当前位置:首页 >> 城乡/园林规划 >>

江苏高考数学押题卷


江苏高考数学押题卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸 的指定位置上. 1.已知 i 是虚数单位,m∈R,且 ( 2 ? m i)(1 ? i) 是纯虚数,则 m ? 2 .

2.若命题“ ? x ? R , sin x ? a ”的否定为真命题,则实数 a 能取到的最大值是___1___. 3.函数 f ( x ) = x ? 2 ln x 的单调递减区间为 4.如图是计算 y 则 f [ f ( 2 )] =
? f (x)

(0,2)

.

0

的函数值的程序框图, .

开始 输入 x 是

x ? 1?

D
c

C


y ? x ?1

y ? lo g 2 x
a

b

输出 y 第4题

A
第7题

B

结束

5.一个质地均匀的正四面体骰子,四个面上分别标有 1,2,3,4 这四个数字,抛掷这颗 正四面体骰子,其底面落于桌面,观察抛掷后能看到的数字,若抛掷一次,则能看到的 三个面上的数字之和大于 6 的概率是
3 4



6.某校举行演讲比赛,9 位评委给选手 A 打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最 高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中 的 x )无法看清,若统计员计算无误,则数字 x 应该是 2 .
?c ) = ?3 .

7. 如图, 矩形 ABCD 内放入了 5 个单位小正方形, 在其中有向量 a, b, c ,( a+b 则

8.已知 A (1, 0 ), B (0, 2 ) ,实数 p , q 满足 过定点的坐标为 (1,2) .

1 p

?

1 q

?1

,若 OC ? pOA OD ?qOB ,则直线 CD 恒 ,

????

??? ???? ?

??? ?

9.矩形 ABCD 的边 AB⊥x 轴,且矩形 ABCD 恰好能完全覆盖函数 y

? a sin a x ( a ? 0 )

的一个

完整周期的图象,则当 a 变化时,矩形 ABCD 的周长的最小值为 8 ? .
1 2 1 2 ,1] ,函数

10.设集合 A
1 x0

? [0 ,

), B ? [

1 ? ?x ? ,x? A f (x) ? ? 2 ? 2 (1 ? x ), x ? B ?

,若 x 0 ?

A

,且

f [ f ( x 0)] ? A

,则

的取值范围是 [ 2,4) .

x2 y2 11.若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过点 ( 2,1) 作圆 x2+y2=4 的切线,切点分别为 A,B, a b 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 12. 将一个长宽分别 a , b (0 ?
a ? b)

x

2

?

y

2

?1.

20

16

的长方形的四个角切去四个相同的正方形, 然后折成一个
b a

无盖的长方体形的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则 为 (1,
5 4 )

的取值范围

.

13.设数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 2 n ? 1 , 数列 { b n } 定义如下:对于正整数 m, b m 是使 得不等式 a n ? m 成立的所有 n 中的最小值,则 解析:由题意, 对于正整数,由 a n ? m ,得 n ?
5.u.c.o.

1 2012

( b1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? b 2 0 1 2 ) ?

504 .

m ?1 2

,根据 b m 的定义可知,

s.

当 m ? 2 k ? 1 时, b m ? k ? k ? N * ? ;当 m ? 2 k 时, b m ? k ? 1 ? k ? N * ? .

∴ b1 ? b 2 ? ? ? b 2 0 1 2 ? ? b1 ? b3 ? ? ? b 2 0 1 1 ? ? ? b 2 ? b 4 ? ? ? b 2 0 1 2 ?
? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? 1 0 0 6 ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 1 0 0 7 ?

?

1 0 0 6 ? ?1 ? 1 0 0 6 ? 2

?

1006 ? ? 2 ? 1007 ? 2
? {( x, y ) | ?

? 1 0 0 6 ? 1 0 0 8 ,∴

1 2012

2012

?

bi ?

504.

w.w.w. k.s. 5.u.

i ?1

14.直角坐标系内的点集 A

m∈[1,2],使得 ( x ? m ) 2

? (y ?

3m ) ? m
2

2

},则集合

A 中的点形成的图形面积为 3( 3 ? ? ) .
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? s in ( x ? (1)求函数 (2)若函数
f (x)

7 4

? ) ? cos( x ?

3 4

? ), x ? R

的最小正周期和值域;
6 5 ),

f (x)

的图象过点 (? ,
7? 4

?
4

?? ?

