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函数的奇偶性与周期性(重点)


函数的奇偶性与周期性(重点)
适用学科 高中数学 适用区域 全国新课标 知识点
1.函数奇偶性定义

适用年级 课时时长(分钟)

高中三年级 60

2.函数奇偶性的判断方法

3.函数奇偶性的对称性 4. 函数奇偶性的性质 5.函数的周期性

教学目标 1.

结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.运用函数图像,理解和研究函数的奇偶性;
3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性;

教学重点 灵活运用函数的奇偶性与周期性解决数学问题 教学难点 讲练结合法、观察法

教学过程
一.课程导入:

观察这块表我们知道指针都是一圈一圈的转动,从而我们引申出我们这节课要学的周期性

二、复习预习
本讲复习时应结合具体实例和函数的图象,理解函数的奇偶性、周期性的概念,明确它们在研究函数中 的作用和功能.重点解决综合利用函数的性质解决有关问题.

三、知识讲解 考点 1、函数的奇偶性
1.定义: 如果对于函数 f (x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x)), 那么这个函数就是偶 (奇) 函数; 2.性质及一些结论: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; (3) f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |)
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(4) 若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 , 则 f( “f(x)为奇函数” 是"f(0)=0"的非充分非必要条件; 0 ) ? 0 因此,
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(5)判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义 域不受影响;

(6)断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:
f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 f (? x)

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(7)设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 (8)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反

考点 2、函数的周期性
1.定义: 若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则 f(x)叫做周期函数,T 叫做 这个函数的一个周期 2.简单理解: 一般所说的周期是指函数的最小正周期, 周期函数的定义域一定是无限集, 但是我们可能只研究定 义域的某个子集

四、例题精析
考点一
奇偶性辨析

【例题 1】 【题干】下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数 的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R), 其中正确命题的个数 是 A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】A 【解析】偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误 奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确
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若 y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x∈R,如例 1 中的(3),故④错误, 选A
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考点二

奇偶性的应用

【例题 2】 【题干】已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , (1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12)
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【答案】见解析 【解析】 (1)显然 f ( x) 的定义域是 R ,它关于原点对称.在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 中, 令 y ? ? x ,得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ,令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) , ∴ f (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) 是奇函数 (2)由 f (?3) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 及 f ( x) 是奇函数, 得 f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ?4 f (?3) ? ?4a
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考点三

函数周期性的应用

【例题 3】 【题干】设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x) =2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 011).

【答案】见解析 【解析】(1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数,

∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得 x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 011)=0.

考点四

单调性与奇偶性的交叉应用

【例题 4】 -2x+b 【题干】已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a ①求 a、b 的值; ②若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

【答案】见解析 【解析】①∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0, b-1 1-2x 即 =0,∴b=1,∴f(x)= , a +2 a+2x+1 1 1- 2 1-2 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. a +4 a +1 1 1 ②由①知 f(x)= =- + x , 2+2x+1 2 2 +1 易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又∵f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2), ∵f(x)为减函数,∴由上式得 t2-2t>k-2t2, 1-2x

1 即对任意的 t∈R 恒有:3t2-2t-k>0,从而 Δ =4+12k<0,∴k<- . 3

课后评价


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