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上海市虹口区2013届高三一模数学答案


上海市虹口区 2013 届高三一模数学试题 参考答案
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 (? 1, 1) ; 6、 ? 1 ; 2、2; 7、1 ? 2i ;

1 ; 2 1 8、 a ? ; 5
3、 13、20;

4、

? ; 3

5、 ?


1 ; 2

9、 ? 16 ;

10、 2 3 或 3 ;

11、9;

12、10;

14、

7 2 ; 4

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、B; 16、A; 17、C; 18、C;

三、解答题(满分 74 分) 19、 分) 解: 取 AB 的中点 M , (12 (1) 记正方形 ABCD 对角线的交点为 O? , PM ,PO? , 连

AC ,则 AC 过 O? .

? PA ? PB , ? PM ? AB , 又 cos?PAM ?
AM ? 2 2 .??????4 分
AO? ? 4 , PO? ? 2

10 , PA ? 2 5 , 得 5

1 1 64 VP ? ABCD ? S底 ? PO? ? ? (4 2 ) 2 ? 2 ? 3 3 3

? 正 四 棱 锥 P ? ABCD 的 体 积 等 于
位) .??????8 分

64 (立方单 3

( 2 ) 连 AO , OO? , 设 球 的 半 径 为 R , 则 OA ? R ,

OO? ? R ? PO? ? R ? 2





Rt ?OO?A





R2 ? ( R ? 2)2 ? 42 ,得 R ? 5 。????12 分
20 、 ( 14 分 ) 解 :

f ( x) ? 2 sin x(

3 1 cos x ? sin x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x 2 2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ????????6 分

f (x) 的最小正周期等于 ? .
当 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, x ? k? ?

?
?
6

(k ? z ) 时, f (x) 取得最大值 2.??????10 分
? 7? 1 ? , ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 , 6 2 6

(2)由 0 ? x ?

?
2

,得

?
6

? 2x ?

6

f (x) 的值域为 [? 1, 2] ??????14 分

21、 (14 分)解: (1)圆心 O(0,

0) 到直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 的距离 d ? 3 .

2 2 圆的半径 r ? 2 ,? AB ? 2 r ? d ? 2 .??????4 分

(2) M ( x1 ,

y1 ) , P( x2 ,

2 2 y2 ) ,则 M1 (? x1, ? y1 ) , M 2 ( x1 , ? y1 ) , x1 ? y1 ? 4 ,

2 2 x2 ? y2 ? 4 .??????8 分

PM1 : ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 m ?

x1 y2 ? x2 y1 . x2 ? x1

PM 2 : ( y2 ? y1 )(x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 n ?

? x1 y2 ? x2 y1 .????12 分 x2 ? x1

? m?n ?

2 2 2 2 x2 y12 ? x12 y2 x2 (4 ? x12 ) ? x12 (4 ? x2 ) ? ? 4 ??????14 分 2 2 x2 ? x12 x2 ? x12

[

22、 (16 分)解: (1)由 Sn ? 2an ? 1 得 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 ,相减得 an ?1 ? 2an ?1 ? 2an ,即

an ?1 ? 2an .
又 S1 ? 2a1 ? 1 , a1 ? 1 ? 0 , 数列 ?an ? 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列, an ? 2n ?1 . 得 ? ? ??????????????????5 分 (2)由(1)知 Sn ? 2n ? 1 .
0 1 0 1 ? S1 ? Cn ? S2 ? Cn ? S3 ? Cn2 ? ?? Sn?1 ? Cnn ? (21 ? 1) ? Cn ? (22 ? 1) ? Cn ? (23 ? 1) ? Cn2 ?? (2n?1 ? 1) ? Cnn 0 1 2 n 0 1 2 n ? 2(Cn ? 2Cn ? 22 Cn ? ?? 2n Cn ) ? (Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ) ? 2(1 ? 2)n ? 2n ? 2 ? 3n ? 2n

??????????????????10 分 (3)由已知得 2 ?

b1 ? 1 b2 ? 1 b ?1 ? ??? m ? m ?1. b1 b2 bm

又 ?bn ?是连续的正整数数列,? bn ? bn ?1 ? 1 .? 上式化为 又 bm ? b1 ? (m ? 1) ,消 bm 得 mb ? 3b1 ? 2m ? 0 . 1

2(bm ? 1) ? m ? 1 .?? b1

m?