3? 4

,求

f(

?
4

??)

的值。
? sin x sin 3? 4

解析: (1)∵ f ( x ) ? sin x c o s
? 2 sin ? x

? c o s x sin

7? 4

? cos x cos )

3? 4

2 c x s? o

2 s i? ( , x n 4
2 ≤ y ≤ 2}

?

??? 2 分 ??? 5 分 ??? 7 分

∴函数的最小正周期为 2 ? ,值域为 { y | ? (2)依题意得: 2 s in (? ∵
?
4 ?? ? 3? 4 ?

?
2

)?

6 5

, s in (?
?
4 ?

?

?
4

)?

3 5

,∴ 0

?? ?

?
2

∴ c o s(? ∴
?
4

?

?
4

)?

1 ? sin (? ?
2

?
4

) ?

4 5

??? 9 分
?
4

f(

? ? ) ? 2 sin ? ? 2 sin [(? ?

?
4

)?

]

? 2[sin (? ?

?
4

) cos

?
4

? c o s(? ?

?
4

) sin

?
4

]

??? 12 分 ??? 14 分

? 2(

3 5

?

2 2

?

4 5

?

2 2

)?

7 5

2



16. (本题满分 14 分) 如图,ABCD 是边长为 3 正方形, DE⊥平面 ABCD, AF∥DE, DE=3 AF, 与平面 ABCD BE 所成角为 6 0 ? . (1)设点 M 是线段 BD 上一点,且 BD=3BM,证明: AM∥平面 BEF; (2)求多面体 ABCDEF 的体积。 E

F

D
M

C

A

B

解析:(1)取 BE 上的三等分点 N,使 3BN=BE,连结 MN,NF, 则 DE∥MN,且 DE=3MN, 因为 AF∥DE,且 DE=3AF, 所以 AF∥MN,且 AF=MN, 故四边形 AMNF 是平行四边形.所以 AM∥FN,??? 4 分 因为 AM ? 平面 BEF,FN ? 平面 BEF, 所以 AM∥平面 BEF. ??? 7 分 F ??? 2 分

E

N D
M

C

A

B

(2)∵DE⊥平面 ABCD,∴BD 为 BE 在平面 ABCD 上的射影, ∴ ?EBD
? 6 0 ? ,∴在 R t ? B D E

中,可得 D E

?3 6

??? 9 分

∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,且交线为 AD 又 AB⊥AD,∴ A B ∴ V B ? ADEF 又V E ? DBC
? 6 6
? 9 2
? 平 面 ADEF

,即 BA 为四棱锥 BADEF 的高 ??? 11 分

, ,∴ V 多 面 体
? 21 2 6

6

??? 14 分

17.(本题满分 14 分) (原创)请你设计一个纸盒.如图所示,ABCDEF 是边长为 30cm 的正六边形硬纸片, 切去阴影部分所示的六个全等的四边形,再沿虚线折起,正好形成一个无盖的正六棱 柱形状的纸盒.G、H 分别在 AB、AF 上,是被切去的一个四边形的两个顶点,设 AG ? AH ? x(cm). (1)若要求纸盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)若要求纸盒的的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求此时纸盒的高与底面边 长的比. E D

F

C

H

AG

B

解析: (1)由平面图形知,正六棱柱的底面正六边形的边长为 (3 0 ? 根据平面图形中的小阴影四边形,可得正六棱柱的高为 所以纸盒的侧面积 S
? 6 ? (3 0 ? 2 x ) ? 3 x ? 1 2 3 x (1 5 ? x )

2 x)

, ??? 2 分

3x



1 , x ? ? 0, 5 ? , ??? 5 分

因为该二次函数开口向下,且对称轴方程为 x 所以当 x
? 15 2

?

15 2

, ??? 7 分

cm 时,侧面积 S 最大.
? 6?
?

(2)纸盒的的容积 V

3 2 (3 0 ? 2 x ) ? 4

3x

9 ? 4 x3 ? 120 x 2 ? 900 x ? 2

1 , x ? ? 0, 5 ? ,
? 15

由 V ?( x ) ? 列表:

9 ?1 2 x 2 ? 2 4 0 x 2 ? 9 0 0 ? ? 0 2

得x

?5

,或 x

(舍去) ,

??? 10 分

x
V ?( x ) V (x)

? 0,5 ?
+

5 0 极大值 9 000

1 ? 5, 5 ?
?

