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高二上椭圆与双曲线定义和性质对比


椭圆与双曲线定义和性质对比 表一(定义探究) 类比目标 探究项目 图 形 椭圆 双曲线 绘图原理 绳子总长不变 拉链拉开部分长度相等 平面内到两定点的距离的和等 平面内到两定点的距离的差的 点集的文字 于常数(大于两定点的距离)点 绝对值等于常数 (小于两定点的 描述 的集合 距离)点的集合 轨迹的点的 | MF 1 |+|MF 2 |=2a(2a>2c) ||MF 1 |-|MF 2 ||=2a(2a<2c) 集合 以 F1 、 F2 所在直线为 x 轴, 以 F1 、 F2 所在直线为 x 轴, F1、 F2 中点为坐标原点建立坐标 F1、 F2 中点为坐标原点建立坐标 方 系, (如图) 系, (如图) 建 并设 M(x,y) 并设 M(x,y) 系 程 设 点 推 y M F1 O F2 x F1 O y M F2 x 导 列 方 程 化简 方程 (x+c)2 +y2 + (x-c)2 +y2 =2a x 2 y2 + 2 =1(a>b>0) a2 b 椭圆 (x+c)2 +y2 - (x-c)2 +y2 =2a x 2 y2 =1(a>0,b>0) a 2 b2 双曲线 平面内到两定点的距离的差的绝对 值等于常数(小于两定点的距离)点 的集合 表二(性质探究) 类比目标 探究项目 定义 平面内到两定点的距离的和等 于常数(大于两定点的距离)点 的集合 图 形 1 方 程 焦点 坐标 方程与定义 的联系 方程与焦点 的联系 长短半轴、 半焦距 a、b、c 的 关系 范围 对称性 顶 点 离心率 第 二 定 义 准线 x 2 y2 + =1(a>b>0) a 2 b2 y2 x 2 + =1(a>b>0) a 2 b2 x 2 y2 - =1(a>0,b>0) a 2 b2 y2 x 2 - =1(a>0,b>0) a 2 b2 ( ? c,0) (0, ? c) “和”用“+” ( ? c,0) (0, ? c) “差”用“-” 哪个分母系数为正 焦点就在哪个轴 哪个分母系数大 焦点就在哪个轴 a,b,c a,b,c a 2 =b 2 +c 2 -a ? x ? a -b ? y ? b c 2 =a 2 +b 2 -b ? x ? b -a ? y ? a |x| ? a |y| ? a 关于坐标轴、原点对称 关于坐标轴、原点对称 ( ? a,0),(0, ? b) e= (0, ? a),( ? b,0) ( ? a,0) e= (0, ? a) c e ? ,椭圆越扁 , a e ? ,椭圆越圆 c a c e ? ,开口越大 , a e ? ,开口越小 e= c a 到定点的距离与到定直线的距离比 是常数 e= (0<e<1)的点的轨迹 到定点的距离与到定直线的距离比 是常数 (e>1) 的点的轨迹 a2 x= ? c a2 y= ? c |PF1|=a+ey0 |PF2|=a-ey0 (下加上减) a2 x= ? c |PF1|=|ex0+a| |PF2|=|ex0-a| (左加右减) (右正左负) a2 y= ? c |PF1|=|ey0+a| |PF1|=a+ex0 焦半径 |PF2|=a-ex0 (左加右减) |PF2|=|ey0-a | (下加上减) (上正下负) 焦 准 距 参数方程 b2 c ? x=a cos ? ? ? y=b sin ? ? x=b cos ? ? ? y=a sin ? b2 c ? x=a sec

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