3b1 6 ? ,由于 m ? N ,? b1 ? 2 ,? b1 ? 3 时, m 的最大值为 9. ? 3? b1 ? 2 b1 ? 2

此时数列的所有 项的和为 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 11 ? 63 ????????16 分

? 23、 (18 分)解: (1)由 sin(x ? a) ? sin( x) 得 sin(x ? a) ? ? sin x ,根据诱导公式得
a ? 2k? ? ? (k ? Z ) .? y ? sin x 具有“ P (a ) 性质” ,其中 a ? 2k? ? ? (k ? Z ) .
??????4 分 (2)? y ? f (x) 具有“ P (0) 性质” ? f ( x) ? f (? x) . , 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f ( x) ? f (? x) ? (? x ? m)2 ? ( x ? m)2
2 ? ?( x ? m) ? f ( x) ? ? ?( x ? m) 2 ?

x?0 x?0

????????6 分

当 m ? 0 时,? y ? f (x) 在 [0, 1] 递增,? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m)2 当 0?m?

1 时 , ? y ? f (x) 在 [0, m] 上 递 减 , 在 [m, 1] 上 递 增 , 且 2

f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 , ? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m)2
当 m?

1 时 , ? y ? f (x) 在 [0, m] 上 递 减 , 在 [m, 1] 上 递 增 , 且 2

f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 ,? x ? 0 时 ymax ? m2
综上所述:当 m ?

1 1 时, ymax ? f (1) ? (1 ? m)2 ;当 m ? 时, ymax ? f (0) ? m2 2 2

????????????11 分 (3)? y ? g (x) 具有“ P(?1) 性质” ? g (1 ? x) ? g (? x) , g (?1 ? x) ? g (? x) , ,

? g ( x ? 2) ? g (1 ? 1 ? x) ? g (?1 ? x) ? g ( x) ,从而得到 y ? g (x) 是以 2 为周期的函数。
Z,X,X,K]



又设

1 3 1 1 ? x ? ,则 ? ? 1 ? x ? , 2 2 2 2

g( x) ? g( x ? 2) ? g(?1 ? x ? 1) ? g(?x ? 1) ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? g ( x ? 1) .
1 1 ? x ? n ? ( n? z ) , 2 2 1 1 1 1 当 n ? 2 k ( k ? z ) 2k ? ? x ? 2k ? 则 ? ? x ? 2 k ? , , 2 2 2 2
再设 n ?

g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ? x ? n ;


n ? 2k ? 1 ( k ? z

),

2k ? 1 ?

1 1 ? x ? 2k ? 1 ? 2 2



1 3 ? x ? 2k ? 2 2



g( x) ? g( x ? 2k ) ? x ? 2k ?1 ? x ? n ;
? 对于,n ?
1 1 1 1 ? x ? n ? ( n? z ) ,都有 g ( x) ? x ? n ,而 n ? 1 ? ? x ? 1 ? n ? 1 ? , 2 2 2 2

? g( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (n ? 1) ? x ? n ? g( x) ,? y ? g (x) 是周期为 1 的函数.
①当 m ? 0 时,要使得 y ? mx 与 y ? g (x) 有 2013 个交点,只要 y ? mx 与 y ? g (x) 在

[0, 1006 有 2012 个交点,而在 [1006 1007] 有一个交点.? y ? mx 过 ( ) ,
从而得 m ?

2013 , 2

1 ), 2

1 2013 1 2013

②当 m ? 0 时,同 理可得 m ? ? ③当 m ? 0 时,不合题意. 综上所述 m ? ?

1 ??????????18 分 2013


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