??? 13 分
3 4

所以当 x

?5

cm 时,容积 V 最大,此时纸盒的高与底面边长的比为

. ??? 14 分

18.(本题满分 16 分) 已知 A ( ? 2, 0 ), B ( 2, 0 ), 点 C 、 D 依次满足 (1)求点 D 的轨迹; (2)过点 A 作直线 l 交以 A、 B 为焦点的椭圆于 M 、 N 两点,线段 M N 的中点到 y 轴的 距离为
4 5 ???? ???? ? ???? 1 ??? A C ? 2 , A D ? ( A B ? A C ). 2

,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程;

(3)在(2)的条件下,设点 Q 的坐标为 (1, 0 ) ,是否存在椭圆上的点 P 及以 Q 为圆心的 一个圆,使得该圆与直线 P A , P B 都相切,如存在,求出 P 点坐标及圆的方程,如不 存在,请说明理由. 解析: (1)设 C ( x 0 , y 0 ), D ( x , y ), A C
???? ??? ? ? ( x 0 ? 2, y 0 ), A B ? (4, 0).

???? ? x0 ? x ? 2 x0 y0 AD ? ( ? 3, ) ? ( x ? 2 , y ), 则 ? , 2 2 ? y0 ? 2 y

???? 代 入 AC

2

? ( x0 ? 2 ) ? y0 ? 4, 得 x ? y
2 2 2

2

? 1.

??? 3 分 ??? 4 分

所以,点 D 的轨迹是以原点为圆心,1 为半径的圆。 (2)设直线 l 的方程为 y 椭圆的方程
x a
2 2

? k ( x ? 2 ).
y
2 2


2

?

a ?4
2k 1? k

? 1( a

? 4 );



??? 5 分

由 l 与圆相切得:

? 1, k
2

2

?

1 3

.

??? 6 分

将①代入②得: ( a 2 k 2 又k2
? 1 3

? a ? 4) x ? 4a k x ? 4a k
2 2 2 2 2

2

? a ? 4a ? 0
4 2



,可得 ( a 2
2

? 3) x ? a x ?
2 2

3 4

a ? 4a
4

2

? 0


4 5

有 x1, 2

?

?a ?

3a (a ? 4)
2 2

2 ( a ? 3)

,∴ x1

? x2 ? ?

a
2

2

a ?3

? ?2 ?

,a2

?8

.

∴椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1.

??? 9 分

8

4

(3)假设存在椭圆上的一点 P ( x 0 , y 0 ) ,使得直线 P A , P B 与以 Q 为圆心的圆相切, 则 Q 到直线 P A , P B 的距离相等,
PA PB
A ( ? 2, 0 ), B ( 2, 0 ),

: :

( x0 ? 2) y ? y 0 x ? 2 y 0 ? 0
( x0 ? 2) y ? y 0 x ? 2 y 0 ? 0
| y0 | ( x0 ? 2) ? y 0
2 2

??? 11 分
2

d1 ?

?
2

| 3 y0 | ( x0 ? 2) ? y0
2

? d2

??? 12 分

化简整理得: 8 x 0 ? 40 x 0 ? 32 ? 8 y 0 ? 0 ∵ 点在椭圆上,∴ x 0 ? 2 y 0 ? 8
2 2

2

解得: x 0

? 2



x0 ? 8

(舍) ??? 15 分
2)

x 0 ? 2 时, y 0 ? ?

2 ,r ? 1 ,

∴ 椭圆上存在点 P ,其坐标为 ( 2 , 2 ) 或 ( 2 , ? 的圆 ( x ? 1) ? y ? 1 相切
2 2

,使得直线 PF 1 , PF 2 与以 Q 为圆心 ?? 16 分

19. (本题满分 16 分) 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn, 数列{an2}的前 n 项和为 Tn, 满足 a1 ?1,

Tn ?

4 3

?

1 3

( p ? Sn )

2



(1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; (2)① 若 an,2xan?1,2yan?2 成等差数列,求 x,y 的值. ② 问是否存在正整数 n,m,k(n ? m ? k) ,使得 an,am,ak 成等差数列?若存在, 指出 n,m,k 的关系,若不存在,请说明理由. 解析: (1)n ? 1 时, T1 当 p ? 0 时, T n ∴a2 ? 0 或 ?
1 2
? 4 3 ? ? 4 3 1 3 Sn ? 1 3
2

( p ? S1 )

2

,即 1 ?

