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河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高二上学期第四次月考数学(文)试题A卷


试卷类型:A 卷

河北冀州中学
8、已知椭圆

2015—2016 学年度上学期第四次月考 高二年级 文科数学 试题
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1、已知集合 A ? x ? 2 ? x ? 1 , B ? ?x ? ?2?,则 A ? B ? ( A. ?x | x ? 1?
2

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , M 是椭圆上一 点, N 是 MF1 的中点, 16 12

若 ON ? 1 ,则 MF1 的长等于( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 5

?

?

) D. ? 9、执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 4 ,则输出 y 的值为( A. ? )

B. ?x | x ? ?2?

C. ?x | x ? 1?

2、已知椭圆方程是 A. 4

x y ? ? 1 ,则焦距为( ) 6 2
C. 7 D. 8 ) C.-1 ) D.-2

2

5 4

B. ?

5 8

C. ?

1 2

D. 1

B. 5

x2 y 2 10、设双曲线 2 ? 2 ? ? a ? b ? 0 ? 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则 a b
双曲线的渐近线方程为( A. y ? ? ) B. y ? ?2 x D. y ? ?

3、已知函数 f ( x) ? x ? ln x ,则 f ' (1) 的值为( A.1 B.2

4、已知 a, b, c, d 为实数,且 c ? d ,则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

2 x 2

C. y ? ? 2x

1 x 2

5、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ) (? ? 0) 的最小正周期 T ? ? ,把函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? 个单 4 位长度 (? ? 0) ,所得图象关于原点对称,则 ? 的一个值可能为 ( A. )

?

x2 y2 11、过椭圆 2 ? 2 ? 1 , (a ? b ? 0) 的左焦点 F1 ,作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点。 a b
若 ?F1 PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为( ) A.

? 2

B.

3? 8
?

C.

? 4
2 2

D.

? 8

6、过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为( ) A. 3 B. 2 C. 6 D. 2 3 ).

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

7、以抛物线 y2=4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为(

?x ? 2 ? 0 ? 12、若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 ,目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 2,则实数 a 的值 ?x ? 2 y ? a ? 0 ?
是( A. ? 2 ) B. 0 C. 1 D. 2

A.x2+y2+2x=0 C.x2+y2-x=0

B.x2+y2+x=0 D.x2+y2-2x=0

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、若直线 (k 2 ? 1) x ? y ? 1 ? 2k ? 0 不过第二象限,则实数 k 的取值范围_________ 14、 .已知函数 f ( x) 的导函数记为 f ?( x) ,且满足: f ( x) ? f ?( )sin x ? cos x ,则 f ( ) 的值为 3 3 . 15、若函数 f ( x) ? a x ? x ? a (a ? 0且a ? 1) 有一个零点,则实数 a 的取值范围为 16 、 已 知 点 A?4,0? 和 B?2,2? , M 是 椭 圆 ____________ 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (10 分)已知命题 p : 不等式 | x ? 1 |? a 的解集为R;命题 q : f ( x ) ? 是增函数.若命题“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取值范围

19、 (12 分)如图,已知矩形 ABCD,过 A 作 SA⊥平面 AC,再过 A 作 AE⊥SB 于点 E,过 E 作 EF⊥SC 于点 F. (1)求证:AF⊥SC; (2)若平面 AEF 交 SD 于点 G,求证:AG⊥SD.

?

?

x2 y2 ? ? 1 上 一 动 点 , 则 MA ? MB 的 最 大 值 是 25 9

20、 (12 分)设 F1 、 F2 分别是椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 , ?a ? b ? 0?的左、右焦点, P 是该椭圆上一 a2 b2

个动点,且 PF 1 ? PF 2 ? 8 , F1 F2 ? 4 3 。

1? a 在区间 (0,??) 上 x

?1? 、求椭圆 E 的方程;

?2? 、求出以点 M ?1,1? 为中点的弦所在的直线方程。

21、 (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x
3 2

(1)若 x ? 3 是 f ( x ) 的极值点,求 f ( x ) 在 x ? [1, a] 上的最小值和最大值; (2)若 f ( x)在x ?[1, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

1 18、 (12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a , b, c ,已知 cos C ? ? . 4
(Ⅰ)求 sin

C 的值; 2
13 2 sin C ,求 a , b, c 的值. 16

22、 (12 分)已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1 ,?a ? b ? 0?的离心率为 ,直线 l : y ? ?x ? 2 2 与 2 3 a b

(Ⅱ)若 ab ? 6 ,且 sin 2 A ? sin 2 B ?

