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2017奥鹏东师大概率论与数理统计


期末作业考核

《概率论与数理统计》
满分 100 分 一、计算题(每题 10 分,共 70 分) 1、设 X ~ N (?3, 4 2 ) ,试求 X 的概率密度为 f ( x) 。

解: 因为随机变量 X 服从正态分布,所以它的密度函数具有如下形式:
? 1 f ( x) ? e 2? ? ( x?? )2 2? 2

(?? ? x ? ??) ,

进而,将 ? ? ?3, ? ? 2 代入上述表达式可得具体密度函数为:
? 1 f ( x) ? e 2 2? ( x ?3) 2 8

(?? ? x ? ??) 。

2、随机变量 ? 的密度函数为 p( x) ? ?

?2 x, ? 0,

x ? (0, A) ,其中 A 为正的常数,试求 A 。 其他

解: 依题意可得:

则: 因为 A>0 所以 A=1

3、设随机变量 ? 服从二项分布,即 ? ~ B(n, p) ,且 E? ? 3 , p ?

1 ,试求 n 。 7

解: n 可以如下求解: E (? ) ? np =3, n ? 3/ p =21

?。 ? ?a ? ? 4 x ,且 x ? 3 , y ? 6 ,试求 a 4、已知一元线性回归直线方程为 y

解:由题意得 故

??4 b
? ? ?6 ? ? y ? bx ?

5、设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D( X ) ? 3,

D(Y ) ? 4 ,求 D( X ? 4Y ) 。

解:因为随机变量 X 与 Y 相互独立,则: D(X-4Y)=D(X)-D(4Y)=D(X)-16D(Y)=3-16×4=-61
6、设总体 X 的概率密度为

?(? ? 1) x ? , 0 ? x ? 1, f ( x;? ) ? ? 0, 其它, ?
式中 ? >-1 是未知参数, X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本,用最大似然估计 法求 ? 的估计量。

解:似然函数为

似然方程为

解得

. 即为 θ 最大似然估计值。
7、设 其中 ? ? 0 未知。 已知估计量 X 1 , X 2 ,?, X n 是取自正态总体 N (0, ? 2 ) 的一个样本,
n

? 2 ? k ? X i2 ?
i ?1



? 2 的无偏估计量,试求常数 k 。
解:

? ? k ? X i ? E? ? ? k ? EX i2 ? kn? 2 ? k ? ?
2 2 2 i ?1 i ?1

n

n

1 n

二、证明题(每题 15 分,共 30 分) 1.若事件 A 与 B 相互独立,则 A 与 B 也相互独立。

证明:P( A B)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=(1-P(A))P(B)=P( A )P(B) 所以 A 与 B 独立

2.若事件 A ? B ,则 P( A) ? P( B) 。

证明: P( B) ? P( AB ? AB) ? P( AB) ? P( AB) , 由于事件 A ? B , 所以 P( AB) ? P( A) , P(B) ? P( A) ? P( AB) 。 从而 P( A) ? P( B)


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