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浙江省嘉兴一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含答案


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嘉兴市第一中学 2014 学年第一学期期末考试

高二数学(文科)

试题卷

命题:沈新权 审题:刘舸,王英姿 满分[ 100]分 ,时间[120]分钟 2015 年 2 月 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共

30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知直线 l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则 l1,l2 之间的距离为 ( A.1 2.命题“若 ? ? A. 若 ? ? B. 2 C. 3 ) D.2 )

?
4

,则 tan ? ? 1 ”的否命题是( B. 若 ? ?

?
4

,则 tan ? ? 1

?
4

,则 tan ? ? 1

C. 若 tan ? ? 1 ,则 ? ?
2

?
4

D. 若 tan ? ? 1 ,则 ? ?

?
4

3. 椭圆 (

x ? y 2 ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2 ,则点 P 到另一个焦点的距离为 25

) A.6 B.7 C.8 D.9 4. 已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命题中为真 ) B. p ? q C. (?p) ? (?q) D. (?p) ? (?q) A. (?p) ? q

命题的是(

5.已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“m⊥β”是“α⊥β”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在圆 x2+y2+2x-4y=0 内,过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是 ( π A. 6 π B. 4 π C. 3 3π D. 4 )

A

7.如图,在边长为 2 正方形 ABCD 内作内切圆 O ,则将圆 O 绕对角 线 AC 旋转一周得到的旋转体的表面积为( )

4 4 A. B. 4 C. ? D. 4? 3 3 8.给出下列四个命题:①分别与两条异面直线都相交的两条直线
一定是异面直线; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;

B

O

D

C

第7题

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂

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直. 其中为真命题的是( A.②和④ ) C.③和④ D.①和②

B.②和③

9.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面 积不可能 等于( ... A.1 ) B. 2 C. 2-1 2 D. 2+1 2

10.设点 A, B 分别在直线 3x ? y ? 5 ? 0 和 3x ? y ? 13 ? 0 上运动,线段 AB 的中点 M 恒在直 线 x ? y ? 4 上或者其右上方区域.则直线 OM 斜率的取值范围是( )

1 A. ( ,1] 3

B. [1,3)

C. (??,1] (3, ??)

1 D. (??,1] ( , ??) 3

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 11.已知 l1:x+ay+6=0 和 l2:(a-2)x+3y+2a=0,则 l1∥l2 的充要条件是________. 12. 直 线 l 经 过 P(2,3) , 且 在 x 轴 上 的 截 距 等 于 在 y 轴 上 的 截 距的 2 倍 的 直 线 方 程 为 . 13. 如 图 , 正 方 体 ABCD ? EFGH 的 棱 长 为 3 , 则 点 D 到 平 面 ACH 的 距 离 为 . x2 y2 14.已知点 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦 a b 点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点,若△ABF2 为正三角形,则椭圆的离心率是_________.

H
E
D

G

F

C

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 15. 当实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 时, 1 ? ax ? y ? 4 恒成 A ?x ? 1 ?
立,则实数 a 的取值范围是 .

第 13 题

B

16. 如果单位圆 x2 ? y 2 ? 1 与圆 C: (x-a)2+ (y- a)2= 4 相交,则实数 a 的取值范围 为 .

17.如图,已知边长为 2 的正△ A? BC ,顶点 A? 在平面 ? 内,顶点 B , C 在平面 ? 外的同 一侧,点 B ?, C ? 分别为 B , C 在平面 ? 上的投影,设 BB? ? CC ? ,直 线 C B ? 与平面 A? CC ? 所成的角为 ? .若△ A? B ?C ? 是以 ?A? 为直角的 直角三角形,则 tan ? 的范围为_______.
?
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C

B
C?

B? A?

