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浙江省余姚中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


余姚中学

2015 学年 高一数学期中测试试卷 第一学期
(时间:120 分钟 满分:150 分) 命题: 审题:

( 本场考试不准使用计算器 )

一、选择题:本大题 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个

函数是( ▲ ) . A. y ?

x2

B. y ?

x2 x

C. y ? a

loga x

(a ? 0且a ? 1)

D. y ? loga a x

2.下列表示图形中的阴影部分的是( ▲ ) . A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) B. ( A ? B) ? ( A ? C ) C. ( A ? B) ? ( B ? C ) D. ( A ? B) ? C 3.函数 f ? x ? ? ln 2 x ? 4 x 2 ?1 A.奇函数 函数 B. 偶函数

A

B

C

?

? 的奇偶性是(



) . D. 既是奇函数也是偶

C.既不是奇函数也不是偶函数

4.三个数 0.76, 60.7, log0.7 6 的大小关系为( ▲ ). A. 0.76 ? log0.7 6 ? 60.7 C. log0.7 6 ? 60.7 ? 0.76 B. 0.76 ? 60.7 ? log0.7 6 D. log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7

1 ? x 1 ? x2 5.已知 f ( ,则 f ( x ) 的解析式为( ▲ ) . )? 1 ? x 1 ? x2
A.

x 1? x2

B. ?

2x 1? x2

C.

2x 1? x2

D. ?

x 1? x2

6 . 已 知 函 数 f ( x) ? ?

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 满 足 : 对 任 意 实 数 x1 , x 2 , 当 x1 ? x2 时 , 总 有 ?log a x, x ? 1

. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,那么实数 a 的取值范围是( ▲ ) A. (0, ) 7 . 定 义 在 ?? 1,1?

1 3

B. [ , )

1 1 7 3

C. ( , )

1 1 7 3

D. [ ,1)

1 7

上的函数

? x? y ? 1, 0 . f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ?时 f ? x ? ? 0若 ? 1 ? xy ? ? ; 当 x ?? ? ? ?

?1? P ? f ? ?? ?5?

?1? ?1? . f ? ? , Q ? f ? ? , R ? f ? 0 ? ;则 P, Q, R 的大小关系为( ▲ ) ? 11 ? ?2?
B. R ? P ? Q C. P ? R ? Q D. Q ? P ? R

A. R ? Q ? P

2 8 . 已 知 f ( x) 是 定 义 在 [? 4 , 4 ]上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ? x ? 4 x, 则 不 等 式

f [ f ( x) ] ? f ( x的 )
解集为( ▲ ) . A. (?3, 0) U ? 3, 4? B. (?4, ? 3) U (1, 2) U (2,3) D. (?4, ? 3) U (?1, 0) U (1, 3)

(2,3) C. (?1, 0) U (1, 2) U

二、填空题:本大题共 7 小题,第 9-12 题每小题 6 分,第 13-15 题每小题 4 分,共 36 分,请将答 案填 在相对应空格. 9.已知集合 M ? {x | x2 ? 4x ? 3 ? 0}, N ? {x | log2 x ? 1} ,则 M ? N ? ▲ ,

M ?N ? ▲ ,

CR M ?



. ▲ ,值域为 ▲ . ,

10.函数 y ? log 1 (3 ? 2 x ? x 2 ) 的单调增区间为
2

11.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,3) ,值域是 [?1, 2) ,则 f ( x ? 2) 的值域是 ▲

f (log2 x) 的定义域是





?2? x , x ? 0 ? 12.已知 f ( x) ? ?| log x |, x ? 0 ,则 f ( f (?1)) ? 1 ? ? 2
13 . 已知 幂函 数 f ( x ) 过 点 (2, ▲ .

▲ ,方程 f ( x) ? 4 的解是 ▲



2 ), 则 满 足 f ( 2 ? a ) ? f (a ? 1)的 实数 a 的 取 值 范围 是

14.已知函数 f ( x) ? ? 数 a 的取值范围是

1 ? ?x ? , x ? 0 , 若关于 x 的方程 f ( x2 ? 2x) ? a 有 6 个不同的实根,则实 x 3 ? ? x ? 9, x ? 0
▲ .

? 1 ( x ? 1), ( x ? a ) ? 1 3 ? a ?1 15.设函数 f ( x) ? ? 若存在 t1 , t2 使得 f (t1 ) ? , f (t 2 ) ? ,则 t1 ? t2 的 2 2 ? 1 ( x ? 2), ( x ? a ) ?a ? 2 ?
取值范围 是


.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16. (本小题满分 14 分) 计算: (1) ( 2 ? 1) ? (
0 4 ? 16 ? 1 ) 2 ? ( 8) 3 ; 9

(2) 2

1 log 2 4

? 8 ? ?? ? ? 27 ?

