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2015高考理科数学《参数方程》练习题


2015 高考理科数学《参数方程》练习题
一、选择题 ?x=1+3t, 1.若直线的参数方程为? ?y=2- 3t A.30° C.120° 解析:由直线的参数方程知,斜率 k= 以该直线的倾斜角为 150°. 答案:D ?x=3t +2, 2.参数方程为? 2 ?y=t -1
2

(t 为参数),则直线的倾斜角为( B.60° D.150°

)

y-2 - 3t 3 = =- =tan θ ,θ 为直线的倾斜角,所 x-1 3t 3

(0≤t≤5)的曲线为(

)

A.线段 C.圆弧

B.双曲线的一支 D.射线

解析:化为普通方程为 x=3(y+1)+2, 即 x-3y-5=0, 由于 x=3t2+2∈[2,77], 故曲线 为线段.故选 A . 答案:A ? ?x=2 3cos θ , 3.曲线? ?y=3 2sin θ ? A. 6 C.2 6 解析:曲线化为普通方程为 答案:C ? ?x= 5cos θ , 4.若直线 2x-y-3+c=0 与曲线? ?y= 5sin θ ? A.2 或-8 B. 6 或-4
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(θ 为参数)中两焦点间的距离是( B. 3 D.2 3

)

x2
12



y2
18

=1,∴c= 6,故焦距为 2 6.

(θ 为参数)相切,则实数 c 等于(

)

C.-2 或 8 ? ?x= 5cos θ , 解析:将曲线? ?y= 5sin θ ? =0 与圆 x2+y2=5 相切,可知 答案:C ?x=2cos θ , 5.已知 曲线 C:? ?y=2sin θ

D.4 或-6 (θ 为 参数)化为普通方程为 x2+y2=5,由直线 2x-y-3+c

|-3+c| = 5,解得 c=-2 或 8. 5

?x=t, (θ 为参数)和直线 l:? ?y=t+b )

(t 为参数,b 为实数),

若曲线 C 上恰有 3 个点到直线 l 的距离等于 1,则 b=( A. 2 C.0 B.- 2 D.± 2

解析:将曲线 C 和直线 l 的参数方程分别化为普通方程为 x2+y2=4 和 y=x+b,依题意,若要 使圆上有 3 个点到直线 l 的距离为 1,只要满足圆心到直线的距离为 1 即可,得到 ± 2. 答案:D ?x=4t , 6.已知点 P(3,m)在以点 F 为焦点的抛物线? ?y=4t
2

|b| =1,解得 b= 2

(t 为参数)上,则|PF|=(

)

A.1 C.3

B.2 D.4

解析: 将抛物线的参数方程化为普通方程为 y2=4x, 则焦点 F(1,0), 准线方程为 x=-1, 又 P(3,

m)在抛物线上,由抛物线的定义知|PF|= 3-(-1)=4.
答案:D 二、填空题 ?x=-2- 2t, ? 7. (2014 年深圳模拟)直线? ? ?y=3+ 2t 坐标是________. ?x=-2- 2t, ? 1 2 解析:由题意知(- 2t)2+( 2t)2=( 2)2,所以 t2= ,t=± ,代入? 2 2 ? ?y=3+ 2t
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(t 为参数)上与点 A(-2,3)的距离等于 2的点的

(t

为参数),得所求点的坐标为 (-3,4)或(-1,2). 答案:(-3,4)或(-1,2) ?x=2+cos θ , 8.(2014 年东莞模拟)若直线 l:y=kx 与曲线 C:? ?y=sin θ 共点,则实数 k=________. 解析: 曲线 C 化为普通方程为(x-2)2+y2=1, 圆心坐标为(2,0), 半径 r=1.由已知 l 与圆相切, 则 r= |2k| 3 =1?k=± . 2 3 1+k 3 3 (参数 θ ∈R)有唯一的公

答案:±

9.如图,以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数,则圆 x2+y2-x=0 的参数方程为________.

解析:利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程. 1? 1 ? 将 x2+y2-x=0 配方,得?x- ?2+y2= , 2? 4 ? 所以圆的直径为 1,设 P(x,y), 则 x=|OP|cos θ =1×cos θ ×cos θ =cos2θ ,

y=|OP|sin θ =1×cos θ ×sin θ =sin θ cos θ ,
即圆 x2+y2-x=0 的参数方程为 ?x=cos θ ? ?y=sin θ cos θ
2 2

,(θ 为参数).

?x=cos θ 答案:? ?y=sin θ cos θ 三、解答题

,(θ 为参数).

?x=sin α , 10.已知 曲线 C 的参数方程为? 2 ?y=cos α , π? ? ?θ + ?=- 2. 4? ?

α ∈[0,2π ),曲线 D 的极坐标方程为 ρ sin

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(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点?试说明理由. ?x=sin α , 解析:(1) 由? 2 ?y=cos α , α ∈[0,2π )得

x2+y=1,x∈[-1,1].
π? ? (2)由 ρ sin?θ + ?=- 2得曲线 D 的普通方程为 x+y+2=0. 4? ? ?x+y+2=0, ? 2 ?x +y=1 得 x2-x-3=0.

1± 13 解得 x= ?[-1,1],故曲线 C 与曲线 D 无公共点. 2 ?x=2cos t, 11.已知动点 P、Q 都在曲线 C:? ?y=2sin t 2α (0<α <2π ),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.x 解析:(1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ). ?x=cos α +cos 2α , M 的轨迹的参数方程为? ?y=sin α +sin 2α (2)M 点到坐标原点的距离 (α 为参数,0<α <2π ). (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t=

d=

x2+y2= 2+2cos α (0<α <2π ).

当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 12.(能力提升)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x +y =4,圆 C2:(x-2) +y =4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的 极坐标系中,分别写出圆 C1,C2 的极坐标方程 ,并求出 圆 C1,C2 的交点坐 标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 解析:(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ =2, 圆 C2 的极坐标方程为 ρ =4cos θ .
2 2 2 2

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?ρ =2, 解? ?ρ =4cos θ

π 得 ρ =2,θ =± , 3

π? ? π? ? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为?2, ?,?2,- ?. 3? ? 3? ? 注:极坐标系下点的表示不唯一. ?x=ρ cos θ , (2)解法一 由? ?y=ρ sin θ 得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3).

?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? ?y=t, ?x=1, (或参数方程写成? ?y=y,

- 3≤t≤ 3.

- 3 ≤ y ≤ 3)

?x=ρ cos θ , 解法二 将 x=1 代入 ? ?y=ρ sin θ 1 从而 ρ = . cos θ 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为 ?x=1, ? ?y=tan θ , - π π ≤ θ ≤ . 3 3

得 ρ cos θ =1,

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