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2016-2017学年高中数学第2章概率6正态分布课后演练提升北师大版选修2-3讲义


2016-2017 学年高中数学 第 2 章 概率 6 正态分布课后演练提升 北 师大版选修 2-3
一、选择题 1.把一个正态曲线 a 沿着横轴方向向右移动 2 个单位,得到新的一条曲线 b.下列说法 中不正确的是( )

A.曲线 b 仍然是正态曲线 B.曲线 a 和曲线 b 的最高点的纵坐标相等 C.以曲线 b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 a 为概率密度曲线的总体的期望大 2 D.以曲线 b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 a 为概率密度曲线的总体的方差大 2 答案: D 2.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ ),P(X<4)=0.84,则 P(X≤0)=( A.0.16 C.0.68
2 2

)

B.0.32 D.0.84

解析: 由 X~N(2, σ ), 可知其正态曲线如图所示, 对称轴为 x=2, 则 P(X≤0)=P(X≥4) =1-P(X<4)=1-0.84=0.16.故选 A.

答案: A 3. 如图是当 σ 取三个不同值 σ 1、 σ 2、 σ 3 的三种正态曲线 N(0, σ )的图像, 那么 σ 1、 σ 2、σ 3 的大小关系是( )
2

A.σ 1>1>σ 2>σ 3>0 C.σ 1>σ 2>1>σ 3>0

B.0<σ 1<σ 2<1<σ D.0<σ 1<σ 2=1<σ 1 2π e-

3

3

解析: 当 μ =0,σ =1 时,正态曲线 f(x)=

x2
2

在 x=0 处取最大值

1 2π



故 σ 2=1.由正态曲线的性质, 当 μ 一定时, 曲线的形状由 σ 确定, 当 σ 越小, 曲线越“瘦

1

高”,反之越“矮胖”,故选 D. 答案: D 4.已知随机变量 X~N(0,1),则 X 在区间(-3,+∞)内取值的概率等于( A.0.887 4 C.0.001 3 B.0.002 6 D.0.998 7 )

解析: 由 X~N(0,1)可知,μ =0,σ =1. 结合密度函数的图像可知

P(X≥-3)= P(-3≤X≤3)+
=0.998 7. 答案: D 二、填空题

1 2

1 2

5.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1,σ )(σ >0),若 X 在(0,1)内取值的 概率为 0.4,则 X 在(0,2)内取值的概率为____________. 解析: 由 X~N(1, σ )(σ >0), 知正态曲线的对称轴为 x=1, 从而由图像可知 P(0<X<1) =P(1<X<2),所以 P(0<X<2) =2P(0<X<1)=2×0.4=0.8. 答案: 0.8 6.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等, 那么这个正态总体的数学期望为____________. 解析: 区间(-3,-1)和区间(3,5)关于 x=1 对称(-1 关于 x=1 的对称点是 3,-3 关于 x=1 的对称点是 5),所以正态分布的数学期望就是 1. 答案: 1 三、解答题 7.一台机床生产一种尺寸为 10 mm 的零件,现在从中抽测 10 个,它们的尺寸分别如下 (单位:mm):10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果机床生产零件的尺寸 Y 服从正态分布,求正态分布的概率密度函数式. 解析: μ = σ =
2 2 2

2

1 (10.2+10.1+10+9.8+9.9+10.3+9.7+10+9.9+10.1)=10, 10

1 2 2 2 2 2 [(10.2-10) +(10.1-10) +(10-10) +(9.8-10) +(9.9-10) +(10.3- 10
2 2 2 2

10) +(9.7-10) +(10-10) +(9.9-10) +(10.1-10) ]=0.03. 即 μ =10,σ =0.03. 所以 Y 的概率密度函数为 f(x)= 10 6π e- 50?x-10? . 3
2 2

2

8.设 X~N(6,1),求 P(4<x<5).

解析: 由已知 μ =6,σ =1, ∵P(5<x<7)=P(μ -σ <x<μ +σ )=0.683,

P(4<x<8)=P(μ -2σ <x<μ +2σ )=0.954, P(4<x<5)+P(7<x<8)=P(4<x<8)-P(5<x<7)=0.271,
如图:由正态曲线的对称性知

P(4<x<5)=P(7<x<8),
1 ∴P(4<x<5)= [P(4<x<8)-P(5<x<7)] 2 ? 尖子生题库 ?☆☆☆

? 1? 9.工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N?4, ?,问在一次正常的试验中,取 1 ? 9?
000 个零件时,不属于区间(3,5)这个尺寸范围内的零件大约有多少个? 解析: 不属于区间(3,5)的概率为 P(X≤3)+P(X≥5) =1-P(3<X<5)=1-P(|X-4|<1). 1 ? 1? 因为 X~N?4, ?,所以,μ =4,σ = , 3 ? 9? 所以 1-P(|X-4|<1)=1-P(|X-μ |<3σ )=1-0.9974 =0.0026≈0.003. 1000×0.003=3(个). 即不属于(3,5)这个尺寸范围内的零件大约有 3 个.

3


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