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2015年北京市高考理科数学试题及答案


2015 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) (北京卷)
本试卷共 5 页, 150 分. 考试时长 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效. 考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共 40 分)
一、 选择题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,

选出符合题目要求的一项. 1.复数 i ? 2 ? i ? ? A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i D. ?1 ? 2i ?x ? y ≤ 0 , ? 2.若 x , y 满足 ? x ? y ≤ 1 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ≥ 0 , ?
3 2 3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 A. ? ?2 ,2 ? B. ? ?4 ,0 ?

C. ?1 ? 2i

开始

A.0

B.1

C.

D.2

x=1,y=1,k=0

C. ? ?4 ,? 4 ?

? 8? D. ? 0 ,

s=x-y,t=x+y x=s,y=t

4.设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m? ? .“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是

k=k+1 否 k≥3 是

1 2 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

输出(x,y)

结束

俯视图

A. 2 ? 5

B. 4 ? 5

C. 2 ? 2 5

D.5

6.设 ?an ? 是等差数列. 下列结论中正确的是 A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3 B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 ? a2 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? 0

7.如图,函数 f ? x ? 的图像为折线 ACB ,则不等式 f ? x ? ≥ log2 ? x ? 1? 的解集是
y 2 C

A -1

O

B 2

x

A. ?x | ?1 ? x ≤ 0? C. ?x | ?1 ? x ≤1?

B. ?x | ?1 ≤ x ≤1? D. ?x | ?1 ? x ≤ 2?

8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速 度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 5 9.在 ? 2 ? x ? 的展开式中, x 3 的系数为 . (用数字作答)

x2 . ? y 2 ? 1? a ? 0? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a ? 2 a π? ? 11.在极坐标系中,点 ? 2 ? ? 到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 6 的距离为 . 3? ? sin 2 A 12.在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则 . ? sin C 13.在 △ ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2MC , BN ? NC .若 MN ? xAB ? y AC ,则 x ? ;y? .
10.已知双曲线

?

?

? 2x ? a ? x ? 1? ? 14.设函数 f ? x ? ? ? ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥1. ① 若 a ? 1 ,则 f ? x ? 的最小值为

; .

② 若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是

三、解答题(共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15. (本小题 13 分) x x x 已知函数 f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 . 2 2 2 (Ⅰ ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值.

16. (本小题 13 分) A , B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14, a 假设所有病人的康复时间互相独立,从 A , B 两组随机各选 1 人, A 组选出的人记为甲, B 组选 出的人记为乙. (Ⅰ ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (Ⅱ ) 如果 a ? 25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (Ⅲ ) 当 a 为何值时, A , B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)

17. (本小题 14 分) BC ? 4 , EF ∥ BC , 如图, 在四棱锥 A ? EFCB 中, 平面 AEF ? 平面 EFCB , △AEF 为等边三角形, EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 60? , O 为 EF 的中点. (Ⅰ ) 求证: AO ? BE ; (Ⅱ ) 求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ ) 若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.
A

F

C

O E B

18. (本小题 13 分)

1? x . 1? x (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程;
已知函数 f ? x ? ? ln
? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ; (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 , 3? ? 3 ? x ? 1? 恒成立,求 k 的最大值. (Ⅲ)设实数 k 使得 f ? x ? ? k ? x ? ? 对 x ? ? 0 , 3? ?

19. (本小题 14 分) 2 x2 y 2 1? 和点 A? m , n ? ? m ≠ 0 ? 都在椭圆 C 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 ,点 P ? 0 , 2 a b 上,直线 PA 交 x 轴于点 M . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ) 设 O 为原点, 点 B 与点 A 关于 x 轴对称, 直线 PB 交 x 轴于点 N . 问:y 轴上是否存在点 Q , 使得 ?OQM ? ?ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

20. (本小题 13 分)
?2an ,an ≤ 18 , …? . 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? N* , a1 ≤ 36 ,且 an ?1 ? ? ? n ? 1,2 , ?2an ? 36 ,an ? 18

记集合 M ? an | n ? N* . (Ⅰ)若 a1 ? 6 ,写出集合 M 的所有元素; (Ⅱ)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明: M 的所有元素都是 3 的倍数; (Ⅲ)求集合 M 的元素个数的最大值. (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

?