第 17 题

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三、解答题(本大题共 5 小题,共 49 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分 8 分)已知命题“若 a ? 0 ,则 x 2 ? x ? a ? 0 有实根”.写出命题的逆否 命题并判断其真假. 19. (本小题满分 8 分)已知三角形 ABC 中, AB ? 2, AC ? 2BC . (1)求点 C 的轨迹 方程; (2)求三角形 ABC 的面积的最大值. 20. (本小题满分 10 分)如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所 有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (1)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (2)求二面角 A ? A1D ? B 的 正弦值. 第 20 题 21. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 直 线 l 的 方 程 为

2 x ? (1 ? m) y ? 2m ? 0 , m ? R ,点 P 的坐标为 (?1,0) .
(1)求证:直线 l 恒过定点,并求出定点坐标;(2)求点 P 到直线 l 的距离的最大值; (3)设点 P 在直线 l 上的射影为点 M , N 的坐标为 (2,1) ,求线段 MN 长的取值范围.

22. (本小题满分 11 分)如图,已知边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?ABC ? 60 ? .将菱形

ABCD 沿对角线 AC 折起得到三棱锥 D ? ABC ,设二面角 D ? AC ? B 的大小为 ? .
(1)当 ? ? 90 ? 时,求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值; (2)当 ? ? 60 ? 时,求直线 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

D D

A

C

A

C

B

第 22 题
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B

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嘉兴市第一中学 2014 学年第一学期期末考试

高二数学(文科)

答题卷
2015 年 2 月

满分[100 ]分 ,时间[120 ]分钟

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的)






请把答案填涂在答题卡上 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 11. 12. 15. 16. 13.





14. 17.




封 骤)

三、解答题(本大题共 5 小题,共 49 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步

18.(本小题满分 8 分)


密 封 线 内 不 要 答 题

已知命题“若 a ? 0 ,则 x 2 ? x ? a ? 0 有实根”.写出命题的逆否命题并判断其真假.

线



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19. (本小题满分 8 分) 已知三角形 ABC 中, AB ? 2, AC ? 2BC . (1)求点 C 的轨迹方程; (2)求三角形 ABC 的面积的最大值.

20. (本小题满分 10 分) 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为
CC1 中点.

(1)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (2)求二面角 A ? A1D ? B 的 正弦值. 第 20 题

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21. (本小题满分 12 分) 已知直线 l 的方程为 2 x ? (1 ? m) y ? 2m ? 0 , m ? R ,点 P 的坐标为 (?1,0) . (1)求证:直线 l 恒过定点,并求出定点坐标;(2)求点 P 到直线 l 的距离的最小值; (3)设点 P 在直线 l 上的射影为点 M , N 的坐标为 (2,1) ,求线段 MN 长的取值范围.

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22. (本小题满分 11 分)

?ABC ? 60 ? .将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折 如图, 已知边长为 4 的菱形 ABCD 中,
起得到三棱锥 D ? ABC ,设二面角 D ? AC ? B 的大小为 ? . (1)当 ? ? 90 ? 时,求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值; (2)当 ? ? 60 ? 时,求直线 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

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D D


A

C

A

C
线

B

第 22 题

B










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嘉兴市第一中学 2014 学年第一学期期末考试

高二数学(文科)
命题人:沈新权 一、选择题 1 B 2 A 二、填空题 11. a ? ?1 12. 3x ? 2 y ? 0 或 x ? 2 y ? 8 ? 0 16. ? 3 C 4 D 5 A

参考答案及评分标准
审核人:刘舸、王英姿

6 B

7 D

8 A

9 C

10 B

13.

3

14.

