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北师大版数学必修1课件:3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较


§6 指数函数、幂函数、 对数函数增长的比较 1.巩固幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质. 2.通过比较幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢, 了解这三种函数增速的差别.(重点) 3. 体会数形结合思想在研究函数中的应用.(难点) 复习引入 1.幂函数 2.指数函数 3.对数函数 1.幂函数: 如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量 ? , 即 y ? x

? 1 2 这样的函数称为幂函数. 如y = x,y = x2 ,y = x3 ,y = x-1 ,y = x 你能在同一坐标系中作出 y ? x, y ? x 2 , y ? x3 , y ? x ?1 , y ? x 的图像吗? 1 2 (-2,4) 4 y=x3 幂函数 的图像 (-1,1) -6 -4 -2 (2,4) y=x2 y=x (4,2) 3 1 y ? x2 2 1 (1,1) 2 y=x-1 4 6 (-1,-1) -1 -2 -3 -4 2.指数函数 y ? a 的图像与性质 x a>1 0<a<1 图 2 2 像 定义域:R 值域: (0,+∞) 性 质 过点(0,1) 当 x>0 时 y>1 当 x<0 时 0<y<1 是 R 上的增函数 当 x>0 时 0<y<1 当 x<0 时 y>1 是 R 上的减函数 3.对数函数 y=logax 3 2.5 2 1.5 a>1 3 2.5 0<a<1 2 1.5 (a>0,且 a≠1) 图 像 1 -1 1 1 1 1 0.5 0.5 0 -0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 0 1 -0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 -2.5 -2.5 定义域: (0,+∞) 值域: (??,??) 性 质 过点(1,0),即当x=1时,y=0 x ? (1,??) ?y ?0 x ? (0,1) ? y ? 0 在(0,+∞)上是 增 函数 x ? (0,1) ? y ? 0 x ? (1,??) ? y ? 0 在(0,+∞)上是 减 函数 4.指数函数与对数函数的联系与区别 解析式 图像 定义域 值域 单调性 奇偶性 y=ax(a>0且a≠1) y=logax(a>0,且a≠1) R (0,+∞) 0<a<1时,在(-∞,+∞)上 递减,a>1时,在(-∞, +∞)上递增 非奇非偶 (0,+∞) R 0<a<1时,在(0,+∞)上递 减,a>1时,在(0,+∞)上 递增 非奇非偶 问题提出: 我们知道: 当a>1时,指数函数是增函数, 当a逐渐增大时, 函数值增加得越来越快; 当0 <a<1时,对数函数是减函数, 当a逐渐增大时, 函数值减少得越来越快; 当x>0时,幂函数y=xn (n>1)在(0,+∞)上单 调递增; 且当x>1,n逐渐增大时,函数值增大得越来越快。 那么,对于这三种增加的函数,它们的函数值的增 加快慢有何差别呢? 我们通过三个具体的函数y=2x,y=x100(x>0), y=㏒2x的函数值(取近似值)的比较,来体会它们增长 的快慢。 动手实践 结论:在这三个函数中,指数函数增长最快,人们常 称这种现象为“指数爆炸”。 1. (2012·太原高一检测)当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度 最快的是 A. y ? 100 x C. y ? x

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