4 3

?

1 3

( p ? 1) a2 ?
2

2

.∴p ? 0 或 2.……… 2 分
? 1 3 (1 ? a 2 )
2

.将 n ? 2 代入,得 1 ?

4 3



.与条件 an ? 0 矛盾.∴p≠0.

…………………………… 3 分

当 p ? 2 时, T n

?

4 3

?

1 3

(2 ? S n )

2

.①

将 n ? 2 代入,得 1 ?

a2 ?

2

4 3

?

1 3

(1 ? a 2 )

2

.∴a2 ?

1 2

, a2

?

1 2

a 1 .………………

4分

由①,得 T n ? 1

?

4 3

?

1 3

( 2 ? S n ?1 )

2

.②

② ? ①,得 a n ? 1 2 则 3 a n ?12

? ?

1 3

[( 2 ? S n ? 1 ) ? ( 2 ? S n ) ] .
2 2

? ( 4 ? S n ? 1 ? S n )( S n ? 1 ? S n ) ,即 3 a n ? 1 ? ( 4 ? S n ? 1 ? S n ) a n ? 1 .
2

∵an ? 0,∴an?1 ? 0.则 3 a n ? 1 则 3an ? 2

? 4 ? S n ? 1 ? S n .③

…………………… 6 分

? 4 ? S n ? 2 ? S n ? 1 .④

④ ? ③,得 3 a n ? 2
1 2

? 3 a n ?1 ? ? a n ?1 ? a n ? 2

.∴ a n ? 2
1 2
n ?1

?

1 2

a n ?1 ( n ? N

?

) .

∵ a2

?

a 1 ,∴数列{an}是等比数列.则 a n ?

,符合题意. ………… 8 分

(2)① 假设存在正整数 n,m,k(n ? m ? k) ,使得 an,am,ak 成等差数列. 则
2 2
m ?1

? 2

1
n ?1

? 2

1
k ?1

,即 2 k ? m ? 1

? 2

k ?n

?1



…………………… 10 分

当且仅当 k ? n ? 0,且 k ? m ? 1 ? 1 时成立. 即 k ? m ? n 时取等号.与 n ? m ? k 矛盾. …………………… 12 分

∴假设不成立.则不存在正整数 n,m,k(n ? m ? k) ,使得 an,am,ak 成等差数列. ② 若 an,2xan?1,2yan?2 成等差数列, 即 an,an?1?x,an?2?y 成等差数列. 由①知,1 ? x ? 0,2 ? y ? 0,∴x ? 1,y ? 2. 20. (本题满分 16 分) 若函数 f ? x ? ? x 4 ? a x 3 ? b x 2 ? cx ? d . (1)当 a ? d ? ? 1 , b ? c ? 0 时,若函数 f ? x ? 的图象与 x 轴所有交点的横坐标的和与 积分别为 m , n . (i)求证: f ? x ? 的图象与 x 轴恰有两个交点; (ii)求证: m 2 ? n ? n 3 . (2)当 a ? c , d ? 1 时,设函数 f ? x ? 有零点,求 a 2 ? b 2 的最小值.
3 2 2 解: (1)(i)因为 f ? ? x ? ? 4 x ? 3 x ? x ? 4 x ? 3 ? ,

…………………… 14 分 …………………… 16 分

所以 x ?

3 4

是使 f ? x ? 取到最小值的唯一的值,且在区间 ? ? ? ,
? ?3 ?4 ? , ? ? ? 上,函数 f ?

?

3? ? 上, 4?

函数 f ? x ? 单调递减;在区间 ?
?3? ?? 0, f ?4?

? x ? 单调递增.????2 分

因为 f ?

? ? 1? ? 0 , f ? 2 ? ? 0 ,
????4 分

所以 f ? x ? 的图象与 x 轴恰有两个交点.

2 (ii)设 x1,2 是方程 f ? x ? ? 0 的两个实根, f ? x ? 有因式 ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? x ? m x ? n , x 则

2 2 2 2 4 3 且可令 f ? x ? ? ( x ? m x ? n )( x ? px ? q ) . 于是有 ( x ? m x ? n )( x ? px ? q ) ? x ? x ? 1 .



分别比较(*)式中常数项和含 x3 的项的系数,得 n q ? ? 1 , p ? m ? ? 1 , 解得 q ? ?
1 n

, p ? m ?1.