?

2 3

? lg

1 ? ( 2 ? 1)lg1 ? 2 lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) . 100

17. (本小题满分 15 分) 设全集 U ? R, A ? {x | x2 ? x ? 20 ? 0}, B ? {x || 2x ? 5 |? 7} , C ? {x | x2 ? 3mx ? 2m2 ? 0} . (1)若 C ? ( A ? B) ,求 m 的取值范围; (2)若 (CU A) ? (CU B) ? C ,求 m 的取值范围.

18. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

3x ? 2 ? x . 3x ? 2 ? x

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)判断并证明 f ( x) 的单调性,写出 f ( x) 的值域.

19.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? (2x ? a)2 ? (2? x ? a)2 , x ?[?1,1] .[来源:Z|xx|k.Com] ⑴求 f ( x ) 的最小值(用 a 表示) ; ⑵关于 x 的方程 f ( x ) ? 2a 有解,求实数 a 的取值范围.
2

20.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x ?1, g ( x) ? a | x ?1| .
2

(1)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围; (2)求 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值.

余姚中学高一数学期中测试参考答案
一、选择题:本大题 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 D 5 C 6 B 7 B 8 D

7.【解析】令 x ? y ? 0 ,则可得 f (0) ? 0 ,令 x ? 0 ,则 ? f ( y) ? f (? y) ,即 f ( x ) 为奇函 数, 令1 ? x ? y ? 0 , 则 递减,

? x? y ? x? y ? 0, 所以 f ? x ? ? f ? y ? ? f ? 即 x ??0 1 , ?时 f x ? ??0, 1 ? xy ? 1 ? xy ?

?

?1? 又 P ? f ? ?? ?5?

?1? ?1? f ? ? ? f ? ?? ? 11 ? ?5?

? 1 1 ? ? ? ? 2 2 1 ? 1? f ? ? ? ? f ? 5 11 ? ? f ( ) , 因 ? , 所 以 7 2 7 ? 11 ? ? 1? 1 ? 1 ? ? 5 11 ?

2 1 f ( ) ? f ( ) ,即 0 ? P ? Q ,故选 B。 7 2 f ( x) ? 0时,即x ? 0, f ( f ( x)) ? ? f 2 ( x) ? 4 f ( x) ? f ( x)
8. 【解析】

? f ( x) ? 3 ? f ( x) ? ?3

? x ? (1,3) ? x ? (?4, ?3) ? (?1, 0)

f ( x) ? 0时,即x ? 0, f ( f ( x)) ? f 2 ( x) ? 4 f ( x) ? f ( x)

二、填空题:本大题共 7 小题,第 9-12 题每小题 6 分,第 13-15 题每小题 4 分,共 36 分, 9. (0,3),(1, 2),(??,1] ? [3, ??) 10. (?1,1),[?2, ??) 11. [?1, 2),[ , 4) 13. [1, )

1 8

12. 1 14. (8,9]

3 2

1 16 1 1 15. ( ??, ? ) ? ( , ?? ) 2 2 ?2,16,

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分 14 分)

计算: (1) ( 2 ? 1) ? (
0

4 ? 16 ? 1 ) 2 ? ( 8) 3 ; 9

(2) 2

1 log 2 4

? 8 ? ?? ? ? 27 ?

?

2 3

? lg

1 ? ( 2 ? 1)lg1 ? 2 lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) . 100

解:1)原式=2 2)原式=-2

17. (本小题满分 15 分) 设全集 U ? R, A ? {x | x2 ? x ? 20 ? 0}, B ? {x || 2x ? 5 |? 7} , C ? {x | x2 ? 3mx ? 2m2 ? 0} . (1)若 C ? ( A ? B) ,求 m 的取值范围; (2)若 (CU A) ? (CU B) ? C ,求 m 的取值范围. 解:? A ? {x | ?5 ? x ? 4}, B ? {x | x ? ?6, 或x ? 1} 2分

? x2 ? 3mx ? 2m2 ? ( x ? m)( x ? 2m) ? 0
1) A ? B ? {x |1 ? x ? 4} 4分

? C ? ( A ? B)
当 m ? 0时,C=? ,满足题意 当 m ? 0 时,不合题意 5分

m ? 0时,C ? {x | m ? x ? 2m}


? m ?1 ?? ? 2m ? 4

?1 ? m ? 2

综上, m ? 0或1 ? m ? 2 2) (CU A) ? (CU B) ? [?6, ?5]

9分 11分

?(CU A) ? (CU B) ? C
当 m ? 0 时,不合题意

?C ? ?