?

答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (2)D(3)B(4)B(5)C(6)C(7)C(8)D 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)40 (10)

3 3

(11)1 (12)1 (13)

1 2

1 1 (14)1, ≤ a <1 或a ≥ 2 6 2

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共13分) 解: (I)因为 f ( x) ?

2 2 sin x ? (1 ? cos x) 2 2

? 2 ? sin( x ? ) ? 4 2 所以 f ( x ) 的最小正周期为2 ? 3? ? ? ? x? ? (Ⅱ)因为 ?? ? x ? 0 ,所以 ? 4 4 4
当x?

?
4

??

?
2

,即 x ? ? ? 时, f ( x ) 取得最小值。

3 4

所以 f ( x ) 在区间 ? ?? ,0? 上的最小值为 f (? ? ) ? ?1 ? (16) (本小题13分) 解:设时间 A , 1 为“甲是 A 组的第 i 个人” 时间 B1 为“乙是 B 组的第 i 个人” ,i=1,2,?,7. 由题意可知 P( A1 ) ? P ( B1 ) ?

3 4

2 2

1 , i=1,2,?,7. 7

(Ⅰ)由题意知,时间“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 人,或者第 6 人, 或者第 7 人” ,所以甲的康复时间不少于 14 天的概率是

P( A5

A6

A7 ) ? P( A5 ) ? P( A6 ) ? P( A7 ) ?

3 7

(Ⅱ)设时间 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知, C= A4 B1 A5 B1 A6 B1 A7 B1 A5 B2 A6 B2 A7 B2 A7 B3 因此

A6 B6

A7 B6 .

P(C) ? P( A4 B1 ) ? P( A5 B1 ) ? P( A6 B1 ) ? P( A7 B1 ) ? P( A5 B2 ) ? P( A6 B2 ) ? P( A7 B2 ) ? P( A7 B3 ) ? P( A6 B6 ) ? P( A7 B6 )
=10 P( A4 B1 ) =10 P( A4 ) P( B1 ) =

10 49

(Ⅲ)a=11 或 a=18

(17) (本小题 14 分) 解: (I)因为△AEF 是等边三角形,O 为 EF 的中点, 所以 AO⊥EF. 又因为平面 AEF⊥平面 EFCB,AO ? 平面 AEF, 所以 AO⊥平面 EFCB. 所以 AO⊥BE. (Ⅱ)取 BC 中点 G,连接 OG. 由题设知 EFCB 是等腰梯形, 所以 OG⊥EF. 由(I)知 AO⊥平面 EFCB 又 OG ? 平面 EFCB, 所以 OA⊥OG. 如图建立空间直角坐标系 O-xyz, 则 E(a,0,0) ,A(0,0, 3a ) , B(2, 3 (2-a) ,0) , EA =(-a,0, 3a ) ,

BE =(a-2, 3 (a-2),0).
设平面 ABE 的法向量为 n=(x,y,z) 则: ?

? ?n ? EA ? 0

? ? ?n ? BE ? 0 ?(a ? 2) x ? 3(a ? 2) y ? 0 令 z=1,则 x= 3 ,y=-1.于是 n=( 3 ,-1,1)
平面 AEF 是法向量为 p=(0,1,0) 所以 cos(n,p)=

即?

? ??ax ? 3az ? 0

n? p 5 = . n p ?5

5 5 (Ⅲ)因为 BE⊥平面 AOC,所以 BE⊥OC,即 BE ? OC ? 0 . 因为 BE =(a-2 , 3 (a-2) ,0) , OC =(-2, 3 (2-a) ,0) , 所以 BE ? OC =-2(a-2)-3 (a ? 2)2 . 4 由 BE ? OC ? 0 及 0<a<2,解得 a= , 3
由题知二维角 F-AE-B 为钝角,所以它的余弦值为 ? (18) (本小题 13 分) 解: (I)因为 f ( x ) =ln(1+x)-ln(1-x) ,所以

1 1 ? , f ?(0) =2. 1? x 1? x 又因为 f (0) =0,所以曲线 y= f ( x ) 在点(0 , f (0) )处的切线方程为 y=2x.

