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高中数学必修4(北师版)第三章三角恒等变形3.1(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修4(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章三角恒等变形 3.1 同角三角函数的基本关系

一、知识清单
同角三角函数的关系式

二、知识讲解
1.同角三角函数的关系式 描述: 平方关系

sin 2 x + cos2 x = 1 .
商数关系

倒数关系

sin x = tan x . cos x 1 . tan x 13

cot x =

例题: 已知 cos α = ? 5 ,求 sin α、tan α 的值. 解:因为 cos α = ?

5 < 0 ,所以 α 是第二或第三象限角.若 α 是第二象限角,则 13 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 sin α 12 5 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ,tan α = ; sin α = √1 ? cos2 α = √1 ? (? = 13 = ? ) = 5 13 cos α 5 13 ? 13 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 5 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 若 α 是第三象限角,则 sin α = ?√1 ? cos2 α = ?√1 ? (? , ) =? 13 13 ? 12 sin α 12 13 . tan α = = = 5 cos α 5 ?
13

已知 tan α = 2,求下列各式的值. (1)

3 sin α ? 2 cos α 2 sin 2 α + sin α cos α + cos2 α ;(2) ;(3)sin 2 α + sin α cos α + 2 . 2 2 2 sin α + cos α 4 sin α ? 3 cos α 3 tan α ? 2 3×2?2 4 解:(1)将分子、分母同时除以 cos α,原式 = = = ; 2 tan α + 1 2×2+1 5 2 2 α + tan α + 1 2 2 × + 2+1 11 tan 2 (2)将分子、分母同时除以 cos2 α ,原式 = ; = = 2 2 13 4 tan α ? 3 4×2 ?3 6 16 sin 2 α + sin α cos α tan2 α + tan α (3)原式 = . +2 = +2 = +2 = 2 2 2 5 5 tan α + 1 sin α + cos α
化简下列式子

? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? √? 1? ? 2? sin 10? cos 10? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin 10? ? √1 ? sin 2 10?

sin 10 ? √1 ? sin 10 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? √(cos 10? ? sin 10? )2 | cos 10? ? sin 10? | cos 10? ? sin 10? 解:原式 = = = = ?1 . ? ? ? ? ? ? ? sin 10? ? cos 10? sin 10? ? cos 10? sin 10? ? √cos2 10?
求证:

cos2 x ? sin 2 x sin x 1 + cos x 证明:右边 = sin x 1 ? cos x

1 + 2 sin x cos x

=

1 + tan x . 1 ? tan x (cos x + sin x)2 1 + 2 sin x cos x = = = 左边 . (cos x ? sin x)(cos x + sin x) cos2 x ? sin 2 x

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