以原点为圆心,以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切。

?1? 、求椭圆 C 的方程;

?2? 、过点 M ?0, t ? 的直线 l ? (斜率存在时)与椭圆 C 交于 P 、 Q 两点,设 D 为椭圆 C 与 y
轴负半轴的交点,且 DP ? DQ ,求实数 t 的取值范围。

高二文科数学第四次月考答案

A 卷 AABBB B 卷 CADCB 填空题 13. ?1,???

DDCAA ABCCD

BD CA

∴所求 a, b, c 的值为 a ? 2, b ? 3, c ? 4 或 a ? 3, b ? 2, c ? 4

………12 分

19 证明 (1)∵SA⊥平面 AC,BC?平面 AC,
∴SA⊥BC, ∵四边形 ABCD 为矩形,∴AB⊥BC. ∴BC⊥平面 SAB,∴BC⊥AE. 又 SB⊥AE,∴AE⊥平面 SBC. ∴AE⊥SC.又 EF⊥SC,∴SC⊥平面 AEF. ∴AF⊥SC.………6 分 (2)∵SA⊥平面 AC,∴SA⊥DC. 又 AD⊥DC,∴DC⊥平面 SAD. ∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF,AG?面 AEF, ∴SC⊥AG,∴AG⊥平面 SDC,∴AG⊥SD.………….12 分

14. -1

15 (0,1)

16.

10+2 10

17. p : a ? 0 ;……..3 分
q : a ? 1 ………..6 分
由题知命题“ p或q ”为假命题,即 p 为假命题,且 q 假命题.………..8 分 所以: 0 ? a ? 1 ………..10 分

20. 解:(1)∵椭圆上一个动点 P 满足|PF1|+|PF2|=8,
∴2a=8,可得 a=4 又∵焦距 2c=|F 1 F 2 |=4 ,∴c=2 ,可得 b2=a2-c2=4 因此,椭圆 E 的方程是:

x2 y2 ? ? 1 ……..4 分 16 4

18.
(Ⅱ)∵sin2 A+sin2B=

(2)根据题意,以 M(1,1)为中点的弦所在直线的斜率是存在的

13 16

sin2 C,∴由正弦定理得:a2+b2=
2 2 2

13 16

c2 ①………7 分 ………9 分

x2 y2 ? ?1 设以点 M(1,1)为中点的弦方程为 y-1=k(x-1),与椭圆 16 4
联解消去 y,得(1+4k2)x2+8k(1-k)x+4k2-8k-12=0,??6 分 设弦的端点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2) 8k (k ? 1) 由根与系数的关系,得 x1+x2= …..8 分 1 ? 4k 2 1 8k (k ? 1) ∵M(1,1)为弦 AB 的中点,∴ (x1+x2)=1,可得 =2, 2 1 ? 4k 2 1 解之得 k=— …….10 分 4

又由余弦定理得:a2+b2=c2+2abcos C 即 a ? b ? c ?

1 ab ② 2

8 ∴由①、②得 c ? ab 3
2

………10 分 ………11 分

∵ab=6,∴ c ? 4 ,a2+b2=13 ∴可解得 ?

?a ? 2, ?a ? 3 或? ?b ? 3, ?b ? 2

因此,以点 M(1,1)为中点的弦所在的直线方程为 y-1=— 化简整理得 x+4y-5=0,即为所求直线方程.??12 分

1 (x-1), 4

综上, t ? (?2,4) ????12 分

21.

' 解: (1)由题知: f (3) ? 0 ,得 a ? 4 ,……..2 分

所以 f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? 3x
' 2 令 f ( x) ? 3x ? 8x ? 3 ? 0 ,得 x ? 3或x ? ?

1 (舍去),又 f (1) ? ?6, f (3) ? ?18 , 3

f (4) ? ?12 ,所以 f max ( x) ? ?6, f min ( x) ? ?18 ……….6 分
(2)可知: f ( x) ? 3x ? 2ax ? 3 ? 0 在 [1,??) 上恒成立,…..8 分
' 2

即a ?

3 1 ( x ? ) 在 [1,??) 上恒成立,……….9 分 2 x
………12 分

所以 a ? 0

22.

(1)

x2 y2 ? ?1 12 4

??4 分 ??6 分

(2) k ? 0 时, ? 2 ? t ? 2

k ? 0 时, ? ? 0 , t 2 ? 4 ? 12k 2 ①,? 7 分
取 PQ 中点 H , H ? ?

3kt t ? ? 2 由 DH ? PQ 得 t ? 1 ? 3k ②??9 分 , 2 2 ? ? 1 ? 3k 1 ? 3k ?
???11 分

由① ② 可得 ? t ? (1,4)


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