可能的基本 事件总数 满足条件的基本 事件数 求概率

【规范解答】将三张卡片排成一行,共有 A3 3=3 ? 2 ?1=6 (种) 可能的结果,恰好排成英文单词 BEE 的可

=2 (种).所以所求概率为 p= = . 能结果有 1? 2 ? 1
【答案】

2 6

1 3

1 3

8. (2010·江苏高考·T3)盒子里共有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,则 它们颜色不同的概率是_ __. 【命题立意】本题考查古典概型的概率求法. 【思路点拨】先求出从盒子中随机地摸出两只球的所有方法数,再求出所摸两只球颜色不同的方法数,最
-3-

圆学子梦想 铸金字品牌 后代入公式计算即可.
2 1 【规范解答】从盒子中随机地摸出两只球,共有 C4 ? 6 种情况,而摸两只球颜色不同的种数为 C3 ? 3种

情况,故所求的概率为 p ? 【答案】

3 1 ? . 6 2

1 2

9. (2010·浙江高考文科·T17)在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,P,Q,M,N 分别是线段 OA,OB,OC,OD 的中点,在 A,P,M,C 中任取一点记为 E,在 B,Q,N,D 中任取一点记为 F,设 G 为满 足向量 OG ? OE ? OF 的点,则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行四边形 ABCD 外(不含边界) 的概率为 .

????

??? ? ??? ?

A
P

B

O
M

Q

N
D

C

【命题立意】本题主要考查了平面向量与古典概型的综合运用,属中档题. 【思路点拨】利用向量加法的平行四边形法则逐个验证是否在四边形 ABCD 外. 【规范解答】由题意知,G 点共有 16 种取法,而只有 E 为 P、M 中一点,F 为 Q、N 中一点时,落在平行四 边形内(含边界) ,故符合要求的 G 只有 4 个,因此概率为 【答案】

3 . 4

3 4 m .(2)求向量加法时如果两个向量同一起点那么用平行四边形 n

【方法技巧】 (1)求古典概型的概率一般先求出基本事件空间所包含的基本事件总数 n,再求出事件 A 所 包含的基本事件数 m,其概率为 P ( A) ?

法则,如果首尾相连一般用三角形法则. 10. (2010·湖南高考理科·T4)在区间 上随机取一个数 x,则 的概率为

【命题立意】以非常简单的区间和不等式的解集立意,运算不复杂,但能切中考查几何概型的要害. 【思路点拨】一元几何概型→长度之比. 【规范解答】[-1,2]的长度为 3,|x|≤1 的解集为[-1,1]的长度为 2,所以概率是 【答案】

2 . 3

2 3

【方法技巧】一元几何概型→长度之比,二元几何概型→面积之比,三元几何概型→体积之比. 11.(2010·山东高考文科·T19)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别
-4-

圆学子梦想 铸金字品牌 为 1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率. (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球, 该球的编号为 n,求 n ? m ? 2 的概率. 【命题立意】本小题主要考查古典概型、对立事件的概率计算,考查考生分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】采用列举法列出一切可能的结果组成的基本事件,再根据古典概型的概率公式进行计算, 第(2)问可利用对立事件的概率计算. 【规范解答】 (1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个.从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个. 因此所求事件的概率 P ?

2 1 ? . 6 3

(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m ,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为 n ,其一切 可能的结果 ? m, n? 有

?1,1? ?1,2? ?1,3? ?1,4? ? 2,1? ? 2, 2 ? ? 2,3? ? 2, 4 ? ?3,1? ? 3, 2? ? 3,3? ? 3, 4? ? 4,1? ? 4, 2 ? ? 4,3? ? 4, 4 ? 共 16 个,
又满足 m ? 2 ? n 的事件的概率为 P 1 ?

3 . 16 3 13 ? . 16 16

故满足 n ? m ? 2 的事件的概率为 1 ? P 1 ? 1?

12. (2010·安徽高考文科·T10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四 个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( (A) )

3 18

(B)

4 18

(C)

5 18

(D)

6 18

【命题立意】本题主要考查古典概型的概率问题,考查考生分析问题的能力. 【思路点拨】试验为古典概型 ? 试验的基本事件个数 ? 所求事件包含的基本事件个数 ? 计算概率 【规范解答】选 C,正方形四个顶点可以确定 6 条直线,甲乙各自任选一条共有 36 个等可能的基本事件. 两条直线相互垂直的情况有 5 种(4 组邻边和对角线) ,包括 10 个基本事件,所以概率等于

5 . 18

【方法技巧】对于古典概型的概率问题,关键是明确试验的基本事件数,然后明确所求事件包含的基本事 件数,进而求解概率. 13. (2010· 福建高考文科· T18) 设平面向量 a m = ( m , 1) , bn = ( 2 , n ), 其中 m, n ? {1,2,3,4}. (I)请列出有序数组( m,n )的所有可能结果; (II)记“使得 a m ? ( a m - bn )成立的( m,n ) ”为事件 A,求事件 A 发生的概率.
-5-

?