????6 分

所以 x ? x ? 1 ? ? x 2 ? m x ? n ? ? x 2 ? ( m ? 1) x ? ? . n? ?
4 3

?

1?

分别比较① 式中含 x 和 x2 的项的系数,得
m n ? ? n ? m ? 1 ? ? 0 ,???②, 1 n ? n ? m ? m ? 1 ? ? 0 ,③

????8 分

②× m + ③×n 得 ? n ? n 3 ? m 2 ? 0 ,即 n ? n 3 ? m 2 .????10 分 (2)方程化为: x ? a x ? b ?
2

a x

?

1 x
2

? 0 ,令 t ? x ?

1 x

,方程为 t ? a t ? b ? 2 ? 0 , t ? 2 ,
2

即有绝对值不小于 2 的实根. 设 g ?t ? ? t ? at ? b ? 2 ? 0
2

????12 分

?t

? 2? ,
2 2 2

①当 ? ②当 ?

a 2 a 2

? ? 2 ,即 a ? 4 时,只需 ? ? a ? 4 b ? 8 ? 0 ,此时, a ? b ? 1 6 ; ? 2 ,即 a ? ? 4 时,只需 ? ? a ? 4 b ? 8 ? 0 ,此时, a ? b ? 1 6 ;
2 2 2

③当 ? 2 ? ?

a 2

? 2 ,即 ? 4 ? a ? 4 时,只需 ? ? 2 ? ? 2 a ? b ? 2 ? 0 或 2 ? 2 a ? b ? 2 ? 0 ,
2

2

即 ? 2 a ? b ? 2 ? 0 或 2 a ? b ? 2 ? 0 ,此时借助线性规划可求得 a ? b ?
2 2

4 5



综合①②③得 a ? b 的最小值为
2 2

4 5



??????16 分

第Ⅱ卷(附加题

共 40 分)

21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修 4—1

几何证明选讲

如图, ⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P, 为⊙O 上一点, E AE=AC, DE 交 AB 于点 F. E 求证:△PDF∽△POC. A · O C 证明:因 AE=AC,AB 为直径,故∠OAC=∠OAE. ????2 分 F B D P

所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDF,所以,∠PDF=∠POC. 又∠P=∠P,所以,△PDF∽△POC.

????6 分 ????8 分 ????10 分

B.选修 4—2 矩阵与变换 已知 a,b ? R ,矩阵 A
??1 ? ? ? b a? ? 3?

所对应的变换 TA 将直线 2 x ?
? ? 1? ? ? ? 3 ?

y?3? 0

变换为自身.

(1)求实数 a,b 的值; (2)计算 A 2



解析: (1)设直线 2 x ?

y?3?0

上任意一点 P ( x, ) 在变换 T A 的作用下变成点 P ? ( x ?, ? ) , y y
??1 ? b a ? ? x ? ? x?? ?? ? ? ? ? 3 ? ? y ? ? y ??

由题意知 2 x ? ? 得 x? ?
? x ? ay

y? ? 3 ? 0

,由 ?

, y? ?

bx ? 3 y



??2 分
a y ) ? (b x ? 3 y ) ? 3 ? 0

代入直线 2 x ? ?

y? ? 3 ? 0

得 2(? x ?
0



即 ( ? b ? 2 ) x ? ( 2 a ? 3) y ? 3 ?


2 ? 2

y 由点 P ( x, ) 的任意性可得 ? b ?

, 2a

? 3 ? ?1 ,

解得 a

? 1 , b ? ?4


? ?1 ? ? ??4 2? ? 5?

????5 分
1? ? ?1 ?? 3? ??4 1? ? ?3 ? ? ? 3? ??8 2? ? 5?

(2)由(1)得 A 2



????7 分

则 A2

? ? 1? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? ??8

? ? 1? ? 9 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ?23?



????10 分

C.选修 4—4 参数方程与极坐标 已知直线 C 1 : ?
?
3
? x ? 1 ? t co s ? ? y ? t sin ? (t

为参数) C 2 ,

? x ? cos ? :? (? ? y ? s in ?

为参数) 。

(1)当 ?

?

