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2013-2014版高中数学(苏教版)必修三规范训练 第2章 统计3.2 Word版含答案]


2.3.2

方差与标准差
双基达标 ?限时15分钟?

1.已知一个样本的方差 s2= 是________.

1 [(x -2)2+(x2-2)2+…+(x10-2)2],这个样本的平均数 10 1

解析 由方差公式的形式易知平均数为 2. 答案 2 2.数据 5,7,7,8,10,11 的标准差是________. 解析 数据的平均数是: x= 5+7+7+8+10+11 =8,标准差为:s=2. 6

答案 2 3.如图是全国钢琴、小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计 图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为________.

解析 由平均数和方差公式可知:平均数为 85,方差为 1.6. 答案 85;1.6 4.已知样本 x1,x2,x3,x4,x5 的方差为 3,则样本 4x1+1,4x2+1,4x3+1,4x4+1,4x5+1 的标准差是________. 解析 若数据 x1,x2,x3,x4,x5 的方差为 s2,则样本 ax1+b,ax2+b,ax3+b,ax4+b, ax5+b 的方差为 a2s2. 由题意知 4x1+1,4x2+1,4x3+1,4x4+1,4x5+1 的方差为 42×3=48. ∴其标准差为 48=4 3. 答案 4 3 5.一个样本的方差是 0,若中位数是 a,那么它的平均数是________. 解析 由于样本的方差是 0,这组数每一个数都相等,又中位数是 a,所以它的平均数 是 a. 答案 a 6. 对自行车运动员甲、 乙两人在相同条件下进行了 6 次测试, 测得他们的最大速度(m/s) 的数据如下: 甲 乙 解 他们的平均速度为: 27 33 38 29 30 38 37 34 35 28 31 36

试判断选谁参加某项比赛更合适.

1 x 甲= (27+38+30+37+35+31)=33(m/s), 6 1 x 乙= (33+29+38+34+28+36)=33(m/s). 6 他们的平均速度相同,比较方差: 1 s 甲 2= [(-6)2+52+(-3)2+42+22+(-2)2] 6 = 47 2 2 (m /s ), 3

1 38 s 乙 2= [(-4)2+52+12+(-5)2+32]= (m2/s2). 6 3 ∵s 甲 2>s 乙 2,即 s 甲>s 乙. 故乙的成绩比甲稳定.∴选乙参加比赛更合适. 综合提高 示: 甲 平均数 x (分) 方差 s2(分 2) 8.5 3.5 乙 8.8 3.5 丙 8.8 2.1 丁 8 8.7 ?限时30分钟? 7.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所

则参加奥运会的最佳人选应为________. 解析 成绩最好的为乙、丙,而表现最为稳定的为丙. 答案 丙 8.若 a1,a2,…,a20 这 20 个数据的平均数为 x ,方差为 0.20,则 a1,a2,…,a20, x 这 21 个数据的方差约为________.(精确到小数点后两位) 解析 ≈0.19. 答案 0.19 9.在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组.[a,b)是其中的一组,抽查出的 个体在该组上的频率为 m,该组上的直方图的高为 h,则|a-b|=________. 答案 mh 10.为了科学地比较考试的成绩,有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分,转 x- x 化关系为:Z= (其中 x 是某位学生考试分数, x 是该次考试的平均分,s 是该次考试 s 的标准差,Z 是这位学生的标准分).但考试分数转化成标准分后可能出现小数或负值.因 此,又常常再将 Z 分数作线性变换转化成其他分数.例如某次学业选拔考试采用的是 T 分 数,线性变换公式是:T=40Z+60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是 85,这次考试 的平均分是 70,标准差是 25,则该考生的 T 分数为________. 解析 利用题中给出的公式算得 Z=0.6,∴T=40×0.6+60=84. 答案 84 s2= 1 1 4 [(a - x )2+(a2- x )2+…+(a20- x )2+( x - x )2]= ×20×0.20= 21 1 21 21

11.甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图.

(1)则

表示的原始数据是什么?

(2)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差; (3)比较两名同学成绩的优劣. 解 (1)103 (2)甲的平均数为 87,标准差为 12.3;乙的平均数为 95,标准差为 10.2. (3)甲的学习状况不如乙. 12.为了解 A,B 两种轮胎的性能,某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了 8 个 进行测试,下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位:1 000 km) 轮胎 A 轮胎 B 96,112,97,108,100,103,86,98 108,101,94,105,96,93,97,106

(1)分别计算 A,B 两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数; (2)分别计算 A,B 两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差; (3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定. 解 (1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为: 96+112+97+108+100+103+86+98 8 =100, 100+98 中位数为: =99; 2 B 轮胎行驶的最远里程的平均数为: 108+101+94+105+96+93+97+106 8 =100, 101+97 中位数为: =99. 2 (2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为: 112-86=26, 标准差为: s= = 42+122+32+82+0+32+142+22 8 221 ≈7.43; 2

B 轮胎行驶的最远里程的极差为:108-93=15, 标准差为:

s= =

82+12+62+52+42+72+32+62 8 118 ≈5.43. 2

(3)由于 A 和 B 的最远行驶里程的平均数相同,而 B 轮胎行驶的最远里程的极差和标准 差较小,所以 B 轮胎性能更加稳定. 13.(创新拓展)某班 40 人随机平均分成两组,两组学生某次考试的分数(单位:分)情况 如下表: 统计量 组别 第一组 第二组 则全班的平均成绩和标准差分别是多少? 解 设第一组 20 名学生的成绩为 x1,x2,x3,…,x20,第二组 20 名学生的成绩为 x21, x22,…,x40,根据题意得 x1+x2+…+x20 x21+x22+…+x40 90= ,80= , 20 20 x= x1+x2+…+x40 90×20+80×20 = =85(分), 40 40 平均数 90 80 标准差 6 4

1 第一组的方差 s12= (x12+x22+…+x202)-902,① 20 1 第二组的方差 s22= (x212+x222+…+x402)-802,② 20 由①+②,得 1 36+16= (x12+x22+…+x202+x212+…+x402)-(902+802), 20 ∴ x12+x22+…+x402 =7 276(分 2) 40
2

x12+x22+…+x402 ∴s = -852=7 276-7 225=51(分 2), 40 ∴s= 51(分).


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