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重庆市第十一中学校高2015级12月月考数学答案(文)


重庆市第十一中学校高 2015 级 12 月月考数学答案(文)
命题人:重庆十一中
一选择题: 1—5 D C B C B 二、填空题: 11、 (0, ??) 12、 20 6 13、 ?

蒋 成

6—10

A A C D D

7 9

14、 10

15、10;

n2 ? n 2

三、解答题: 16、解: (1)由 an ? an?1 ? n(n ? 1, n ? N * ) 有 an ? an?1 ? n ,由叠加可得

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? L ? (an ? an ?1 ) ? 1 ? 2 ? L ? n ?
当 n ? 1 时,上式的值为 1 ,满足条件 a1 ? 1, 所以, a n ? (2) bn ?

n(n ? 1) 2

n(n ? 1) (n ? 2) , 2

2 1 1 ? 2( ? ) ,所以 n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 2n S n ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1

17、解: (1) f '( x) ?

x?a ( x ? 0) ,切点为 (1,1) , f / (1) ? 0 , x 故切线方程为 y ? 1 . (2) a ? 0 时,函数 f ( x ) 与 f '( x ) 在定义域上的情况如下表: x ?a (0, ?a ) ( ?a, ??) ? f '( x ) 0 + f ( x) ↘ 极小值 ↗ f (?a) 是函数 f ( x) 的极小值,也是函数 f ( x) 的最小值, 所以,当 f ( ?a ) ? a(ln( ?a ) ? 1) ? 0 ,即 a ? ?e 时,函数 f ( x) 没有零点. 综上所述,当 ?e ? a ? 0 时, f ( x) 没有零点.

2 2 2 18、解(1) 因为 AC ? 3 , AB ? 2 BC ? 2 ,所以 AB ? AC ? BC ,由勾股定理 AC ? BC ,又 AC ? FB ,所以 AC ? 平面 FBC

(2)过 D 作 DM ? AB 于 M ,过 C 作 CN ? AB 于 N 于是:V ? VE ? AMD ? VEDM ? FCN ? VF ?CNB ? 2VE ? AMD ? VEDM ? FCN

1

M

N

1 1 ? S AMD ? ED ? ? 3 3 3 VEDM ? FCN ? S EDM ? CD ? ?1 ? 4 3 3 3 所以: V ? 2 ? ? ? 24 4 3
而 VE ? AMD ?

3 3 ?1 ? 8 24 3 4

19、解:(1) 因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin 所以由已知得 4 cos
2

B?C ??A A ? sin ? cos , 2 2 2

A 7 7 ? cos 2 A ? ? 2(1 ? cos A) ? (2 cos 2 A ? 1) ? 2 2 2 1 ? 整理得 (2cos A ?1)2 ? 0 解得 cos A ? ? A ? . 2 3 a b c ? ? ? 2 ,得 b ? 2sin B, c ? 2sin C (2) 由正弦定理 sin A sin B sin C 1 2? 3 3 ? 故 b ? c ? 2sin B ? sin C ? 2sin B ? sin( ? B) ? sin B ? cos B ? 3 sin( B ? ) 2 3 2 2 6 ? 2? ? ? ? ? ? B? ? 因为 a ? b ,所以 ? B ? 3 3 6 6 2 1 ? 3 所以 b ? c ? 3 sin( B ? ) ? [ , 3) 2 6 2 20、解:(1)证明:取 EC 中点 F ,连接 MF , BF .由于 MF 为 ?CDE 的中位线,所以 1 1 MF / / CD, MF ? CD ;又因为 NB / / CD, NB ? CD ,所以 NB / / MF , NB ? MF 2 2 所以四边形 NBFM 为平行四边形,故 MN / / BF ,而 BF ? 平面 BEC , MN ? 平面 BEC , D 所以 MN / / 平面 BEC ; (2)因为 MN / / 平面 BEC ,所以: 1 1 1 1 VE ? BMC ? VM ? BEC ? VN ? BEC ? VC ? BEN ? S?BEN ? CB ? ? ? 2 ? 3 3 2 3 M 因为 AB ? AD, AB ? AE ,所以 AB ? 平面 EAD ,故 AB ? AM ,
从而:
A N

C

B

1 5 21 MB ? MA2 ? AB2 ? ( DE )2 ? AB2 ? ( )2 ? 22 ? 2 2 2 因为 CD / / AB ,所以 CD ? 平面 EAD ,故 CD ? DM ,从而:

E

1 5 21 在 ?BMC 中, MC ? MD2 ? DC 2 ? ( DE)2 ? DC 2 ? ( )2 ? 22 ? 2 2 2 21 MB ? MC ? , BC ? 2 , 2
2

1 1 1 21 17 ? BC ? MB2 ? ( BC )2 ? ? 2 ? ?1 ? 2 2 2 4 2 1 1 所以 VE ? BMC ? S ?BMC ? h ? (其中 h 表示点 E 到平面 BMC 的距离) , 3 3 2 1 17 1 2 17 17 . 即 ? ,所以点 E 到平面 BMC 的距离为 ? h ? ,解出 h ? 17 3 2 3 17 x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, 21、解:(1)因为椭圆 E: a 2 b2 2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
所以 ?BMC 的面积 S?BMC ? (2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

OA ? OB ,
? y ? kx ? m ? 2 2 ①设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 解方程组 ? x 2 y 2 得 x ? 2(kx ? m) ? 8 , ?1 ? ? 4 ?8 2 2 2 即 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2 2 2 2 2 则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 , ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ? k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0, 要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 3m2 ? 8 2 2 2 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 所以 3m ? 8k ? 8 ? 0 ,所以 k ? 8 2 ?m ?2 8 2 6 2 6 2 所以 ? 2 ,所以 m ? ,即 m ? 或m? ? , 3 3 3 ? 3m ? 8
因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 r ?

m 1? k 2

,

r2 ?

m2 ? 1? k 2

m2 8 2 6 ? ,r ? , 2 3m ? 8 3 3 1? 8
3

8 2 6 2 6 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m ? ? , 3 3 3 x2 y 2 2 6 ? ? 1 的两个交点为 ② 当切线的斜率不存在时切线为 x ? ? 与椭圆 8 4 3 2 6 2 6 2 6 2 6 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 OA ? OB , 3 3 3 3 8 2 2 综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? , 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个 3 4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 交点 A,B,且 OA ? OB .因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ? 4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) 2 2 所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (? , ) ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2
2 2 所求的圆为 x ? y ?

| AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m2 ? 4) (1 ? 2k 2 )2

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1 32 1 [1 ? ] ①当 k ? 0 时 | AB |? 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k 1 1 1 32 32 1 2 因为 4k ? 2 ? 4 ? 8 所以 0 ? ? ,所以 ? [1 ? ] ? 12 , 1 1 k 8 3 3 2 2 4k ? 2 ? 4 4k ? 2 ? 4 k k 4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 所以 时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 2 4 6 ② 当 k ? 0 时, | AB |? . 3 2 6 2 6 2 6 2 6 ③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 ( ,? ) 或 (? ,? ) ,所以此时 3 3 3 3 4 6 , | AB |? 3 4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 综上, |AB |的取值范围为 3 3 ?

4


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