f ?( x ) =

(Ⅱ)令 g ( x) = f ( x ) -2(x+

x3 ),则 3 2 x4 2 ? ? g ( x) = f ( x ) -2(1+ x )= . 1 ? x2 因为 g ?( x ) >0(0<x<1) ,所以 g ( x) 在区间(0,1)上单调递增。 所以 g ( x) > g (0) =0,x∈(0,1) ,
即当 x∈ (0,1)时, f ( x ) >2(x+

x3 ). 3

(Ⅲ )由(Ⅱ )知,当 k《2 时, f ( x ) >k(x+ 当 k>2 时,令 h( x) = f ( x ) - k(x+

x3 )对 x∈ (0,1)恒成立. 3

x3 ),则 3 kx 4 ? 2 ? k . h?( x) = f ?( x ) -k(1+ x 2 )= 1 ? x2 k ?2 k ?2 所以当 0 ? x ? 4 时, h?( x ) <0,因此 h( x) 在区间(0, 4 )上单调递减. k k x3 k ?2 当0 ? x ? 时, h( x) < h(0) =0,即 f ( x ) < k(x+ ). 3 k x3 所以当 K>2 时, f ( x ) > k(x+ )并非对 x∈ (0,1)恒成立. 3
4

综上可知,k 的最大值为 2。 (19) (本小题 14 分)

?b ? 1, ? 2 ?c , 解得 a 2 =2. 解: (Ⅰ)由题意得 ? ? a 2 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? x2 ? y2 ? 1 故椭圆 C 的方程为 2 设 M( xm ,0).
因为 m≠0,所以-1<n<1.

n ?1 x, m m m 所以 xm = ,即 M( ,0). 1? n 1? n
直线 PA 的方程为 y-1= (Ⅱ)因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称,所以 B(m,-n) , 设 N( xN ,0),\则 xN =

m . 1? n
2

“存在点 Q(0, yQ )使得 ZOQM=ZONQ 等价” , “存在点 Q(0, yQ )使得

OM OQ

=

OQ ON

”即 yQ 满足 yQ ? xM xN .

m m m2 ? n2 ? 1 , , xN ? , 1? n 1? n 2 m2 2 ? 2. 所以 yQ ? xM xN ? 1 ? n2 所以 yQ = 2 或 yQ =- 2 .
因为 xM ? 故在 y 轴上存在点 Q,使得 ? OQM= ? ONQ.点 Q 的坐标为(0, 2 )或(0,- 2 ).

(20) (本小题 13 分) (Ⅰ)?6,12,24?? (Ⅱ)因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数. 由 an ?1 ? ?

?2an , an ? 18, 可归纳证明对任意 n ? k , an 是 3 的倍数. ?2an ? 36, an ? 18

如果 k=1,则 M 的所有元素都是 3 的倍数. 如果 k>1,因为 ak =2 ak ?1 或 ak =2 ak ?1 -36,所以 2 ak ?1 是 3 的倍数,于是 ak ?1 是 3 的倍数, ;类 似可得, ak ?2 ,?, a1 都是 3 的倍数,从而对任意 n ? 1 , an 是 3 的倍数,因此 M 的所有元素 都是 3 的倍数. 综上,若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,则 M 的所有元素都是 3 的倍数. (Ⅲ)由 a ? 36 , an ? ?

?2an?1 , an?1 ? 18, 可归纳证明 an ? 36(n ? 2,3...) . 2 a ? 36, a ? 18 n ?1 ? n?1

由于 a1 是正整数, a2 ? ?

?2a1 , a1 ? 18, 所以 a2 是 2 的倍数. ?2a1 ? 36, a1 ? 18,

从而当 n ? 3 时, an 是 4 的倍数. 如果 a1 是 3 的倍数,由(Ⅱ)知对所有正整数 n, an 是 3 的倍数. 因此当 n ? 3 时, an ??12, 24,36? .这时 M 的元素个数不超过 5. 如果 a1 不是 3 的倍数,由(Ⅱ)知所有正整数 n, an 不是 3 的倍数. 当 a1 =1 时, M ? ?1,2,4,8,16,20,28,32 ? 有 8 个元素. 综上可知,集合 M 的元素个数最大值为 8.

因此当 n ? 3 时 an ??4,8,16,20,28,32? .这时 M 的元素个数不超过 8.


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