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2015-2016学年高中数学 第三章 函数的应用单元测试 新人教A版必修1


2015-2016 学年高中数学 第三章 函数的应用单元测试 新人教 A 版必修 1
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.二次函数 f(x)=2x +bx-3(b∈R)的零点个数是( A.0 C.2
2 2

2

)

B.1 D.不确定

解析 方程 2x +bx-3=0 的判别式 Δ =b +24>0 恒成立,所以方程有两个不等实根, 因而函数 f(x)有两个零点. 答案 C 2.若函数 y=f(x)唯一的一个零点在区间(0,2),(1,2),(0,4)内,则下列命题中正确 的是( )

A.函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数 f(x)在区间(1,1.5)内有零点 C.函数 f(x)在区间(2,4)内无零点 D.函数 f(x)在区间(1,4)内无零点 解析 可用排除法,由题意知在(0,1)内没有零点,所以 A 错.B 不一定,因为在(1,4) 内一定有零点,所以 D 错,故 C 正确. 答案 C 3.根据表中的数据,可以判定方程 e -x-2=0 的一个根所在的区间是(
x

)

x
e
x

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4 B.(0,1) D.(2,3)

3 20.09 5

x+2
A.(-1,0) C.(1,2) 答案 C
x

4.方程 lnx+2 -8=0 根的个数是( A.0 个 C.2 个 解析 利用图象作答. 答案 B

) B.1 个 D.3 个

5.下列函数中,随着 x 的增大,其增大速度最快的是( A.y=0.001e C.y=x
1000

)

x

B.y=1000lnx D.y=1000·2
x

解析 增大速度最快的应为指数型函数,又 e≈2.718>2. 答案 A

6.已知直角梯形 OABC 中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直线 x=t 截这个梯 形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为 y,则函数 y=f(t)的大致图象为图中 的( )

解析 按一般方法求解,应先求出函数表达式,根据表达式确定图象,然而按小题小作 的原则, 不必求出解析式, 观察图象不难发现 C 正确, 因为一开始面积增长较快, 当 1≤t≤2 时,面积平均增长,图象为直线,只有 C 适合这种规律. 答案 C 7.已知函数 f(x)=e -x +8x,则在下列区间中 f(x)必有零点的是( A.(-2,-1) C.(0,1)
x
2 -2

x

2

)

B.(-1,0) D.(1,2)
-1 0

解析 f(x)=e -x +8x,f(-2)=e -4-16<0,f(-1)=e -1-8<0,f(0)=e =1 >0,∴f(x)在区间(-1,0)内至少有一个零点,故选 B. 答案 B

N ? ? 8.已知函数 t=-144lg?1- ?的图象可表示打字任务的“学习曲线”,其中 t(h) ? 100? 表示达到打字水平 N(字/min)所需的学习时间,N 表示打字速度(字/min),则按此曲线要达 到 90 字/min 的水平,所需的学习时间是( A.144 h C.60 h 解析 由 N=90 可知,t=-144lg?1- 答案 A 9.在一次数学实验中,运用计算器采集到如下一组数据: ) B.90 h D.40 h

? ?

90 ? =144 h. 100? ?

x y

-2.0 0.24

-1.0 0.51

0 1

1.00 2.02

2.00 3.98

3.00 8.02 )

则 x,y 的函数关系与下列哪类函数最接近(其中,a,b 为待定系数)( A.y=a+b
x

B.y=a+bx D.y=a+

C.y=a+logbx

b x

解析 B 为匀速递增,对 C,x 要求大于 0,D 是成反比,又因为函数值增长速度越来越 快,只有 A 项中指数型函数最接近. 答案 A 10.实数 a,b,c 是图象连续不断的函数 y=f(x)定义域中的三个数,且满足 a<b<c,

f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,c)上的零点个数为(
A.2 C.偶数 解析 画出示意图. B.奇数 D.至少是 2

)

可知,至 少有 2 个零点,应 选 D. 答案 D 11.某方程在区间 D=(2,4 )内有一无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得近 似值的精确度达到 0.1,则应将 D 分( A.2 次 C.4 次 ) B.3 次 D.5 次