?

?

?

?

圆学子梦想 铸金字品牌 【命题立意】本题考查概率、平面向量等基础知识,考查运算求解能力,应用意识,考查化归转化思想、 或然与必然思想. 【思路点拨】第一步用枚举法写出数组的所有可能;第二步用向量的内积得到 m,n 的关系式,进而得到 事件 A 包含的基本事件,利用古典概型公式即可求. 【规范解答】( I ) 有序数组 ? m, n ? 的所有可能结果为:

?1,1? , ?1,2? , ?1,3? , ?1,4? , ? 2,1? , ? 2,2? , ? 2,3? , ? 2,4? , ?3,1? , ?3,2? , ?3,3? , ?3,4? , ? 4,1? , ? 4,2? , ? 4,3? , ? 4,4? , 共 16 个;
(II)由 am ? ? am ? bm ? 得 m ? 2m ? 1 ? n ? 0 ,即
2

故事件 A 所包含

的基本事件为 ? 2,1? , ?3,4? ,共两个.有基本事件的总数为 16,故所求的概率 P ?

2 1 ? . 16 8

【方法技巧】有关概率统计的问题,越来越常见利用枚举法的求解方法,枚举时一定要考虑全面,漏解是 最常见的错误,如本题要求的是有序的数组(m,n),坐标的位置是有序的,如(1,2)和(2,1)是不同 的情况,不要当成同一种.因为这部分内容与实际生活联系比较大,随着新课改的深入,高考将越来越重 视这部分的内容,试题的难度为中等或中等偏易. 14.(2010·天津高考文科·T18) 有编号为 A 1 , A 2 ,?, A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm) ,得到下面数据:

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (Ⅰ)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率. 【命题立意】本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识,考 查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力. 【思路点拨】利用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 【规范解答】 (Ⅰ)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中,随机抽取一个为一等品” 为事件 A,则 P(A)=

6 3 = . 10 5
-6-

圆学子梦想 铸金字品牌 (Ⅱ) (i)一等品零件的编号为 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6 .从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的

所以 P(B) =

6 2 ? . 15 5

15. (2010·湖南高考文科·T17)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关 人员中,抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位:人)

(1)求 x,y ; (2)若从高校 B,C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这二人都来自高校 C 的概率. 【命题立意】以实际生活为背景,考查抽取样本的认识,进而考查求事件的概率. 【思路点拨】分层抽样也叫做按比例抽样.求事件的概率关键是弄明白基本事件以及目标事件包多少个基 本事件. 【规范解答】 (1) 由题意可得,

x 2 y ? ? ,所以 x ? 1, y ? 3. 18 36 54

(2) 记从高校 B 抽取的 2 人为 b1,b2,从高校 C 中抽取的 3 人为 c1 ,c2 ,c3 ,则从高校 B,C 抽 取的 5 人中选 2 人做专题发言的基本事件有 (b1,b2)(b1,c1)(b1,c2)(b1,c3)(b2,c1) (b2,c2)(b2,c3)(c1,c2)(c1,c3)(c2,c3)共 10 种. 设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X,则 X 包含的基本事件有(c1,c2)(c1,c3)(c2,c3)共 3 种.因此 P(X)=

3 . 10 3 . 10

故选中的 2 人都来自高校 C 的概率是

【方法技巧】1、分层抽样的依据是:比=样本容量/总体,再用比去乘以每一层的个体数,即可得到这层
-7-

圆学子梦想 铸金字品牌 要取的个体数. 2、概率问题的解题步骤:首先思考实验的个数、实验关系和实验结果,然后思考目标事件 如何用基本事件表示出来,最后利用互斥事件进行运算. 16. (2010·湖南高考理科·T4)如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频 率分布直方图 (1)求直方图中 x 的值. (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样) ,求月均用水量在 3 至 4 吨 的居民数 X 的分布列和数学期望.

【命题立意】以实际生活为背景,考查频率分布直方图的认识,进而考查分布列和期望等统计知识. 【思路点拨】频率分布直方图→矩形的面积表示频率反映概率;随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样) 是三个独立重复实验→计算概率时遵循贝努力概型. 【规范解答】 (1)依题意及频率分布直方图知,0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得 x=0.12. (2)由题意知,X~B(3,0.1). 因此 P(x=0)= C 0 3 ? 0.93 ? 0.729 , P(X=2)= C
2 3

P(X=1)= C 13 ? 0.1 ? 0.9 P(X=3)= C
3 3

2

? 0.243,

? 0.12 ? 0.9 ? 0.027,

? 0.13 ? 0.001.

故随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001

X 的数学期望为 EX=3×0.1=0.3. 【方法技巧】1.统计的常用图:条形图,径叶图;直方图,折线图等.要学会识图. 2.概率问题的解题步骤:首先思考实验的个数、实验关系和实验结果,然后思考目标时间如何用基本事件
-8-

圆学子梦想 铸金字品牌 表示出来,最后利用互斥事件进行运算. 3.在求期望和方差时注意使用公式.

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