3 3

3 15. [1, ] 2

3 2 2 2 3 2 ?a?? ?a? 或 2 2 2 2

? 2 3? 17. ? , ? ? ? 2 2 ?
三、解答题 18.解法一:原命题:若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根. 逆否命题:若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0. 1 判断如下:∵x2+x-a=0 无实根,∴Δ=1+4a<0,∴a<- <0, 4 ∴“若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0”为真命题. 解法二:∵a≥0,∴4a≥0,∴4a+1>0,∴方程 x2+x-a=0 的判别式 Δ=4a+1>0, ∴方程 x2+x-a=0 有实根.故原命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”为真. 又因原命题与其逆否命题等价,∴“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题为真. 19. 解: (1)以 AB 为 x 轴, AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系,则 A(?1,0), B(1,0) , 设 C ( x, y ) ,由 AC ? 2BC ,得 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 8 ,即为点 C 的轨迹方程,所以点 C 的轨迹是以

(3,0) 为圆心,半径为 2 2 的圆.

1 (2)由于 AB ? 2 ,所以 S?ABC ? ? 2 ? y ? y ,因为 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 8 ,所以 y ? 2 2 ,所 2
以 S?ABC ? 2 2 ,即三角形 ABC 的面积的最大值为 2 2 . 20. 解: (1)取 BC 中点 O ,连结 AO . △ ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .

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正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥ 平面 BCC1B1 ,? AO ⊥ 平面 BCC1B1 .连结 B1O ,在正方 形 BB1C1C 中,O,D 分别为 BC,CC1 的中点, ? B1O ⊥ BD , ? AB1 ⊥ BD .在正方形 ABB1 A1 中,
AB1 ⊥ A1B , ? AB1 ⊥平面 A1BD .

(2)设 AB1 与 A1 B 交于点 G ,在平面 A1BD 中,作 GF ⊥ A1D 于 F ,连结 AF ,由(Ⅰ)得 AB1 ⊥ 平面 A1BD .? AF ⊥ A1D , ?∠AFG 为二面角 A ? A1D ? B 的平面角.在 △AA1D 中,由等面积法 可求得 AF ? 4 5 ,又 AG ? 1 AB1 ? 2 , ? sin ∠AFG ? AG ? 2 ? 10 . 2 5 AF 4 5 4 5 21. 证明:( 1 )由 2 x ? (1 ? m) y ? 2m ? 0 得 2 x ? y ? m( y ? 2) ? 0 ,所以直线 l 恒过直线

?2 x ? y ? 0, 2 x ? y ? 0 与直线 y ? 2 ? 0 交点 Q ,解方程组 ? 得 Q(1, ?2) ,所以直线 l 恒过定点, ? y ? 2 ? 0.
且定点为 Q(1, ?2) . 解:(2)设点 P 在直线 l 上的射影为点 M ,则 PM ? PQ ,当且仅当直线 l 与 PQ 垂直 时,等号成立,所以点 P 到直线 l 的距离的最大值即为线段 PQ 的长度为 2 2 . (3)因为直线 l 绕着点 Q(1, ?2) 旋转,所以点 M 在以线段 PQ 为直径的圆上,其圆心为 点 C (0, ?1) ,半径为 2 ,因为 N 的坐标为 (2,1) ,所以 CN ? 2 2 ,从而 2 ? MN ? 3 2 . 22. 解:由题意可知二面角 D ? AC ? B 的平面角为 ?DOB ,即

D

?DOB ? ? .
(1) 当 ? ? 90 ? 时, 即 ?DOB ? 90? , 分别取 DC , BD 的中点 M ,

M
A
O N

N ,连结 OM , MN , ON ,∵ OM // AD , MN // BC ,
∴ ?OMN 为异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角, 在△ OMN 中, OM ? 2 , MN ? 2 , ON ? 6 , ∴ cos ?OMN ?

C

B D

1 1 ,即异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为 . 4 4

(2) 当 ? ? 60 ? 时, 即 ?DOB ? 60? , 由题意可知 AC ? 平面 DOB , △ DOB 为等边三角形,取 OB 的中点 H ,则有 DH ? 平面 ABC ,且

A

O

C
H
B

DH ? 3 ,即直线 AD 与平面 ABC 所成的角为 ?DAH ,

3 3 ∴ sin ?DAH ? ,即直线 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 . 4 4

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