解析 等分 1 次,区间长度为 1,等分 2 次区间长度为 0.5,?,等分 4 次,区间长度

为 0.125,等分 5 次,区间长度为 0.0625<0.1,符合题意.故选 D. 答案 D 12.西南大旱,为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水,实行“阶梯 水价”.计算方法如下表: 每户每月用水量 不超过 12m 的部分 超过 12 m 但不超过 18 m 的部分 超过 18 m 的部分
3 3 3 3

水价 3 元/m 6 元/m 9 元/m
3

3

3

若某户居民本月交纳的水费为 48 元,则此户居民本月用水量( A.比 12 m 少 B.比 12 m 多,但不超过 18 m C.比 18 m 多 D.恰为 12 m 答案 B
3 3 3 3 3

)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的,研究表明:假 设课桌的高度为 y cm,椅子的高度为 x cm,则 y 应是 x 的一次函数.下表列出两套符合条 件的课桌椅的高度: 第一套 椅子高度 x(cm) 课桌高度 y(cm) 40.0 75.0 第二套 37.0 70.2

则 y 与 x 的函数关系为________.(不需注明定义域). 解析 依题意,由于课桌高度 y 是椅子高度 x 的一次函数,故可设 y=ax+b(a≠0), 将给出的符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式,
? ?40a+b=75, 得? ?37a+b=70.2, ?

解得?

?a=1.6, ? ? ?b=11.

所以 y 与 x 的函数关系式是 y=1.6x+11. 答案 y=1.6x+11 14.用二分法求方程 x +4=6x 的一个近似解时,已经将一根锁定在区间(0,1)内,则 下一步可断定该根所在的区间为________. 解析 设 f(x)=x -6x +4,
3 2 3 2

显然 f(0)>0,f(1)<0,

?1? ?1?3 ?1?2 又 f? ?=? ? -6×? ? +4>0, ?2? ?2? ?2? ?1 ? ∴下一步可断定方程的根所在的区间为? ,1?. ?2 ? ?1 ? 答案 ? ,1? ?2 ?
15.函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,则函数 g(x)=bx -ax 的零点是________. 解析 ∵f(x)=ax+b 有一个零点是 2,∴2a+b=0.而 g(x)=bx -ax=x(bx-a)=0,
2 2

a 1 ∴x=0,或 x= =- . b 2
1 答案 0,- 2 16.已知 y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令 f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列 关于 f(x)=0 的解叙述正确的是________.

①有三个实根;②x>1 时恰有一实根;③当 0<x<1 时恰有一实根;④当-1<x<0 时恰有 一实根;⑤当 x<-1 时恰有一实根. 解析 f(x)的图象是将函数 y=x(x-1)(x+1)的图象向上平移 0.01 个单位得到的,故

f(x)的图象与 x 轴有三个交点,它们分别在区间(-∞,-1),?0, ?和? ,1?内,故只有 2 2

? ?

1? ?1

? ?

? ?

①⑤正确. 答案 ①⑤ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 1 0 分)已知二次函数 f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为 x =2,且 f(x) 的两个零点的平方和为 10,求 f(x)的解析式.

解 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 由题意知,c=3,- =2. 2a 设 x1,x2 是方程 ax +bx+c=0 的两根, 则 x1+x2=- ,x1·x2= . ∵x1+x2=10,∴(x1+x2) -2x 1x2=10,即
2 2 2 2

2

b

b a

c a

?-b?2-2c=10,∴(-4)2-6=10, ? a? a a ? ?
∴a=1,b=-4. ∴f(x)=x -4x+3. 18.(本小题满分 12 分)A、B 两城相距 100 km,在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核 电站给 A、B 两城供电,为保证城市安全.核电站与城市距离不得少于 10 km.已知供电费用 与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数 λ =0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月,
2

B 城为 10 亿度/月.
(1)求 x 的范围; (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数; (3)核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小. 解 (1)x 的取值范围为 10≤x≤90;
2 2

(2)y=0.25×20x +0.25×10(100-x ) 5 2 2 =5x + (100-x) (10≤x≤90); 2 5 15 2 15? 100?2 50000 2 2 (3)由 y=5x + (100-x) = x -500x+25000= ?x- ? + . 3 ? 2 2 2? 3 100 则当 x= km 时,y 最小. 3 100 故当核电站建在距 A 城 km 时,才能使供电费用最小. 3 19.(本小题满分 12 分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超 过 15 万元时,按销售利润的 10%进行奖励;当销售利润超过 15 万元时,若超过部分为 A 万 元,则超出部分按 2log5(A+1)进行奖励,没超出部分仍按销售利润的 10%进行奖励.记资 金总额为 y(单位:万元),销售利润为 x(单位:万元). (1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式; (2)如果业务员老张获得 5.5 万元的资金,那么他的销售利润是多少万元? 解 (1)由题意,

?0.1x,0<x≤15, ? 得 y=? ?1.5+2log5?x-14?,x>15. ?

(2)∵x∈(0,15]时,0.1x≤1.5, 又 y=5.5>1.5,∴x>15, 所以 1.5+2log5(x-14)=5.5,x=39. 答:老张的销售利润是 39 万元. 20.(本小题满分 12 分)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用, 据监测:服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲 线.

(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系 式 y=f(t); (2)据进一步测定:每毫克血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗疾病有效. ①求服药一次治疗疾病有效的时间; ②当 t=5 时,第二次服药,求服药后 30 分钟,每毫升血液中的含药量. 解 (1)把点 M(1,4)分别代入所给解析式可得
?4t ? ?2 ?
3-t

y=?

?0≤t<1?, ?t≥1?. 解得 0.0625≤t<1.

? ?0≤t<1, (2)①∵? ?4t≥0.25, ?

又?

?t≥1, ? ? ?2
3-t

≥0.25,

解得 1≤t≤5.

综上知,0.0625≤t≤5. ②由题设知,第二次服药后血液中每毫升的含药量

y= ×4+23-5.5

1 2

=2+0.177=2.177(微克). 1 2 -1 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x + x -2,试利用基本初等函数的图象判断 2

f(x)有几个零点;并利用零点存在性定理确定各零点所在的范围(各区间长度不超过 1).


1 2 1 2 -1 -1 由 f(x)=0,得 x =- x +2,令 y=x ,y=- x +2,其中抛物线顶点为(0,2),与 2 2

x 轴交于点(-2,0),(2,0).
1 2 -1 如图所示 y=x ,y=- x +2 的图象有 3 个交点,从而函数 f(x)有 3 个零点. 2 ∵x≠0,f(x)图象在(-∞,0),(0,+∞)上分别是连续不断的, 13 1 ?1? 1 且 f(-3)= >0,f(-2)=- <0,f? ?= >0, 6 2 ?2? 8

f(1)=- <0,f(2)= >0,

1 2

1 2

?1? 即 f(-3)·f(-2)<0,f? ?·f(1)<0, ?2?
f(2)·f(1)<0,

?1 ? ∴ 三个零点分别在区间(-3,-2),? ,1?,(1,2)内. ?2 ?
22. (本小题满分 12 分)某县城出租车的收费标准是: 起步价是 5 元(乘车不超过 3 公里) ; 行驶 3 公里后,每公里车费 1.2 元;行驶 10 公里后,每公里车费 1.8 元. (1)写出车费与路程的关系式; (2)一顾客行程 30 公里,为了省钱,他设计了两种乘车方案: ①分两段乘车:乘一车行 15 公里,换乘另一车再行 15 公里; ②分三段乘车:每乘 10 公里换一次车.

问哪一种方案最省钱. 解 (1)车费 f(x )与路程 x 的关系式为

5 ?0<x≤3?, ? ? f(x)=?5+?x-3?×1.2 ?3<x≤10?, ? ?5+7×1.2+?x-10?×1.8 ?x>10?, 5 ?0<x≤3?, ? ? 即 f(x)=?1.2x+1.4 ?3<x≤10?, ? ?1.8x-4.6 ?x>10?. (2)30 公里不换车的车费为 1.8×30-4.6=49.4(元); 方案①:行驶两个 15 公里的车费为 (1.8×15-4.6)×2=44.8(元); 方案②:行三个 10 公里的车费为 (1. 2×10+1.4)×3=40.2(元). 由此可见,方案①和方案②都比不换车省钱,方案②比方案①更省钱.


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