时,求 C 1 被 C 2 截得的弦长;

(2)过坐标原点 O 作 C 1 的垂线,垂足为 A,当 ? 变化时,求 A 点的轨迹的参数方程。 解析: (1) C 1 的普通方程为 y
? 3 ( x ? 1)

, C 2 的普通方程为 x 2

? y ?1,
2

????2 分

∴圆心 O 到直线 C 1 的距离 d (2)C 1 的普通方程为 x sin ? 由?
? x s in ? ? y c o s ? ? s in ? ? 0 ? cos ? x ?y ? ? s in ? ?

?

3 2

,∴ C 1 被 C 2 截得的弦长 2

1?

3 4

?1。

???? 4 分 ,????6 分

? y co s ? ? sin ? ? 0, ∴直线 O A : y ? ?

cos ? sin ?

x

得 A (sin 2 ? , ? sin ?

co s ? )

????8 分

解∴A 点的轨迹的参数方程 ?

? x ? sin ?
2

? y ? ? sin ? c o s ?

(?

为参数) 。

????10 分

D.选修 4—5 不等式证明选讲 已知 a d 1
? b d 2 ? cd 3 ? 2

,且 a ,b ,c ,d

,d ,2 d 1

3

均大于零,求证:

2a d1

?

2b d2

?

2c d3

? (a ? b ? c) .
2

证明:由已知 a d 1 ? b d 2 ? cd 3 ? 2 , 所以由柯西不等式,得
2a d1 ? 2b d2 ? 2c d3 ? 2( a d1 ? b d2 ? c d3

????3 分

) ? ( a d 1 ? b d 2 ? c d 3 )(

a d1

?

b d2

?

c d3

)

????6 分

? [( a d 1 ) ? ( a d 2 ) ? ( a d 3 ) ][(
2 2 2

a d1

) ?(
2

a d2

) ?(
2

a d3

) ] ? (a ? b ? c)
2

2

??10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 22.在三棱锥 S ? A B C 中, ? A B C 是边长为 4 的正三角形,平面 SA C ? 平面 A B C ,
SA ? SC ? 2 3

, M 、 N 分别为 A B 、 S B 的中点.

S

(1)求二面角 N ? C M ? B 的余弦值; (2)求点 B 到平面 C M N 的距离.
A

N

C

B M

解析:⑴取 A C 中点 O ,连结 O S 、 O B .∵ S A ? S C , A B ? B C , ∴ A C ? S O , A C ? B O .∵平面 S A C ? 平面 A B C , 平面 S A C ? 平面 A B C ? A C ,∴ S O ? 平面 A B C ,∴ S O ? B O . ??2 分 如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则 A ( 2 , 0 , 0 ) , B (0 , 2
3, 0)

,

C ( ? 2, 0, 0 )

, S (0, 0, 2

2)

,∴ M (1,

3, 0)

, N (0,

3, 2 )

,
z
S

???? ? ???? ? ∴ C M ? (3, 3 , 0 ) , M N ? ( ? 1, 0, 2 ) .
? 设 n ? ( x, y, z )

N

C

为平面 C M N 的一个法向量, ,
?
x
A

O
B
y M

???? ? ? ? 则 ? C M? ? n ? 3 x ? 3 y ? 0 ? ???? ? ?MN ? n ? ? x ? 2z ? 0 ?

取z ?1,x ?
??? ?

2

,y??
2)

6

,∴ n ? (

2 , ? 6 ,1)

.

??4 分 ??5 分
1

又 O S ? (0, 0, 2 ∴ cos ? n, O S
? ??? ?

为平面 A B C 的一个法向量,
??? ?
1

? ??? ?? ?
n ? OS | n | ? | OS | 3

,即二面角 N ? C M ? B 的余弦值为 .
3

??6 分
?

(2)由⑴得 M B ? ( ? 1,

????

3, 0)

,又 n ? (
?

?

2 , ? 6 ,1)
????

为平面 C M N 的一个法向量, | n |? 3 ,
2 ? 3 2 | 3

∴点 B 到平面 C M N 的距离 d ?

| n ? MB |
? |n |

?

|?

?