当 m ? 0 时, C ? {x | 2m ? x ? m}

?2m ? ?6 ?? ? m ? ?5
??5 ? m ? ?3
15分

18. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

3x ? 2 ? x . 3x ? 2 ? x

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)判断并证明 f ( x) 的单调性,写出 f ( x) 的值域. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

3x ? 2 ? x 2 x ? 3x ? 1 6 x ? 1 ? ? 3x ? 2 ? x 2 x ? 3x ? 1 6 x ? 1 6? x ? 1 1 ? 6 x 所以 f (? x) ? ? x (7 分) ? ? ? f ( x), x ? R ,则 f ( x) 是奇函数. 6 ? 1 1 ? 6x 6 x ? 1 (6 x ? 1) ? 2 2 (Ⅱ) f ( x) ? x 在 R 上是增函数,(8 分) ? ? 1? x x 6 ?1 6 ?1 6 ?1 x x 证明如下:任意取 x1 , x2 ,使得: x1 ? x2 ? 6 1 ? 6 2 ? 0
则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 2 2(6 x1 ? 6 x2 ) ? ? ?0 6 x2 ? 1 6 x1 ? 1 (6 x1 ? 1)(6 x2 ? 1) 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 在 R 上是增函数. (12 分) 2 2 ?0 ? x ? 2 ? f ( x) ? 1 ? x ? (?1,1) ,则 f ( x) 的值域为 (?1,1) (15 分) 6 ?1 6 ?1
20.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a) ? (2
x 2 ?x

? a)2 , x ?[?1,1] .[来源:Z|xx|k.Com]

(1)求 f ( x ) 的最小值(用 a 表示) ; (2)关于 x 的方程 f ( x ) ? 2a 有解,求实数 a 的取值范围.
2

20.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ?1, g ( x) ? a | x ?1| . (1)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 a 的取值范围; (2)求 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值. 20.解:1)不等式 f ( x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x2 ? 1) ? a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立, ①当 x=1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ……………………………………1 分

x2 ?1 x2 ? 1 ? x ? 1 ( x ? 1) ,令 ? ( x) ? , ?? | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1) ( x ? 1) 因为当 x>1 时, ? ( x) ? 2 ;而当 x<1 时, ? ( x) ? ?2 . 所以 g ( x) ? ?2 ,故此时 a ? ?2 ……………………………………………5 分 综合①②,得所求 a 的取值范围是 a ? ?2 ……………………………6 分 ? x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1) ? 2)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x2 ?1| ?a | x ?1| = ?? x 2 ? ax ? a ? 1 (?1 ? x ? 1) , ? x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? ?1) ?
②当 x≠1 时, (*)可变形为 a ? ① 当 分 ② 当0 ?

a ? 1, 即a ? 2 时,结合图形可知 h(x)在[-2,1]上递减,在[1,2]上递增, 2 且 h(-2)=3a+3, h(2)=a+3,经比较,此时 h(x)在[-2,2]上的最大值为 3a ? 3 …11

a a ? 1, 即0 ? a ? 2 时,结合图形可知 h(x)在[-2,-1], [ ? ,1] 上递减, 2 2 a a2 a ? a ?1 , 在 [ ?1, ? ] ,[1,2]上递增,且 h(-2)=3a+3, h(2)=a+3, h(? ) ? 2 2 4

经比较,知此时 h(x) 在[-2,2]上的最大值为 3a ? 3 ……………………12 分

a a ? 0,即-2 ? a ? 0 时,结合图形可知 h(x)在[-2,-1], [ ? ,1] 上递减, 2 2 a a2 a ? a ?1 , 在 [ ?1, ? ] ,[1,2]上递增,且 h(-2)=3a+3, h(2)=a+3, h(? ) ? 2 2 4 经比较,知此时 h(x) 在[-2,2]上的最大值为 a ? 3 ………………………13 分 3 a a a ④ 当 ? ? ? ?1, 即-3 ? a ? ?2 时,结合图形可知 h(x)在 [ ?2, ] , [1, ? ] 上递减, 2 2 2 2 a a 在 [ ,1] , [? , 2] 上递增,且 h(-2)=3a+3 ? 0 , h(2)=a+3 ? 0 , 2 2 经比较,知此时 h(x) 在[-2,2]上的最大值为 a ? 3 ………………………14 分 a 3 ⑤ 当 ? ? , 即a ? ?3 时,结合图形可知 h(x)在[-2,1]上递减,在[1,2]上递增, 2 2
③ 当 ?1 ? 故此时 h(x) 在[-2,2]上的最大值为 h(1)=0………………………………15 分 综上所述,当 a ? 0 时,h(x) 在[-2,2]上的最大值为 3a ? 3 ; 当 ?3 ? a ? 0 时,h(x) 在[-2,2]上的最大值为 a ? 3 ; 当 a ? ?3 时,h(x) 在[-2,2]上的最大值为 0…………………………………15 分


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