4 3

2

.??10 分

23.某养鸡场流行一种传染病,鸡的感染率为 10%.现对 50 只鸡进行抽血化验,以期查出 所有病鸡.设计了如下方案:按 n(
1≤ n ≤ 5 0, 且

n 是 50 的约数)只鸡一组平均分组,

并把同组的 n 只鸡抽到的血混合在一起化验,若发现有问题,即对该组的 n 只鸡逐只 化验.记 X 为某一组中病鸡的只数. (1)若 n ? 5 ,求随机变量 X 的概率分布和数学期望; (2)为了减少化验次数的期望值,试确定 n 的大小. (参考数据 :取 0 .9 3 解析: (1)当 n ? 则 P(X
5

? 0 .7 3 , 0 .9 ? 0 .6 6
4

, 0 .9 5

? 0 .5 9

, 0 .9 1 0

? 0 .3 5

, 0 .9 2 5

? 0 .0 7

. )

时, X ~ B ? 5,0 .1 ? ,
r 5? r

? r ) ? C 5 ? 0 .1 ? 0 .9
r

,r

? 0,, , , , 1 2 3 4 5



????2 分

故 X 的概率分布表为:
X
P

0
0 .5 9

1
0 .3 3

2
0 .0 7 3

3
0 .0 0 8 1

4
0 .0 0 0 4 5

5
0 .0 0 0 0 1

所以 E ( X ) ?

5 ? 0 .1 ? 0 .5 ;

????4 分

(2)由题意得 n 的所有可能取值为 1,2,5,10,25,50, 当 n ? ? 1 ? 时,需化验 50 次;
1 当 n ? ? 2,5, 0,2 5,5 0 ? 时, X ~ B ? n,0 .1 ? ,

????5 分 ????6 分

对于某一组的 n 只鸡,化验次数 Y 的所有可能值为 1, n ? 1 , 且 P (Y
? 1) ? 0 .9
n

, P (Y

? n ? 1) ? 1 ? 0 .9

n


n

所以 E (Y ) ? 1 ? 0 .9 n

? ( n ? 1) ? ?1 ? 0 .9

n

? ? n ? 1 ? n ? 0 .9 ,
50 ? n ? 1 ? n ? 0 .9 n n

????7 分

故 50 只鸡的化验总次数的期望

f (n) ?

?
????8 分 ,
f (5 0 ) ? 5 1

? 50 1 ?

?

n 1 ? 0 .9 n

?,

算得

f ( 2 ) ? 3 4 .5



f (5) ? 3 0 .5



f (1 0 ) ? 3 7 .5



f ( 2 5) ? 4 8 .5



所以按 5 只鸡一组化验可使化验次数的期望值最小.

????10 分


相关文章:
2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(四)
2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷(四)参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. (5 分) (2016?南通模拟)已知集...
2014江苏高考数学模拟试卷
2014江苏高考数学模拟试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数学Ⅰ一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上 .....
2015年江苏高考考前数学押题卷(5套_含附加)有详细答案
2015年江苏高考考前数学押题卷(5套_含附加)有详细答案_数学_高中教育_教育专区。试卷难易度严格按照高考难易度系数命题,属于苏州教研室命题组。2015...
2016届江苏省高考原创押题卷 数学(解析版)
2016届江苏省高考原创押题卷 数学(解析版)_数学_高中教育_教育专区。高考押题 数学 2016高考数学押题 2016 届江苏省高考原创押题卷 数学(解析版)一、填空题: (...
2017年高考数学原创押题预测卷 01(江苏卷)
绝密★启用前 2017 年高考原创押题预测卷 01【江苏卷】 x2 y 2 8 .已知双...数学(考试时间:120 分钟 试卷满分:160 分) 注意事项: 1. 本试卷数学Ⅰ卷...
江苏高考数学押题卷
江苏高考数学押题卷一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸 的指定位置上. 1.已知 i 是虚数单位,m...
江苏省2017年高考数学原创押题卷2
江苏省2017年高考数学原创押题卷2_高考_高中教育_教育专区。2017 年高考原创押题卷(二) 参考公式 1 n 1 n 样本数据 x1,x2,…,xn 的方差 s2=n ? (xi- ...
2017年江苏高考数学模拟试卷1
2017年江苏高考数学模拟试卷1_其它课程_高中教育_教育专区。江苏高考模拟试卷 2017 年江苏高考数学模拟试卷一、填空题(本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70...
2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(八)(解析版)
若是,求出定值;若不是,说明理由. 第 4 页(共 24 页) 2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷(八)参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共 14 小题,每小...
江苏省2016年高考最新数学模拟试卷及答案
江苏省2016年高考最新数学模拟试卷及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016年江苏省高考数学模拟试卷,考前练习可以检查考上复习情况,便于查漏补缺 ...
更多相关标签: